中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月试题 数学（理）
中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试
理科数学试卷
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A＝{x|－1
logba的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
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8.已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示。则
A. B.
C. D.
9.在△ABC中，若，则
A.1 B. C. D.
10.在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝4，E是边BC上的点，EC＝1，EF//CD，将平面EFDC绕EF旋转90°后记为平面α，直线AB绕AE旋转一周，则旋转过程中直线AB与平面α相交形成的点的轨迹是
A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线
11.已知函数f(x)＝(lnx－1)(x－2)i－m(i＝1，2)，e是自然对数的底数，存在m∈R
A.当i＝1时，f(x)零点个数可能有3个 B.当i＝1时，f(x)零点个数可能有4个
C.当i＝2时，f(x)零点个数可能有3个 D.当i＝2时，f(x)零点个数可能有4个
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an(2Sn－an)＝1，则下列结论中
①数列{Sn2}是等差数列； ②； ③anan＋1<1
A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和。这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1＋1”。1966年，我国数学家陈景润证明了“1＋2”，获得了该研究的世界最优成果，若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是 。
14.已知△ABC的面积等于1，若BC＝1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA＝ 。
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15.已知F是椭圆C：的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径。设C的左顶点与上顶点分别为A、B，若存在以A为圆心，|FP|为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为 。
16.设函数f(x)＝|x3－6x2＋ax＋b|，若对任意的实数a和b，总存在x0∈[0，3]，使得f(x0)≥m，则实数m的最大值为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：60分。
17.(12分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(－1，)。
(1)求的值；
(2)求函数f(x)＝sin2(x＋α)－cos2(x－α)(x∈R)的最小正周期与单调递增区间。
18.(12分)如图，多面体ABCDEF中，四边形ABEF和四边形CDFE是两个全等的菱形，AB＝2，∠BAF＝∠ECD＝60°。
(1)求证：BD⊥DC；
(2)如果二面角B－EF－D的平面角为60°，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值。
19.(12分)已知等比数列{an}的公比q>1，且a1＋a3＋a5＝42，a3＋9是a1，a5的等差中项。数列{bn}的通项公式。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：。
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20.(12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，焦点为F，准线与y轴交于点E。若点P在C上，横坐标为2，且满足：。
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线PE交x轴于点Q，过点Q做直线l，与抛物线C有两个交点M，N(其中，点M在第一象限)。若，当λ∈(1，2)时，求的取值范围。
21.(12分)已知函数f(x)＝(x＋1)(ex－1)。
(1)求f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程；
(2)若方程f(x)＝b有两个实数根x1，x2，且x10。若曲线C上所有点均在直线l的右上方，求a的取值范围。
23.[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1。
(1)求证：；(2)求的最小值。
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