广东省六校联盟2020届高三上学期第二次联考数学（文）试题 Word版含解析

广东省六校联盟2020届高三上学期第二次联考数学（文）试题 Word版含解析

- 1 - 2020 届广东六校高三第二次联考试题 文科数学 一、选择题：本题 12 小题. 1.设全集 是实数集 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先解对数不等式得出集合 ，再利用补集、交集的概念求解. 【详解】由 解得 ，则 ，于是 . 又 ，所以 . 故选 C. 【点睛】本题考查补集、交集的运算以及对数函数的性质，是一道基础题. 2.复数 满足 （其中 是虚数单位），则 的虚部为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数计算公式化简得到答案. 【详解】 ，虚部为 故选 B 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题型. 3.在 中， ， ， ，则 （ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B U R { } { }2= log 1 , 1 3M x x N x x> = < < ( )U M N∩ = { }2 3x x< < { }3x x < { }1 2x x< ≤ { }2x x ≤ M 2log 1x > 2x > { | 2}M x x= > { | 2}U M x x= ≤ { }1 3N x x= < < ( ) { |1 2}U M N x x= < ≤ z 2 3i iz+ = i z 2− 3− 2 3i2 3i i 3 2z z ii ++ = ∴ = = − 2− ABC∆ 3AB = 1AC = 30B∠ =  A∠ = 60 30 90 60 120 90 - 2 - 【解析】 【分析】 利用正弦定理求出 ，然后利用三角形的内角和定理可求出 . 【详解】由正弦定理得 ，得 ， ， ，则 或 . 当 时，由三角形的内角和定理得 ； 当 时，由三角形的内角和定理得 . 因此， 或 . 故选 B. 【点睛】本题考查利用正弦定理和三角形的内角和定理求角，解题时要注意大边对大角定理 来判断出角的大小关系，考查计算能力，属于基础题. 4.设平面向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 与 的夹角为锐角，得到 ，再由向量的夹角公式将其夹角余弦值表示 出来，得到关于 的不等式，解出 的范围，从而得到答案. 【详解】因为 与 的夹角为锐角， 所以 ， 向量 ， ， 所以 ， 整理得 ， ， C∠ A∠ sin sin AB AC C B =∠ ∠ 13sin 32sin 1 2 AB BC AC ×⋅ ∠∠ = = = AB AC> C B∴∠ > ∠ 60C∠ =  120 60C∠ =  180 90A B C∠ = − ∠ − ∠ =  120C∠ =  180 30A B C∠ = − ∠ − ∠ =  30A∠ =  90 ( )2,1a = − ( ),2b λ= a b λ ( )1 ,2 2,2  − ∪ +∞   ( ) ( ), 4 4,1−∞ − − ( )1,+∞ ( ),1−∞ a b ( )cos , 0,1a b ∈  λ λ a b ( )cos , 0,1a b ∈  ( )2,1a = − ( ),2b λ= ( ) 2 2 2cos , 0,1 5 4 a ba b a b λ λ ⋅ − += = ∈ ⋅ +      2 2 2 0 8 16 0 λ λ λ − + >  + + > 1 4 λ λ <  ≠ − - 3 - 所以 的范围为 . 故选 B. 【点睛】本题考查根据向量的夹角求参数的范围，属于简单题. 5.若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，结合基本不等式，讨论“ ”和“ ”的推出关系即可． 【详解】依题意，对于正数 ， ，当 时， ，故充分性成立， 若 无法推出 ，如当 ， 时， 而 ， 故必要性不成立． 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选 ． 【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，考查了基本不等式的应用，属于基础题． 6.设 ， ，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】 容易得出 ， ，即得出 ， ，从而得出 ， ． 【详解】 ， . 又 ，即 ， ， ， ． 故选 B. λ ( ) ( ), 4 4,1−∞ − − 0a > 0b > 8a b+ ≤ 16ab ≤ 8a b+  16ab a b 8a b+  2( ) 162 a bab +   16ab 8a b+  1a = 16b = 16ab = 17 8a b+ = > 8a b+ ≤ 16ab ≤ B 3log 0.4a = 2log 3b = 0ab > 0a b+ > 0ab < 0a b+ > 0ab > 0a b+ < 0ab < 0a b+ < 31 log 0.4 0− < < 2log 3 1> 1 0a− < < 1b > 0ab < 0a b+ >  1 0.4 13 < < 31 log 0.4 0∴− < < 2log 3 1> 1 0a− < < 1b > 0ab∴ < 0a b+ > - 4 - 【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时 大于 1 或同时大于 0 小于 1，函数值大于 0；若一个大于 1，另一个大于 0 小于 1，函数值小 于 0． 