高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-2命题、充分条件与必要条件练习理北师大版
1.2 命题、充分条件与必要条件
核心考点·精准研析
考点一 四种命题的关系及其真假判断
1.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的 ( )
A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定
2.(2019·长春模拟)命题“若x2<1,则-1
1或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
3.(2020·天水模拟)下列说法中,正确的是 ( )
A.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a>b,则2a≤2b-1”
B.命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“任意x∈R,都有x2+x+1>0”
C.若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题
D.命题“若a2+b2=0,则ab=0”的逆命题是真命题
4.(2018·北京高考)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为 .
【解析】1.选B.命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题.
2.选D.命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为
“若q,则p”的形式,所以“若x2<1,则-1b,则2a>2b-1”的否命题应为“若a≤b,则2a≤2b-1”,故A错;命题“存在x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“任意x∈R,都有x2+x+1≥0”,故B错;若命题“非p”是真命题,则p是假命题,又因为命题“p或q”是真命题,那么命题q一定是真命题,C对;命题“若a2+b2=0,则ab=0”的逆命题是“若ab=0,则a2+b2=0”显然是假命题,故D错.
4.①若a>b>0,则<成立;
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②若a>0>b,则,>0,<0,所以<不成立;
③若0>a>b,则<<0成立.
综上,只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说明原命题是假命题.
例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等.
答案:1,-1(答案不唯一)
1.命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行直接判断.
(2)四种命题的真假成对出现.即原命题与逆否命题的真假性相同,逆命题与否命题的真假性相同.当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
2.写一个命题的其他三种命题时的注意点
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写.
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
3.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
考点二 充分条件、必要条件及充要条件的判断
【典例】1.(2019·浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.(2019·天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解题导思】
序号
联想解题
1
由a+b的范围求ab的范围,联想到基本不等式
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2
由不等式的解集,想到用集合法判断
3
原命题不好判断,想到其逆否命题
【解析】1.选A.当a>0,b>0时,a+b≥2,则当a+b≤4时,有2≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;
当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,
综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
2.选B.由x2-5x<0可得解集为A={x|0a+1或x0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为真命题;
④“若x>1,则x2>1”的否命题为真命题.
其中正确结论有 个. ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.①正确.
②不正确,否命题为“若m2+n2≠0,则m,n不全为0”.
③m>0时,Δ=1+4m>0,所以原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.④逆命题“若x2>1,则x>1”为假命题,所以否命题为假命题.
故正确结论的序号为①③.
2.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的
( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
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C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.
3.(2019·大庆模拟)已知p:x≤1+m,q:|x-4|≤6.若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,9]
C.[1,9] D.[9,+∞)
【解析】选D.由|x-4|≤6,解得-2≤x≤10,因为p是q的必要不充分条件,所以m+1≥10,解得m≥9.
4.(2020·西北工业大学附中模拟)命题P:“∀x>e,a-ln x<0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A.a≤1 B.a<1 C.a≥1 D.a>1
【解析】选B.由题意得a<(ln x)min,因为x>e,所以ln x>1,所以a≤1,因为(-∞,1)⊆(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1] ,因此一个充分不必要条件是a<1.
祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由祖暅原理可得q⇒p,即p⇒q,则充分性成立;反之不成立,如将同一个圆锥正放和倒放,在等高处的截面积不恒相等,但体积相等,所以p是q的充分不必要条件.
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