数学理卷·2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第二次联考（2018

数学理卷·2018届安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第二次联考（2018

安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考 数学试题（理）‎ 命题：合肥一六八中学 考试时间：120分钟 满分：150分 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．若集合，且，则集合B可以是（ ）‎ ‎ A．} B．} C． D．R ‎2．若复数其中a,b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（ ）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．已知是等差数列的前n项和，且对，下列说法不正确的是（ ）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、成等差数列； D、数列是等差数列；‎ ‎4．已知函数 f(x)是定义域在R上的奇函数，且在[0，+∞）单调递增，若实数a满足 ‎，则a的取值范围是（ ）‎ ‎ A、(-,2] B、(0, ] C、[ ,2] D、(0,2] ‎ ‎5．如图是某几何体的三视图，则该几何体内切球的表面积为（ ）‎ ‎ A．3p B． C． D、 ‎ ‎ ‎ ‎6．已知x,y满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值的差等于（ ）‎ ‎ A、1 B、-1 C、2 D、-2‎ ‎7．若a和b都是计算机在区间（0，2）上产生的随机数，那么ab<1的概率为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设函数f(x)=是常数，），且函数f(x)‎ 的部分图象如图所示，将函数f(x)图象向右平移个单位所得函数图象与g(x)= 图象重合，则a的值可以是（ ）‎ A、-p B、-p C、p D、‎ ‎9．若，若=84，则实数a的值为（ ）‎ ‎ A、1 B、2 C、-2 D、-3‎ ‎10．已知点P(x,y)满足 ，过点P作抛物线x2=8y的两条切线，切点为A,B，则直线AB斜率的最大值为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11．若数列的前n项和满足：对都有（M为常数）成立，则称数列为“和敛数列”，则数列，，， = 中是“和敛数列”有（ ）个。‎ ‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ ‎12 ．定义在 R 上 的函数 f(x) 满足 ： f（x+1）== f(x-1) ，且 当 x[0,2) 时，‎ ‎ ，使方程有3个解的一个充分不必要条件是（ ）‎ ‎ A、a(-1,0) B、a(-1, ) C、a D、a )‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．运行右边程序框图,当输入某个正整数n后,输出的S(10,20),那么n的值为 。‎ ‎14．已知正方形ABCD的边长为 2，点P,Q分别是边AB,BC边上的动点，且AP=BQ，则的最小值为 。‎ ‎15．已知F1,F2是双曲线 1(a>0,b>0)的左右两个焦点，P是双曲 线右支上一点，PF1F2内切圆方程为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，过F作 F1MPC于M，O为坐标原点，则OM的长度为 。‎ ‎16．底面是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱BC的中点，点P在线段BD1上，当C1Q//平面APC时，则的值为 。‎ 三．解答题（共7题，合70分，写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎（一）必做题：共60分 ‎17．（本题满分12分）△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足1+‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若△ABC为锐角三角形，求函数y=2sin2B-2cosBcosC的值域；‎ ‎18．（本题满分12分）为了落实习主席提出 “绿水清山就是金山银山”的环境治理要求，全国各地纷纷规定春节期间禁止燃放烟花爆竹，以减轻大量燃放烟花爆竹造成的环境污染。有关部门在除夕和初一对往年燃放严重的10万个地点测量了PM2.5的浓度，调查数据显示这些PM2.5的浓度值服从正态分布N(168,16)．现从合肥地区的数据中随机抽取50个进行分析，发现这些数据都在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估春节期间合肥地区PM2.5浓度的中位数及这50个地点PM2.5的浓度在172以上（含172）的个数；‎ ‎（2）在这50个数据中PM2.5浓度值在172以上（含172）中任意抽取2个，这2个PM2.5的浓度值在全国前130名（从高到低）的个数记为，求的数学期望。‎ 参考数据：若2)，则 ‎ 0.6826，‎ ‎0.9544，‎ ‎ 0.9974‎ ‎19．（本题满分12分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，‎ AB//CD，AB=BC=CC1=2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥平面BCC1B1‎ ‎（Ⅱ）若∠BCD=∠C1CD=60°，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与DC1B1平面所成角（锐角）的余弦值．‎ ‎20．