7.已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分段函数的图象对 分两种情况讨论即可得到. 【详解】因为函数 且 , 函数 的图象如图: 由图可知:当 ,即 时, ,即 , 所以 , 当 即 时, 即 ,所以 , ( ) 21 0 1 0 x xf x x  + ≤=  > ， ， ( ) ( )4 2 3f x f x>- - x ( )1，− + ∞ ( )1−∞ −， ( )1 4− ， ( )1−∞， 2 3x − ( ) 21 0 1 0 x xf x x  + ≤=  > ， ， ( ) ( )4 2 3f x f x>- - ( )f x 2 3 0x − > 3 2x > 4 0x − < 4x < 3 42 x< < 2 3 0x − ≤ 3 2x≤ 4 2 3x x− < − 1x > − 31 2x− < ≤ - 5 - 综上所述: 实数 的取值范围是 . 故选:C. 【点睛】本题考查了分类讨论思想,根据分段函数的图象解不等式,属于基础题. 8.设等差数列 前 项和为 ，若 ， ，则 （ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 ，由 ，解得 ，又由 ，求得 ，进而得 到公差 ，再结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列的公差为 ， 由 ，可得 ，解得 ， 又由 ，所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了得出数列的通项公式，以及前 项和公式的应用，其中解答中熟记等 差数列的通项公式和前 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属 于基础题. 9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. x 1 4x− < < { }na n nS 4 5 2a S+ = 7 14S = 10a = d 7 14S = 4 2a = 4 5 2a S+ = 3 0a = 2d = d 7 14S = 1 7 7 4 7( ) 7 142 a aS a += = = 4 2a = 4 5 2a S+ = 1 5 5 3 5( ) 5 02 a aS a += = = 3 0a = 4 3 2d a a= − = 10 3 7 0 7 2 14a a d= + = + × = n n 7 6 π 4 3 π 2π 13 6 π - 6 - 【答案】A 【解析】 【分析】 根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为 1，母线长为 2 的半圆柱， 右侧是一个底面半径为 1，高为 2 的半圆锥，利用体积公式，即可求解． 【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为 1，母 线长为 2 的半圆柱，右侧是一个底面半径为 1，高为 1 的半圆锥， 所以该几何体的体积为 ，故选 A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形 状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在 三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定 直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解． 10.函数 图象的大致形状是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简函数，确定函数奇偶性，讨论函数在 内正负情况，即可排除所有错误选项. 【详解】 则 ，是偶函数，排除 B、D. 当 时， 即 ，排除 A. 2 21 1 1 71 2 1 12 2 3 6 6V π ππ π π= × × + × × × = + = 2( ) 1 sin1 xf x xe  = − +  (0, )2 π 2 1( ) ( 1)sin sin1 1 x x x ef x x xe e −= − =+ + 1 1 1( ) sin( ) ( sin ) sin ( )1 1 1 x x x x x x e e ef x x x x f xe e e − − − − −− = − = ⋅ − = =+ + + (0, )2x π∈ 1,sin 0xe x> > ( ) 0f x < - 7 - 故选:C. 【点睛】解复杂函数的图像问题，一般采取排除法.利用单调性，奇偶性，极值，以及函数值 的正负进行判断. 11.