数学理卷·2018届湖南省师大附中高三月考试卷（六）（2018
湖南师大附中 2018 届高三月考试卷(六)
数 学(理科)
命题人：吴锦坤 张汝波 审题人：黄祖军
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 10 页．时量 120 分钟．满分 150
分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
(1)已知集合 A＝{x|x2＋x－2≤0，x∈Z}，B＝{a，1}，A∩B＝B，则实数 a 等于(D)
(A)－2 (B)－1 (C)－1 或 0 (D)－2 或－1 或 0
(2)设 p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若 q 是 p 的必要而不充分条件，则实
数 a 的取值范围是(A)
(A)[0，
1
2 ] (B)(0，
1
2 )
(C)(－∞，0]∪[1
2，＋∞) (D)(－∞，0)∪(1
2，＋∞)
【解析】由 p 得： 1
2
0)的图像向左平移
π
3ω个单
位，得到函数 y＝g(x )的图像，若 y＝g(x )在[0，
π
4 ]上为增函数，则 ω 的最大值为(B)
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】由题意，f(x )＝2sin(ωx－π
3 )(ω > 0)，先利用图像变换求出 g (x )的解析
式：g(x )＝f(x＋ π
3ω)＝2sin[ω(x＋ π
3ω)－π
3 ]，即 g(x )＝2sin ωx，其图像可视为 y＝sin
x 仅仅通过放缩而得到的图像．若 ω 最大，则要求周期 T 取最小，由[0，
π
4 ]为增函数可得：x
＝
π
4 应恰好为 g (x )的第一个正的最大值点，
∴
π
4 ω＝
π
2 ω＝2.
(7)已知 x，y 满足约束条件{x－2y－2 ≤ 0，
2x－y＋2 ≥ 0，
x＋y－2 ≤ 0，
若 ax＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实
数 a 的值为(C)
(A)1
2或－1 (B)2 或1
2 (C)－2 或 1 (D)2 或－1
【解析】由题中约束条件作可行域如右图所示：
令 z＝ax＋y，化为 y＝－ax＋z，即直线 y＝－ax＋z 的纵截距取得最大值时的最优解不
唯一．
当－a>2 时，直线 y＝－ax＋z 经过点 A(－2，－2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，
故不符合题意；
当－a＝2 时，直线 y＝－ax＋z 与 y＝2x＋2 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故
符合题意；
当－1<－a<2 时，直线 y＝－ax＋z 经过点 B(0，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，
故不符合题意；
当－a＝－1 时，直线 y＝－ax＋z 与 y＝－x＋2 重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，
故符合题意；
当－a<－1 时，直线 y＝－ax＋z 经过点 C(2，0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，
故不符合题意．
综上，当 a＝－2 或 a＝1 时最优解不唯一，符合题意．故本题正确答案为 C.
(8)若直线 ax＋by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆 x2＋y2－2x－2y＝2 的周长，则1
2a＋1
b的最
小值为(D)
(A)3－2 2
4 (B)3－2 2
2
(C)3＋2 2
2 (D)3＋2 2
4
【解析】直线平分圆周，则直线过圆心 f(1，1)，所以有 a＋b＝2，1
2a＋1
b＝1
2(a＋b)( 1
2a＋1
b)＝
1
2(3
2＋ b
2a＋a
b)≥1
2(3
2＋2 b
2a·a
b)＝3＋2 2
4 (当且仅当 b＝ 2a 时取“＝”)，故选 D.
(9)把 7 个字符 a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”
也不相邻，则这样的排法共有(B)
(A)144 种 (B)96 种 (C)30 种 (D)12 种
【解析】先排列 b，b，α，β，若 α，β不相邻，有 A22C 23种，若 α，β相邻，有 A 33种，
共有 6＋6＝12 种，从所形成的 5 个空中选 3 个插入 a，a，a，共有 12C35＝120 种，若 b，b
相邻时，从所形成的 4 个空中选 3 个插入 a，a，a，共有 6C34＝24，故三个“a”两两不相邻，
且两个“b”也不相邻，这样的排法共有 120－24＝96 种．
(10)设椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A、B 关于原点对称，
且满足FA
→
·FB
→
＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆 C 的离心率的取值范围是(A)
(A)[ 2
2 ，
5
3 ] (B)[ 5
3 ，1) (C)[ 2
2 ， 3－1] (D)[ 3－1，1)
【解析】作出椭圆左焦点 F′，由椭圆的对称性可知，四边形 AFBF′为平行四边形，又
FA
→
·FB
→
＝0，即 FA⊥FB，故平行四边形 AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设 AF′＝n，AF＝m，则在直角三角形 ABF 中 m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2 ①，得 mn＝2b2
②，
①÷②得m
n＋n
m＝2c2
b2 ，令m
n＝t，得 t＋1
t＝2c2
b2 .
