假期培优解决方案+寒假专题突破练+高二文科数学（选修1-1必修5）（通用版）专题6+不等关系与不等式x
专题6 不等关系与不等式
1．实数的基本性质
a>b⇔a－b>0；
a＝b⇔a－b＝0；
a
b⇔bb，b>c⇒a>c；
(3)a>b⇒a＋c>b＋c.
推论：a＋b>c⇒a>c－b；
(4)a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒an>bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒>.
例1 对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a>b，则acbc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若a>b，ab>0，则<；
⑤若c>a>b>0，则>.
其中真命题的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1 判断下列命题的真假：
(1)若a>b，则<；
(2)若abc－3，则a>b；
(4)若a>b，k∈N*，则ak>bk；
(5)若a>b，b>c，则a－b>b－c.
例2 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
变式2 已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．
例3 已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，x1，x2，x3∈R且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x1＋x3>0.证明：f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
变式3 已知a>b>0，证明：a－>b－.
A级
1．若a>b>0，c B.<
C.> D.<
2．已知a、b为非零实数，且ab>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
5．(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2的大小关系为______________________________________．
6．设a<0，－10且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为( )
A．MN D．M≥N
9．若0b，a，b，m∈R＋)的大小关系是__________．
11．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，真命题的个数是________．
12．已知a>b>0，c.
13．设函数f(x)＝|lg x|，若0f(b)．证明：ab<1.
详解答案
典型例题
例1 C [①反例：c＝0时结论不成立．
②由ac2>bc2，知c2≠0，故c2>0，所以a>b.
③由⇒a2>ab，⇒ab>b2，故a2>ab>b2.
④由ab>0，知>0，故a·>b·，即<.
⑤a>b，得－a<－b，得c－aa，故0>0，又a>b>0，所以>.]
变式1 解 都是假命题．
例2 解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
(步骤：作差—变形—判号—结论)
变式2 解 ∵＋－(＋)＝(－)＋(－)＝＋
＝(a－b)(－)＝(a－b)
＝(＋)(－)
＝(＋)≥0.
∴＋≥＋.
例3 证明 由x1＋x2>0，得x1>－x2，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，故f(x1)0)，由y＝x及y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，
知f(x)＝x－在(0，＋∞)上是增函数，故a>b>0时，有f(a)>f(b)，即a－>b－.
强化提高
1．B [方法一 令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，
所以<，所以选项A错误，选项B正确．故选B.
方法二 因为c－d>0，所以>>0.
又a>b>0，所以>，所以<.故选B.]
2．C
3．A [由－<α<β<，知－<α<①
－<－β<②
所以－π<α－β<π.
又α<β，故α－β<0，所以－π<α－β<0.]
4．A [由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，⇒ab>ac.]
5．(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2 6.a0，从而(x2＋1)2>x4＋x2＋1.
8．C
9．A [特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，
∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]
10.< 11.3
12．证明 cb－d>0⇒⇒>.
13．证明 由题意，得|lg a|>|lg b|，
所以(lg a)2>(lg b)2，
所以(lg a)2－(lg b)2＝(lg a＋lg b)(lg a－lg b)＝lg lg(ab)>0，
∵0
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