高考数学专题复习教案：第一章 集合与常用逻辑用语
第一章集合与常用逻辑用语
第一节
集 合
本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念；
2.集合间的基本关系； 3.集合的基本运算.
突破点(一) 集合的基本概念
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．集合的有关概念
(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A.
(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
2．常用数集及记法
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求元素(个数)或已知元素个数求参数
[例1] (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A. B.
C．0 D．0或
[解析] (1)∵A＝{0,1,2}，∴B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.故a＝0或.
[答案] (1)C (2)D
[方法技巧]
求元素(个数)的方法
高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A，B，求集合C＝{z|z＝x*y，x∈A，y∈B}(或集合C的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x，y的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．
元素与集合的关系
[例2] (1)设集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6}，若x∈A，且x∉B，则x＝( )
A．2 B．3 C．4 D．6
(2)(2017·成都诊断)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
[解析] (1)因为x∈A，且x∉B，故x＝3.
(2)因为3∈A，
所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.
当m＋2＝3，
即m＝1时，2m2＋m＝3，
此时集合A中有重复元素3，
所以m＝1不符合题意，舍去；
当2m2＋m＝3时，
解得m＝－或m＝1(舍去)，
当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意．
所以m＝－.
[答案] (1)B (2)－
[方法技巧]
利用元素的性质求参数的方法
已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：
(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．
(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.设集合P＝{x|x2－x≤0}，m＝30.5，则下列关系正确的是( )
A．mP B．m∈P
C．m∉P D．m⊆P
解析：选C 易知P＝{x|0≤x≤}，而m＝30.5＝>，∴m∉P，故选C.
2．[考点一]已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为( )
A．3 B．6
C．8 D．9
解析：选D 集合B中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．
3．[考点二](2017·杭州模拟)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C 因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
4．[考点一]已知P＝{x|2
1}，又Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁RP⊆Q，故选C.
3．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝( )
A．1 B．0 C．－2 D．－3
解析：选C ∵A⊆B，∴a＋3＝1，解得a＝－2.故选C.
4．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b 的取值范围是________．
解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
突破点(三) 集合的基本运算
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
集合的交集
A∩B
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
集合的补集
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
2.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.
(2)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.
(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求交集或并集
[例1] (1)(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
(2)(2016·全国乙卷)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝( )
A. B.
C. D.
[解析] (1)因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－10，∴x>，∴B＝.∴A∩B＝{x|13}，
所以A∩(∁RB)＝{x|30}，则S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|00，x∈Z}，则A∩(∁ZB)＝( )
A．{－2} B．{－1}
C．[－2,0] D．{－2，－1,0}
解析：选D 由题可知，集合A＝{x|x≤1，x∈Z}，B＝{x|x>0或x<－2，x∈Z}，故A∩(∁ZB)＝{－2，－1,0}，故选D.
7．(2017·成都模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A．(－∞，1]∩(2，＋∞) B．(－1,0)∪[1,2]
C．[1,2) D．(1,2]
解析：选B 因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|－11或x<－1}，则(∁UA)∩B＝(1,2]．
9．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝( )
A．{2,3} B．{－1,2,5}
C．{2,3,5} D．{－1,2,3,5}
解析：选D 由A∩B＝{2，－1}，可得或当时，此时B＝{2,3，－1}，则A∪B＝{－1,2,3,5}；当时，此时不符合题意，舍去．故A∪B＝{－1,2,3,5}．
10．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]
解析：选B 集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1a}，因为A⊆B，所以a≤－1.
11．已知全集U＝{x∈Z|02}．∴A∩(∁RB)＝[－3,0)．
答案：[－3,0)
16．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝.若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．
解析：A＝{y|ya2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．
当A∩B＝∅时，∴≤a≤2或a≤－，
∴a的取值范围是(－∞，－ ]∪[，2]．
答案：(－∞，－ ]∪[，2]
第二节
命题及其关系、充分条件与必要条件
本节主要包括2个知识点：
1.命题及其关系；
2.充分条件与必要条件.
突破点(一) 命题及其关系
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及相互关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
命题的真假判断
[例1] 下列命题中为真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若xb，则a－1>b－1”的否命题是( )
A．若a>b，则a－1≤b－1
B．若a>b，则a－1b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．
(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命
题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
[答案] (1)C (2)C
[方法技巧]
1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．
(2)若命题有大前提，需保留大前提．
2．判断四种命题真假的方法
(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．
(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )
A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点
C．互相包含的两个集合相等
D．空集是任何集合的真子集
解析：选C A中，当m＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B中，当Δ＝4＋4a<0，即a<－1时，抛物线与x轴无交点，故是假命题；C是真命题；D中，空集不是本身的真子集，故是假命题．
2．[考点二]命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.故原命题的逆否命题是“若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0”．
3．[考点二]命题“若△ABC有一个内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( )
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一个内角为”，它是真命题．故选D.