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得m
n＝t∈[1，2]，∴t＋1
t＝2c2
b2 ∈[2，
5
2 ]，故离心率的取值范围是
[ 2
2 ，
5
3 ].
(11)在△ABC 中，AB＝2 m，AC＝2 n，BC＝2 10，AB＋AC＝8，E，F，G 分别为
AB，BC，AC 三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF 分别沿 EF、EG、GF 向上折起，使 A、
B、C 重合，记为 S，则三棱锥 S－EFG 的外接球面积最小为(D)
(A)29
2 π (B)2 33π (C)14π (D)9π
【解析】根据题意，三棱锥 S－EFG 的对棱分别相等，将三棱锥 S－EFG 补充成长方体，
则对角线长分别为 m，n，10， 设长方体的长宽高分别为 x，y，z,
则 x2＋y2＝m，y2＋z2＝10，x2＋z2＝n，∴x2＋y2＋z2＝5＋m＋n
2 ，
∴三棱锥 S－EFG 的外接球直径的平方为 5＋m＋n
2 ，
而 m＋ n＝4，m＋n
2 ≥( m＋ n
2 )2
＝4，∴5＋m＋n
2 ≥9，
∴三棱锥 S－EFG 的外接球面积最小为 4π·9
4＝9π，所以 D 选项是正确的．
(12)已知函数 f(x)＝{－3
2x＋1，x ≥ 0，
e－x－1，x < 0，
若 x10，g(x2)递增；当1
3 0 )，PN
→
＝μ( PM
→
|PM
→
|
＋
PF2→
|PF2→
|)，PN
→
·F2N→
＝0.若|PF2→
|＝3，
则以 O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为__49π__．
【解析】由PN
→
＝μ ( PM
→
|PM
→
|
＋
PF2→
|PF2→
|)知 PN 是∠MPF2 的角平分线，又PN
→
·F2N→
＝0，故延长
F2N 交 PM 于 K，则 PN 是△PF2K 的角平分线又是高线，故△PF2K 是等腰三角形，|PK|＝|PF2|
＝3，因为|PF2→
|＝3，故|PF1→
|＝11，故|F1K→
|＝14，注意到 N 还是 F2K 的中点，所以 ON 是△F1F2K
的中位线，|ON
→
|＝1
2|F1K→
|＝7，所以以 O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为 49π.
(16)如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，sin∠ABE＝ 3
3 ，AB＝2，点 D 在线段 AC 上，
且AD
→
＝2DC
→
，BD＝4 3
3 ，则 BE＝__4
5 6__．
【解析】由条件得 cos∠ABC＝1
3，sin∠ABC＝2 2
3 .
在△ABC 中，设 BC＝a，AC＝3b，则 9b2＝a2＋4－4
3a ①.
因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以 cos∠ADB＝－cos∠CDB，
4b2＋16
3 －4
16 3
3 b
＝－
b2＋16
3 －a2
8 3
3 b
，
所以 3b2－a2＝－6 ②，联立①②解得 a＝3，b＝1，所以 AC＝3，BC＝3.
S△ABC＝1
2·AC·ABsin A＝ 1
2×3×2×2 2
3 ＝2 2，
S△ABE＝1
2·BE·BAsin∠EBA＝ 1
2×2×BE× 3
3 ＝ 3
3 BE.
S△BCE＝1
2·BE·BCsin∠EBC＝ 1
2×3×BE× 3
3 ＝ 3
2 BE.
由 S△ABC＝S△ABE＋S△BCE，得 2 2＝ 3
3 BE＋ 3
2 BE，∴BE＝4
5 6.