己知点 A 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上 且满足 ，当 取最大值时，点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的 离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题目可知，过 作准线的垂线，垂足为 ，则由抛物线的定义，结合 ，可 得 ，设 的倾斜角为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物 线相切，即可求出的 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率． 【详解】由题意知，由对称性不妨设 P 点在 y 轴的右侧，过 作准线的垂线，垂足为 ，则 根据则抛物线的定义，可得 ， 设 的倾斜角为 ，当 取得最大值时， 最小，此时直线 与抛物线相切，设直线 的方程为 ，与 联立，得 ， 令 ，解得 可得 ， 又 此时点 P 恰好在以 A、B 为焦点的双曲线上 双曲线的实轴 2 4x y= PA m PB= m 2 1 2 + 2 1+ 5 1 2 − 5 1− P N PA m PB= 1PN PA m = PA α m sinα PA P P N PN PB= PA m PB= 1PN PA m ∴ = PA α m sinα PA PA 1y kx= − 2 4x y= 2 4 4 0x kx− + = 216 16 0k∆ = − = 1k = ± (2,1)P  ∴ 2 2( 2 1)a PA PB= − = − 2 1, 1a c∴ = − = - 8 - 故答案选 B． 【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到 方程思想以及数形结合思想． 12.若存在唯一的正整数 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 可得 ，令 ，利用导数判断出 在 上 有唯一极大值点，根据存在唯一的正整数 使不等式成立，即可求出 的范围. 【详解】由 可得 ，令 , 则 ，令 , 得 ， ， ， 所以函数在 上有唯一极大值点，在 上是减函数， 因为 所以要使不等式存在唯一的正整数 ，需 故选 D. 【点睛】本题主要考查了与不等式成立有关的特称命题，利用导数研究函数的单调性与极值， 考查了计算能力，属于中档题. 二、填空题，本题 4 个小题. 13. 为单位向量， ，若 且 ，则 ________. 2 1e∴ = + 0x 2 0x x ax ae − − > a 2 4(0, )3e 2 4 1( , )3e e 1(0, )e 2 4 1[ , )3e e 2 0x x ax ae − − = 2 ( 1)x xa e x = + 2( ) ( 1)x xh x e x = + ( )h x (0,1) 0x a 2 0x x ax ae − − = 2 ( 1)x xa e x = + 2( ) ( 0)( 1)x xh x xe x = >+ 2 2 2 2 2( ) ( 1)x x xh x e x − − +′ = + ( ) 0h x′ = 1 5 2x − += 1 5 (0,1)2 − + ∈ (0) 0, (1) 0h h′ ′> < (0,1) [1, )+∞ 2 1 4(1) , (2) 3h he e = = 0x 2 4 1 3 ae e ≤ < a 0b ≠  a b⊥  3 2a b− =  b = - 9 - 【答案】 【解析】 【分析】 将已知等式两边平方,利用 , ,计算可得. 【详解】因为 为单位向量,所以 , 因为 ,所以 , 因为 ,所以 , 所以 , 所以 , 所以 ,所以 , 故答案为 . 【点睛】本题考查了平面向量数量积,平面向量的模,属于基础题. 14.若 ，则 ______. 【答案】 【解析】 分析】 展开 ，求出 ，再代入 ，即可求解． 【详解】解： ，解得 ， 所以 ， 故答案为 【 5 2 0a b⋅ = | | 1a = a | | 1a = a b⊥  0a b⋅ = 3| | 2a b− = 2 9( ) 4a b− = 2 2 92 4a a b b− ⋅ + =   2 91 0 | | 4b− + = 2 5| | 4b = 5| | 2b = 5 2 tan 24 π α − = −   tan2α = 3 4 tan 24 π α − = −   tanα 2 2tantan2 1 tan αα α= − tan tan 1 tan4tan 24 1+ tan1+ tan tan4 π απ αα π αα − − − = = = −   tan 3α = − ( ) ( )22 2 32tan 6 3tan 2 = =1 tan 8 41 3 αα α ⋅ − −= =− −− − 3 4 - 10 - 【点睛】本题考查两角和差的正切公式的化简、求值，属于容易题． 15.若 ，则曲线 在点 处的切线方程是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 对函数进行求导，令 求得 ，从而得到函数解析式，进一步求得 ，再由直线的 点斜式方程并化简得到直线的一般方程． 【详解】 ， ，则 ，即 ． ，则 ． 