4．[考点二]有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.
答案：①②③
突破点(二) 充分条件与必要条件
基础 联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．充分条件与必要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒/
p
p是q的必要不充分条件
p⇒/
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒/ q且q⇒/ p
2.充分条件与必要条件和集合的关系
p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
AB
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A＝B
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
充分条件与必要条件的判断
[例1] (1)(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] (1)∵∴x＋y＞2，即p⇒q.而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3＞2，但不满足x＞1且y＞1，即q⇒/ p．故p是q的充分不必要条件．
(2)当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．
[答案] (1)A (2)C
[方法技巧]
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．
充分条件与必要条件的应用
[例2] (1)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥1 B．a>1
C．a≥4 D．a>4
(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S
的必要条件，则m的取值范围为________．
[解析] (1)命题可化为∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立．
∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．
∴命题为真命题的充要条件为a≥4.
∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.
(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.
则
解得0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
[答案] (1)D (2)[0,3]
[方法技巧]
根据充分、必要条件求参数的思路方法
根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x>1”是“log2(x－1)<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 由log2(x－1)<0得01”是“log2(x－1)<0”的必要不充分条件，选B.
2．[考点二]已知“x>k”是“<1”的充分不必要条件，则k的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1]
解析：选A 由<1，得－1＝<0，解得x<－1或x>2.因为“x>k”是“<1”的充分不必要条件，所以k≥2.
3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p：cos α≠，命题q：α≠”，则命题p是命题q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若cos α≠，则α≠2kπ±(k∈Z)，则α也必然不等于，故p⇒q；若α≠，但α＝－时，依然有cos α＝，故q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件．
4．[考点二]已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a≥1.
5．[考点一]已知函数f(x)＝＋a(x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)
解析：若f(x)＝＋a是奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＋f(x)＝0，
∴＋a＋＋a
＝2a＋＋＝0，
即2a＋＝0，∴2a－1＝0，
即a＝，f(1)＝＋＝1.
若f(1)＝1，即f(1)＝＋a＝1，
解得a＝，
所以f(x)＝＋，f(－x)
＝＋＝－－＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
∴“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．
答案：充要
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x) 在x＝x0 处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q 的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q 的充分条件，也不是q的必要条件
解析：选C 设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p，则q是一个假命题，由极值的定义可得若q，则p是一个真命题．故选C.
2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p2
C．p2，p4 D．p3，p4
解析：选C ∵复数z＝＝－1－i，∴|z|＝，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．
[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖
一、选择题
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
3．“a<0，b<0”的一个必要条件为( )
A．a＋b<0 B．a－b>0
C.>1 D.<－1
解析：选A 若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A.
4．已知命题p：“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”，则下列说法正确的是( )
A．命题p的逆命题是“若xb，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．4
解析：选C 当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．
7．“a＝2” 是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A “a＝2”可以推出“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不能推出．故“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
8．(2017·杭州模拟)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．
10．(2017·烟台诊断)若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选A p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a]，即a≥2.
11．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
解析：选D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③
为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．
12．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当k＝1时，l：y＝x＋1，由题意不妨令A(－1,0)，B(0,1)，则S△AOB＝×1×1＝，所以充分性成立；当k＝－1时，l：y＝－x＋1，也有S△AOB＝，所以必要性不成立．
二、填空题
13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．
解析：“a＋b＋c＝3”的否定是“a＋b＋c≠3”，“a2＋b2＋c2≥3”的否定是“a2＋b2＋c2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.
答案：若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
14．有下列几个命题：
①“若a>b，则>”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2<4，则－20，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．
答案：[3,8)
16．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．
解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[解析] 依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题，
则綈p为假命题，綈q为真命题．
所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．
[答案] C
[方法技巧]
判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．
(2)判断命题真假的步骤
根据复合命题的真假求参数
[例2] 已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________________．
[解析] 由关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，知00的解集为R，则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故或解得a>1或01时，函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R；命题q：“a＝3”是“直线ax＋2y＝0与直线2x－3y＝3垂直”的充要条件，则以下结论正确的是( )
A．p∨q为真命题 B．p∧q为假命题
C．p∧綈q为真命题 D．綈p∨q为假命题
解析：选A 当a>1时，一元二次方程x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，则x2＋2x＋a>0对任意x∈R恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，故命题p是真命题；直线ax＋2y＝0与直线2x－3y＝3垂直等价于a×2＋2×(－3)＝0，解得a＝3，故“a＝3”是“直线ax＋2y＝0与直线2x－3y＝3垂直”的充要条件，故命题q是真命题．所以p∨q为真命题，p∧q为真命题，p∧綈q为假命题，綈p∨q为真命题．故选A.