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分 12 分)
设数列{an}满足 a2n＝an＋1an－1＋λ(a2－a1)2，其中 n≥2，且 n∈N，λ为常数．
(Ⅰ)若{an}是等差数列，且公差 d≠0，求 λ 的值；
(Ⅱ)若 a1＝1，a2＝2，a3＝4，且数列{bn}满足 an·bn＝n－7 对任意的 n∈N*都成立．
①求数列{bn }的前 n 项之和 Sn；
②若 m·an≥n－7 对任意的 n∈N*都成立，求 m 的最小值．
【解析】(Ⅰ)由题意，可得 a2n＝(an＋d)(an－d)＋λd2，(2 分)
化简得(λ－1)d2＝0，又 d≠0，所以 λ＝1.(3 分)
(Ⅱ)①将 a1＝1，a2＝2，a3＝4 代入条件，可得 4＝1×4＋λ，解得 λ＝0，(4 分)
所以 a2n＝an＋1an－1，则数列{an }是首项为 1，公比 q＝2 的等比数列，
所以 an＝2n－1，从而 bn＝n－7
2n－1，(6 分)
所以 Sn＝
－6
20 ＋
－5
21 ＋
－4
22 ＋…＋n－7
2n－1，
1
2Sn＝
－6
21 ＋
－5
22 ＋
－4
23 ＋…＋n－7
2n ，
两式相减得：1
2Sn＝
－6
20 ＋ 1
21＋ 1
22＋…＋ 1
2n－1－n－7
2n ＝－5＋5－n
2n ；
所以 Sn＝－10＋5－n
2n－1.(8 分)
②m·2n－1≥n－7，所以 m≥n－7
2n－1对任意 n∈N*都成立．
由 bn＝n－7
2n－1，则 bn＋1－bn＝n－6
2n －n－7
2n－1＝8－n
2n ，
所以当 n>8 时，bn＋1bn.
所以 bn 的最大值为 b9＝b8＝ 1
128，所以 m 的最小值为 1
128.(12 分)
(18)(本小题满分 12 分)
阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工
智能程序，由谷歌(Google)公司的团队开发．其主要工作原理是“深度学习”.2017 年 5 月，
在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以 3 比 0 的总比分获
胜．围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平．
为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”
软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生，并把他们的比赛成绩按五个等
级进行了统计，得到如下数据表：
成绩等级 A B C D E
成绩(分) 5 4 3 2 1
人数(名) 4 6 10 7 3
(Ⅰ)根据上面的统计数据，试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级
为“A 或 B”的概率；
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选 3 人，记 X 表
示抽到成绩等级为“A 或 B”的学生人数，求 X 的分布列及其数学期望 EX；
(Ⅲ)从这 30 名学生中，随机选取 2 人，求“这两个人的成绩之差大于 1 分”的概率．
【解析】(Ⅰ)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的 30 名中学生中任意抽取一人，
其成绩等级为“A 或 B”的概率为： 4
30＋ 6
30＝1
3，(2 分)
即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或 B”的概率为1
3.(3 分)
(Ⅱ)由题意知随机变量 X 可取 0，1，2，3，则 X～B(3，
1
3 ).
P(x＝k)＝Ck3(1
3 )k
(2
3 )3－k
(k＝0，1，2，3)，(5 分)
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P 8
27
4
9
2
9
1
27
(6 分)
则 E(x)＝3×1
3＝1，所求期望值为 1.(7 分)
(Ⅲ)设事件 M：从这 30 名学生中，随机选取 2 人，这两个人的成绩之差大于 1 分．
设从这 30 名学生中，随机选取 2 人，记两个人的成绩分别为 m，n，
则基本事件的总数为 C 230，不妨设 m>n，
当 m＝5 时，n＝3，2，1，基本事件的个数为 C14(C 110＋C17＋C13)；
当 m＝4 时，n＝2，1，基本事件的个数为 C16(C17＋C13)；
当 m＝3 时，m＝1，基本事件的个数为 C 110C13；
P(M)＝34
87.(12 分)
(19)(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 A－EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面 AEF⊥平面 EFCB，EF∥
BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O 为 EF 的中点．
(Ⅰ)求二面角 F－AE－B 的余弦值；
(Ⅱ)若点 M 为线段 AC 上异于点 A 的一点，BE⊥OM，求 a 的值．
【解析】(Ⅰ)因为△AEF 是等边三角形，O 为 EF 的中点，所以 AO⊥EF，
又因为平面 AEF⊥平面 EFCB，平面 AEF∩平面 EFCB＝EF，
AO平面 AEF，所以 AO⊥平面 EFCB，
取 BC 的中点 G，连结 OG，
由题设知四边形 EFCB 是等腰梯形，所以 OG⊥EF，
由 AO⊥平面 EFCB，又 GO平面 EFCB，所以 AO⊥GO，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 E(a，0，0)，A(0，0， 3a)，B(2， 3(2－a )，0)，EA
→
＝(－a，0， 3a)，
BE
→
＝(a－2， 3(a－2 )，0)，
设平面 AEB 的法向量为 n＝(x，y，z)，
则{n·EA
→
＝0，
n·BE
→
＝0，
即{－ax＋ 3az＝0，
(a－2 )x＋ 3(a－2 )y＝0.