本题满分12分）已知F(2,0)是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F关于y轴的对称点为F/，‎ 曲线W上任意一点Q满足：直线FQ和直线FQ的斜率之积为。‎ ‎（1）求曲线W的方程；‎ ‎（2）过F(2,0)且斜率为正数的直线l与抛物线交于A,B两点，其中点A在x轴上方，与曲线W 交于点C，若△F/BF的面积为S1，△F’CF的面积为S2 ，当时，求直线l的方程。‎ ‎21．（本题满分12分）已知函数，，‎ ‎（1）求证：对R，函数f(x)与g(x)存在相同的增区间；‎ ‎（2）若对任意的，都有f(x)>g(x)成立，求正整数k的最大值 ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程．经过定点P(0,1)的直线l与曲线C交于M,N两点。‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当|PM|-|PN|=1时，求直线l的方程；‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数f(x)=|x-2|-|2x-a|,a∈R ‎（1）当a=3时，解不等式f(x)>0；‎ ‎（2）当x∈(-∞,2)时，f(x)+x2>0恒成立，求a的取值范围．‎ 安徽六校教育研究会2018届高三第二次联考 数学（理科）参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B D B C A A B ‎ D C D 二、填空题 ‎13、4 14、3 15、1 16、2‎ 三、解答题：（注意过程评分）‎ ‎17解：（1）由 得，，‎ 所以： ................6分 ‎（2）因为，，所以，‎ 则 又△为锐角三角形，所以 所以：，所以：； ................12分 ‎ ‎18、解：（1）在[160，164）内的频率为，在[164，168）内的频率为，‎ 设合肥市50个数据的中位数为，则，‎ 所以 所以，合肥地区PM2.5浓度的中位数 ‎ .....3分 ‎50个数据在172以上（含172）的个数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10． .....5分 ‎（2）∵P（168﹣3×4≤＜168+3×4）=0.9974，∴P（≥180）=（1﹣0.9974）=0.0013，‎ ‎∵0.0013×100 000=130．‎ ‎∴全国前130名的PM2.5浓度在180以上（含180）， ................8分 这50个中在180以上（含180）的有2个 ‎∴随机变量的可能取值为0，1，2，‎ ‎∴P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=‎ ‎∴E（）= ................12分 ‎19、证明：（1）连结DE，D1E，∵AB∥CD，AB=2CD，E是AB的中点，‎ ‎∴BE∥CD，BE=CD， ∴四边形BCDE是平行四边形，‎ ‎∴DE∥BC，又DE平面BCC1B1，‎ ‎∴DE∥平面BCC1B1， 同理D1D∥平面BCC1B1，又D1D∩DE=D，‎ ‎∴平面DED1∥平面BCC1B1， ∵EF平面DED1，‎ ‎∴EF∥平面BCC1B1． ................6分 方法一（2）∵AB=BC=CC1=2CD，∠BCD=∠C1CD=60°，‎ 设CD=1，则BC=2，BD2=3 ∴BD⊥CD． 同理：C1D⊥CD，‎ ‎∵平面D1C1CD⊥平面ABCD，平面D1C1CD∩平面ABCD=CD，C1D平面D1C1CD，‎ ‎∴C1D⊥平面ABCD， ∴C1D⊥BC．∴C1D⊥B1C1‎ 在平面ABCD中，过D作DH⊥BC，垂足为H，连结C1H．‎ ‎∴BC⊥平面C1DH，∵C1H平面C1DH，‎ ‎∴BC⊥C1H， 所以，B1C1⊥C1H，‎ ‎∴∠DC1H为平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角．‎ 在Rt△BCD中， C1D=， 在Rt△C1DH，C1H=，∴cos∠DC1H=‎ ‎∴平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角（锐角）的余弦值为 ................12分 方法二：可以建立空间坐标系解答，（略）‎ ‎20、解：（1）由题意可知：，设曲线W上任意一点坐标Q（x,y）,则：‎ ‎，又 整理得：，所以曲线W的方程为：. ................5分 (2) 是抛物线的焦点，，则抛物线的方程为.‎ 设直线l的方程为，将直线l的方程代入曲线方程，整理得：，‎ 又因为可得：‎ 又因为B在抛物线上，，整理得：，又，直线l的方程为： ................12分 注：如果设的方程为，计算量较小。‎ ‎21、解：（1），所以在为增函数，在为减函数 由 当时，恒成立，则f（x）在R上单调递增，所以命题成立 当时，在为减函数，在为增函数 设得得 在为减函数，在为增函数，且，所以 同理，所以，所以函数与也存在相同的增区间 综上命题成立 ................5分 ‎（2）证明：（2）对任意的，都有，‎ 则，‎ 则 所以△=‎ 即，由（1）知 所以有：恒成立 设，则，且 由 所以在上有唯一实数根，且 当时为减函数，当时为增函数 所以，， 所以，‎ 且是正整数，所以，所以的最大值为4 ...............12分 ‎22解：（1）由曲线的极坐标方程，‎ 得：，‎ 所以曲线的直角坐标方程： ................5分 ‎（2）直线的参数方程可设为： 代入圆的方程得：‎ 所以 又因为 则 所以，直线的方程为： ................10分 ‎23、解：（1）‎ 当时，即，解得：；‎ 当时，，即，解得：；‎ 当时，，即，解得；‎ 综上所述，不等式的解集为 ................5分 ‎（2）时，恒成立，即 即：，也即：‎ 所以时恒成立 解得：‎ 所以的取值范围是 ................10分