3．[考点二]设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－＋1为增函数，所以<1，故a≥1.命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假，即或故1≤a≤2.
答案：[1,2]
4．[考点二]已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p∨q是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命题q
是真命题，则－≤3，即a≥－12.因为p∨q是真命题，所以a∈R.
答案：R
突破点(二) 全称量词与存在量词
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．全称量词和存在量词
量词名称
常见量词
符号表示
全称量词
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
∀
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∃
2.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
否定
∃x0∈M，綈p(x0)
∀x∈M，綈p(x)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
全(特)称命题的否定
[例1] (1)命题“∃x0∈R，x－2x0＋1<0”的否定是( )
A．∃x0∈R，x－2x0＋1≥0
B．∃x0∈R，x－2x0＋1>0
C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0
D．∀x∈R，x2－2x＋1<0
(2)命题“对任意x∈R，都有x2≥ln 2”的否定是( )
A．对任意x∈R，都有x20 B．∀x∈N，x2>0
C．∃x0∈R，ln x0<1 D．∃x0∈N*，sin＝1
[解析] 对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝时，ln＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sin＝1，故选项D为真命题．综上知选B.
[答案] B
[方法技巧]
全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法
①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．
②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．
(2)特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0
)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．
根据全(特)称命题的真假求参数
[例3] 若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－1,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
[解析] 因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.
[答案] D
[方法技巧]
根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：选C 特称命题的否定为全称命题，所以将“存在”改为“任意”，“x>1”改为“x≤1”．故选C.
2．[考点一]已知命题p：∀x∈R,2x＝5，则綈p为( )
A．∀x∉R,2x＝5 B．∀x∈R,2x≠5
C．∃x0∈R,2x0＝5 D．∃x0∈R,2x0≠5
解析：选D 结合全称命题的含义及其否定的格式可得綈p为“∃x0∈R,2x0≠5”，所以选D.
3．[考点二]以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形有一个内角是钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，>2
解析：选B A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．
4．[考点二]已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确的是( )
A．p是假命题 B．q是真命题
C．p∧(綈q)是真命题 D．(綈p)∧q是真命题
解析：选C 当x>0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝2时取等号，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题．所以p∧(綈q)是真命题，(綈p)∧q是假命题．
5．[考点三]若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n
C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R，2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2
，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：选B 容易判断当x≤0时命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象(图略)，易知命题q为真命题．由綈p为真命题，q为真命题，可判断綈p∧q为真命题.
[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖
一、选择题
1．(2017·东北育才检测)已知命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p是( )
A．∀x∈R，ex－x－1<0 B．∃x0∈R，ex0－x0－1≤0
C．∃x0∈R，ex0－x0－1<0 D．∀x∈R，ex－x－1≤0
解析：选B 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R，ex－x－1>0，则綈p：∃x0∈R，ex0－x0－1≤0.故选B.
2．(2017·湖南四县联考)下列命题中，真命题是( )
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
解析：选D 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A为假命题；因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B为假命题；当a＝b＝0时，a＋b＝0，但是没有意义，所以C为假命题；“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件，显然正确．故选D.
3．(2017·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
解析：选B ∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.
4．有下列四个命题，其中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m20.则下面结论正确的是( )
A．p∧q是真命题 B．p∧q是假命题
C．綈p是真命题 D．p是假命题
解析：选A 对于命题p：取α＝，则cos(π－α)＝cos α，所以命题p为真命题；对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p∧q是真命题．故选A.
8．(2017·开封模拟)已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，命题p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
解析：选C 因为y＝x在R上是增函数，即y＝x>1在(0，＋∞
)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin≤，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(綈p2)是真命题，故选C.
9．已知命题p：∀x∈R,3x>0；命题q：∃x0∈R，logx<0.则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：选A 易知命题p是真命题；取x0＝2，则log22＝－2，所以命题q是真命题，所以p∧q为真命题，故选A.
10．已知命题p：∃x0∈R，使tan x0＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|10
D．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
解析：选D A中，“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，故A正确；B中，由x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，因此“x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，故B正确；C中，命题p：∃x0∈R，使得x－x0＋1≤0，则綈p：对∀x∈R，都有x2－x＋1>0，故C正确；D中，由p∨q为真命题，可知p，q中至少有一个为真命题，故D不正确．故选D.
12．(2017·郑州质量预测)已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
解析：选A 由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2,3])，因为f(x)在上为减函数，g(x)在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A.
二、填空题
13．命题p的否定是“对∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p是________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论进行否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
14．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.