曲线 在点 处的切线方程是 ， 即 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，由已知函数解析式求得 ，再 得到函数的解析式是求解的关键． 16.已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，底面 满足 ， ，若该三棱锥体积的最大值为 3．则其外接球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】 画出示意图，利用体积最大时 所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积. 【详解】如图所示： ( ) ( )3 21 1 113 2 2f x f x xx ′= − + + ( )y f x= ( )(1, )1f 3 3 1 0x y− + = 1x = ' (1)f (1)f 3 '1 1( ) (1)3 2f x x f= − 2 1 2x x+ + 2 '( ) (1)f x x f∴ ′ = − 1x + ' (1)f '1 (1)f= − 1+ ' (1)f 1= 3 21 1 1( ) 3 2 2f x x x x∴ = − + + (1)f 4 3 = ∴ ( )y f x= (1, (1))f 4 1 ( 1)3y x− = × − 3 3 1 0x y− + = 3 3 1 0x y− + = ' (1)f P ABC− ABC∆ 6BA BC= = 2ABC π∠ = 32 3 π P - 11 - 设球心为 ， 所在圆面的圆心为 ，则 平面 ；因为 ， ，所以 是等腰直角三角形，所以 是 中点；所以当三棱锥体积最大 时， 为射线 与球的交点，所以 ；因为 ， 设球的半径为 ，所以 ，所以 ，解得： ，所以球的体积为： . 【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到 球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17 至 21 题为必做题；第 22、23 题为选做题，请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （一）必做部分 17.已知函数 ． （1）求函数 的最小值，并写出 取得最小值时自变量 的取值集合； （2）若 ，求函数 的单调减区间． 【答案】（1） 时，函数 有最小值为 0；（2） 【解析】 【分析】 先将函数 的解析式利用二倍角公式进行降幂，然后用辅助角公式进行化简，再根据 三角函数性质解决问题． 【详解】（1） ＝ ＝ O ABC 1O 1OO ⊥ ABC 6BA BC= = 2ABC π∠ = ABC 1O AC P 1O O 1 1 3p ABC ABCV PO S− = ⋅ ⋅  1 6 6 32ABCS = ⋅ ⋅ =  R 2 2 2 1 1 1 3PO PO OO R R AO R R= + = + − = + − ( )21 3 3 33 R R⋅ + − ⋅ = 2R = 34 32 3 3R ππ = 2( ) ( 3 cos sin ) 2 3sin 2f x x x x= + - ( )f x ( )f x x [ ]2 2x π π∈ − ， ( )f x ( )3x k k Z π π= + ∈ ( )f x [ ]6 3 π π− ， ( )y f x= 2 2( ) 3cos sin 2 3sin cos 2 3sin 2f x x x x x x= + + − 22cos 1 3sin 2x x+ − cos2 3sin 2 2x x− + - 12 - ＝ 当 ，即 时，函数 有最小值为 0． （2）由 ，得： 因为 ， 所以， ， 即 ，函数 的单调减区间为 ． 【点睛】本题主要是考查三角函数的化简和三角函数的基本性质． 18.数列 的前 n 项和记为 ， ， ， ， ， ． （1）求 的通项公式； （2）求证：对 ，总有 ． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）通过 可知，可采用作差法求解 ，但需验证 时是否成立，再求出 通项即可 （2）通过（1）中求出的 ，可得 ，符合累加法基 本类型，用累加法求解 ，因为要证明 ，故求得的 应能够进行通 项求和，或是满足裂项求和基本形式，再进行化简即可 详解】解：（1）由 ．可得 ， 两式相减得 ，∴ ， 又 ， ． 【 2cos(2 ) 23x π+ + 2 23x k π π π+ = + ( )3x k k Z π π= + ∈ ( )f x 2 2 23k x k ππ π π≤ + ≤ + ,6 3k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ [ ]2 2x π π∈ − ， 0, ,6 3k x π π = ∈ −   [ ]2 2x π π∈ − ， ( )f x [ ]6 3 π π− ， { }na nS 1 9a = 1 2 9n na S+ = + *n∈N 1 1b = 1 3logn n nb b a+ − = { }na *n∈N 1 2 1 1 11 2 nb b b + + + < 1 *3 ,n na n+= ∈N 1 2 9n na S+ = + { }na 1n = 1 *3 ,n na n+= ∈N 1 1 3log 3 1n n nb b n+ + − = = + nb 1 2 1 1 11 2 nb b b + + + < 1 nb 1 2 9( 1)n na S n+ = +  12 9( 2)n na S n−= +  1 2n n na a a+ =− 1 3n na a+ = 2 12 9 27a S= + = 2 13a a= - 13 - 故 是首项为 9，公比为 3 的等比数列， ∴ （2） 当 时， 又 符合上式， ． ∴ ． 