答案：[－8,0]
15．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
答案：(－∞，－2]
16．下列结论：
①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确
的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”正确．
答案：①③
[课时达标检测] 第一章“12＋4”小题强化提速练
一、选择题
1．(2017·合肥一中月考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B 依题意可得，M＝{5,6,7,8}，所以集合M中共有4个元素．故选B.
2．设全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合A＝{x∈Z|00，总有(x＋1)ex>1，则綈p为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
解析：选B 命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定为∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1，故选B.
4．已知集合M满足M⊆{0,1,2,3}，则符合题意的集合M的子集最多有( )
A．16个 B．15个
C．8个 D．4个
解析：选A 集合M是集合{0,1,2,3}的子集，当M＝{0,1,2,3}时，M的子集最多，有24＝16个，故选A.
5．(2017·湖北百所重点学校联考)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4xa}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，因为B＝{－1,1,2}，所以a<－1，所以实数a的取值范围是(－∞，－1)，故选D.
7．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：选A 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
8．(2017·开封模拟)设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|＞3}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{－1,2} B．{－2，－1,1,2,4}
C．{1,4} D．∅
解析：选A ∵B＝{x|x>4或x<－2}，
∴∁RB＝{x|－2≤x≤4}，∴A∩(∁RB)＝{－1,2}．
9．(2017·沈阳教学质量监测)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{－1,1}，则下列结论中正确的是( )
A．A∩B＝{－1} B．(∁RA)∪B＝(－∞，0)
C．A∪B＝(0，＋∞) D．(∁RA)∩B＝{－1}
解析：选D 由题意知，集合A＝{x|x>0}，则∁RA＝{x|x≤0}．又B＝{－1,1}，所以A∩B＝{1}，(∁RA)∪B＝(－∞，0]∪{1}，A∪B＝{－1}∪(0，＋∞)，(∁RA)∩B＝{－1}，故选D.
10．(2017·南昌调研)下列说法正确的是( )
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题是“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的必要不充分条件
C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题是真命题
D．“tan x＝1”是“x＝”的充分不必要条件
解析：选C 由原命题与否命题的关系知，原命题的否命题是“若x2≠1，则x≠1”
，即A不正确；因为x2－x－2＝0，所以x＝－1或x＝2，所以由“x＝－1”能推出“x2－x－2＝0”，反之，由“x2－x－2＝0”推不出“x＝－1”，所以“x＝－1”是“x2－x－2＝0”的充分不必要条件，即B不正确；因为由x＝y 能推得sin x＝sin y，即原命题是真命题，所以它的逆否命题是真命题，故C正确；由x＝能推出tan x＝1，但由tan x＝1推不出x＝，所以“tan x＝1”是“x＝”的必要不充分条件，即D不正确．
11．(2016·永州一模)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若m＝0，则圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心(1,1)到直线x＋y＝0的距离为，等于半径，此时直线与圆相切，既“m＝0”⇒“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”，若直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切，则圆心到直线的距离为＝，解得m＝0或m＝4，即“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”⇒/ “m＝0”．所以“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件，故选B.
12．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对任意的(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列5个集合：
①M＝；②M＝{(x，y)|y＝x2－2x＋2}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝lg x}；⑤M＝{(x，y)|y＝sin(2x＋3)}．
其中所有“理想集合”的序号是( )
A．①② B．③⑤
C．②③⑤ D．③④⑤
解析：选B 由题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x1x2＋y1y2＝0，可知⊥.①，y＝－是以x轴，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A，B在同一支上时，∠AOB<90°，当点A，B不在同一支上时，∠AOB>90°，不存在⊥，故①不是“理想集合”；②，由图象可知，当A(0,2)∈M时，不存在B(x2，y2)∈M，使得⊥，故②不是“理想集合”；③，由图象可得，直角始终存在，故③是“理想集合”；④，由图象可知，当点A(1,0)∈M时，不存在B(x2，y2)∈M，使得⊥成立，故④不是“理想集合”；⑤，通过对图象的分析可知，对于任意的点A都能找到对应的点B，使得⊥成立，故⑤是“理想集合”．综上，③⑤是“理想集合”，故选B.
二、填空题
13．命题“若x≥1，则a2x－ax＋2≥0”的否命题为________．
解析：由否命题的定义可知，命题“若x≥1，则a2x－ax＋2≥0”的否命题为“若x<1，则a2x－ax＋2<0”．
答案：若x<1，则a2x－ax＋2<0
14．已知集合A＝，B＝{y|y＝4x－1，x≥0}，则A∩B＝________.
解析：由题意得，集合A＝{x|－x2＋4x－3>0}＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则实数m的取值范围是________．
解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0，因为命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以命题p和命题q一真一假．当命题p为真，命题q为假时，得0≤m<；当命题p为假，命题q为真时，此时m不存在，故实数m的取值范围是.
答案：