则 ∵ ， ∴ ． 【点睛】本题考查根据 与 的关系式求解 的基本方法，一般是通过作差法求解，但需 验证 能否成立，同时也考查了累加法，裂项求和法，这些方法都是我们求解数列常用基 本解法，考生应强化训练，提高熟识度 19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， . (1)证明 (2)设点 在线段 上，且 ，若 的面积为 ，求四棱锥 { }na 1 *3 ,n na n+= ∈N 1 1 3log 3 1n n nb b n+ + − = = + 2n 1 1 2 2 1 1 (1 )( ) ( ) ( ) (2 1) 1 2n n n n n n nb b b b b b b b n− − − += − + − + + − + = + + − + =  1n = *(1 ) ,2n n nb n += ∈N *1 2 ,( 1)n nb n n = ∈+ N 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 12(1 ) 2(1 )2 2 3 1 1nb b b n n n + + + = − + − + + − = −+ +  12(1 ) 21n − <+ 1 12(1 ) 2(1 ) 11 2n − − =+  1 2 1 1 11 2 nb b b + + + < na nS na 1n = P ABCD− ABCD ⊥ PAD AD BC 1 2AB BC AP AD= = = 30ADP∠ = ° 90BAD∠ = ° PD PB⊥ M PC 1 3PM PC= MBC∆ 2 7 3 P ABCD− - 14 - 的体积 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）推导出 BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而 PD⊥平面 PAB，由此能证明 PD⊥PB． （2）设 AD＝2a，则 AB＝BC＝AP＝a，PD a， ，得 为等腰三角形， 利用 推得 面积，进而求出 a＝2，由此能求出四棱锥 P﹣ABCD 的体积． 【详解】(1) 平面 平面 ， 平面 ， ， 在 中， ， ， 由正弦定理可得： ， ，∴PD⊥PA,又 PA∩AB=A, ∴ 平面 ， . (2)取 的中点 ，连结 ， ，设 AD＝2a，则 AB＝BC＝AP＝a，PD a,则 ，∴ 为等腰三角形，且底边 BC 上的高为 ， 的面积为 . 的面积为 ， 解得： ， 四梭锥 的体积为 . 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面 2 3 3= PB PC 2a= = ΔPBC 1PM PC3 = ΔPBC  ABCD ⊥ PAD BAD=90∠ ° AB∴ ⊥ PAD AB PD∴ ⊥ ΔPAD 1AP AD2 = ADP 30∠ = ° ∴ 1sin ADP APD2 ∠ ∠= APD 90∠∴ = ° PD ⊥ PAD PD PB∴ ⊥ AD F CF PF 3= PB PC 2a= = ΔPBC 7 a2 1PM PC3 = ΔMBC 2 7 3 ΔPBC∴ 7 1 7a a 72 2 ∴ × = a 2= ∴ P ABCD− ( )1 1 2 4 2 3 2 33 2 × × + × × = - 15 - 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.在直角坐标系 xOy 中，动点 P 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是 ， 设动点 P 的轨迹为 E． （1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （2）设过 F 的直线交轨迹 E 的弦为 AB，过原点的直线交轨迹 E 的弦为 CD，若 ，求 证： 为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）设点 ，根据动点 P 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是 ， 列出等式，再化简即可得出答案. （2）设出直线 AB 与直线 CD，联立直线与椭圆，即可得出 、 的值，即可求出 . 【详解】解：（1）设点 ，由题意得 ，将两边平方，并简化得 ， 故轨迹 的方程是 ． （2）证明：①当直线 AB 的斜率不存在时，易求 ， ， 则 ． ②当直线 AB 的斜率存在时， (1,0)F 4x = 1 2 CD AB 2| | | | CD AB 2 2 14 3 x y+ = ( ),P x y (1,0)F 4x = 1 2 | |AB | |CD 2| | 4| | CD AB = ( ),P x y 2 2( 1) 1 | 4 | 2 x y x − + =− 2 2 14 3 x y+ = 1C 2 2 14 3 x y+ = | | 3AB = | | 2 3CD = 2| | 4| | CD AB = - 16 - 设直线 AB 的斜率为 k，依题意 ， 则直线 AB 方程为 ，直线 CD 的方程为 ． 设 ， ， ， ， 由 得 ． 则 ， ， 由 整理得 ，则 ． ． ∴ ． 综合①②知： 为定值． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程,椭圆中的定值问题,一般关于直线与双曲线相交的定值或 定点问题，都需设出直线，联立直线与双曲线，利用韦达定理，利用参数将将所求值表示出 的 0k ≠ ( 1)y k x= − y kx= ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y 2 2 14 3 ( 1) x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k −= + 2 1 2| | 1AB k x x= + − 22 2 2 2 2 8 4 121 43 4 3 4 k kk k k    −= + ⋅ −   + +    ( )2 2 12 1 3 4 k k + = + 2 2 14 3 x y y kx  + =  = 2 2 12 3 4x k = + 3 4 2 4 3 3 4 x x k − = + ( )2 2 3 4 2 3 1 | | 1 4 3 4 k CD k x x k + = + − = + ( ) ( ) 22 2 2 2 48 1| | 3 4 4| | 3 4 12 1 kCD k AB k k + += ⋅ =+ + 2| | 4| | CD AB = - 17 - 来,化简得即可得出答案.本类问题一般计算量较大.需要注意的是：在设直线时需考虑直线斜 率不存在的情况.属于中档题. 21.已知函数 ， . （Ⅰ）求函数 的极值； （Ⅱ）若实数 为整数，且对任意的 时，都有 恒成立，求实数 的 最小值. 【答案】（Ⅰ）极大值为 ，无极小值；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可 确定函数的极值； (Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点 的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数 m 的最小值. 【详解】(Ⅰ)设 ， ∴ ， 令 ，则 ； ，则 ； ∴ 在 上单调递增， 上单调递减， ∴ ，无极小值. (Ⅱ)由 ，即 在 上恒成立， ∴ 在 上恒成立， 设 ，则 ， 显然 ， ( ) ln 1f x x x= + + ( ) 2 2g x x x= + ( ) ( )y f x g x= − m 0x > ( ) ( ) 0f x mg x− ≤ m 1 ln 24 − ( ) ( ) ( ) 2ln 1x f x g x x x xϕ = − = − − + ( ) ( )( )2 1 11 2 1 x xx xx x ϕ − − +′ = − − = ( ) 0xϕ′ > 10 2x< < ( ) 0xϕ′ < 1 2x > ( )xϕ 10, 2      1 ,2  +∞   ( ) 1 1= ln 22 4xϕ ϕ   = −  极大 ( ) ( ) 0f x mg x− ≤ ( )2ln 1 2 0x x m x x+ + − + ≤ ( )0, ∞+ 2 ln 1 2 x xm x x + +≥ + ( )0, ∞+ ( ) 2 ln 1 2 x xh x x x + += + ( ) ( )( ) ( )22 1 2ln 2 x x xh x x x − + +′ = + 1 0x + > ( )22 2 0x x+ > - 18 - 设 ，则 ，故 在 上单调递减 由 ， ， 由零点定理得 ，使得 ，即 且 时， ，则 ， 时， . 则 ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减 ∴ ， 又由 ， ，则 ∴由 恒成立，且 为整数，可得 的最小值为 1. 【点睛】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理 方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （二）选做部分（二选一，本小题 10 分） 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （a 为参数），在以原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 . （1）求 C 的普通方程和 l 的倾斜角； （2）设点 ，l 和 C 交于 A，B 两点，求 . 【答案】(1) . . (2) . 【解析】 【分析】 ( ) ( )2lnt x x x= − + ( ) 21 0t x x  ′ = − + <   ( )t x ( )0, ∞+ ( )1 1 0t = − < 1 1 1 12ln 2ln 2 02 2 2 2t    = − + = − >       0 1 ,12x  ∃ ∈   ( )0 0t x = 0 02ln 0x x+ = ( )00,x x∈ ( ) 0t x > ( ) 0h x′ > ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0t x < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( ) 0 0 0 2max 0 0 ln 1 2 x xh x h x x x + += = + 0 02ln 0x x+ = 0 1 ,12x  ∈   ( ) 0 0 0 2 0 0 0 ln 1 1 1 ,12 2 2 x xh x x x x + +  = = ∈ +   ( )m h x≥ m m 3cos sin x y α α =  = sin 24 πρ θ − =   (0,2)P | |+| |PA PB 2 2 19 x y+ = 4 π 18 2| | | | 5PA PB+ = - 19 - （1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程，再计算倾斜角. （2）判断点 在直线 l 上，建立直线参数方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到答案. 【详解】（1） 消去参数 α 得 ， 即 C 的普通方程为 . 由 ，得 ，（*） 将 ，代入（*），化简得 ， 所以直线 l 的倾斜角为 . （2）由（1），知点 在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为 （t 为参 数）， 即 （t 为参数）， 代入 并化简，得 ， ， 设 A，B 两点对应的参数分别为 ， ， 则 ， ， 所以 ， ，所以 . 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，倾斜角，利用直线的参数方程可以简化运算. (0,2)P 3cos , sin , x y α α =  = 2 2 19 x y+ = 2 2 19 x y+ = sin 24 πρ θ − =   sin cos 2ρ θ ρ θ− = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = +2y x= 4 π (0,2)P cos 4 2 sin 4 x t y t π π  =  = + 2 2 22 2 x t y t  =  = + 2 2 19 x y+ = 25 18 2 27 0t t+ + = 2(18 2) 4 5 27 108 0∆ = − × × = > 1t 2t 1 2 18 2 05t t+ = − < 1 2 27 05t t = > 1 0t < 2 0t < ( )1 2 1 2 18 2| | | | 5PA PB t t t t+ = + = − + = - 20 - 23.已知 （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 解集为实数集 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）将 代入 ，对 分类讨论去绝对值再求解集． （2）不等式 的解集为实数集 等价于 恒成立． 【详解】（1）当 时， ， 当 时，由 得 ，得 ，或 ， 所以 . 当 时 ,由 得 , 解得 ，或 . 所以 当 时，由 得 ， 解得 ，或 . 所以 综上 当 时， 的解集为 . （2） 解集为实数集 ， 当 时， ， 的 的 ( ) 22 2 1f x x x a= + − + 3a = − ( ) 2f x x x> + ( ) 0f x ≥ R a 1 171 2x x x  − + −     或 1 ,2  − +∞  3a = − ( )f x x ( ) 0f x ≥ R 22 2 1a x x≥ − − − 3a = − ( ) 22 2 1 3f x x x= + − − 0x ≤ ( ) 2f x x x> + 2 2 0x x− − > 1x < − 2x > 1x < − 10 2x< ≤ ( ) 2f x x x> + 2 3 2 0x x− − > 3 17 2x −< 3 17 2x +> x φ∈ 1 2x > ( ) 2f x x x> + 2 4 0x x+ − > 1 17 2x − −< 1 17 2x − +> 1 17 2x − +> 3α = − ( ) 2f x x x> + 1 171 2x x x或  − + −     ( ) 0f x ≥ 22 2 1R a x x⇔ ≥ − − − 1 2x ≥ 2 22 2 1 2 2 1x x x x− − − = − − + 21 3 12 2 2 2x = − + + ≤ −   - 21 - 当 时， ， 的最大值为 . 实数 的取值范围为 . 【点睛】解含有两个以上绝对值的不等式经常用零点分段法去绝对值， 解不等式可转化为函数的恒成立问题． 1 2x < 2 22 2 1 2 2 1x x x x− − − = − + − 21 1 12 2 2 2x = − − − < −   22 2 6x x∴− − − 1 2 − ∴ a 1 ,2  − +∞  - 22 -