令 z＝1，则 x＝ 3，y＝－1，于是 n＝( 3，－1，1)，
又平面 AEF 的一个法向量为 p＝(0，1，0)，设二面角 F－AE－B 为 θ，
所以 cos θ＝cos〈n，p〉＝ n·p
|n||p|＝－ 5
5 .(6 分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AO⊥平面 EFCB，又 BE平面 EFCB，所以 AO⊥BE，
又 OM⊥BE，AO∩OM＝O，
所以 BE⊥平面 AOC，所以 BE⊥OC，即BE
→
·OC
→
＝0，
因为BE
→
＝(a－2， 3(a－2 )，0)，OC
→
＝(－2， 3(2－a )，0)，
所以BE
→
·OC
→
＝－2(a－2 )－3(a－2 )
2
，
由BE
→
·OC
→
＝0 及 0b>0)的一个焦点为( 3，0)，A 为椭圆 C 的右顶点，以 A 为圆
心的圆与直线 y＝b
ax 相交于 P，Q 两点，且AP
→
·AQ
→
＝0，OP
→
＝3OQ
→
.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程；
(Ⅱ)不过原点的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，设直线 OM，直线 l，直线 ON 的斜
率分别为 k1，k，k2，且 k1，k，k2 成等比数列．
①求 k 的值；
②是否存在直线 l 使得满足OD
→
＝λOM
→
＋μON
→
(λ2＋μ2＝1，λ·μ≠0)的点 D 在椭圆 C
上？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)如图，设 T 为线段 PQ 的中点，连接 AT，
则 AT⊥PQ，∵AP
→
·AQ
→
＝0，
即 AP⊥AQ，
则|AT|＝1
2|PQ|，
又OP
→
＝3OQ
→
，则|OT|＝|PQ|，
∴|AT|
|OT|＝1
2，即b
a＝1
2，
由已知 c＝ 3，则 a2＝4，b2＝1，
故椭圆 C 的方程为x2
4＋y2＝1；(2 分)
又|AT|2＋|OT|2＝4，则|AT|2＋4|AT|2＝4|AT|＝2 5
5 ，r＝|AP|＝2 10
5 ，
故圆 A 的方程为(x－2)2＋y2＝8
5.(4 分)
(Ⅱ)①设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由{x2
4＋y2＝1
y＝kx＋m
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，(5 分)
则 x1＋x2＝－ 8km
1＋4k2，x1x2＝4（m2－1）
1＋4k2 ，(6 分)
由已知 k2＝k1k2＝y1y2
x1x2＝
（kx1＋m）（kx2＋m）
x1x2 ＝k2＋km（x1＋x2）＋m2
x1x2 ，(7 分)
则 km(x1＋x2)＋m2＝0，即－ 8k2m2
1＋4k2＋m2＝0k2＝1
4k＝±1
2.(8 分)
②假设存在直线 l 满足题设条件，且设 D(x0，y0)，
由OD
→
＝λOM
→
＋μON
→
，得 x0＝λx1＋μx2，y0＝λy1＋μy2，
代入椭圆方程得：
（λx1＋μx2）2
4 ＋(λy1＋μy2)2＝1，
即：λ2(x
4＋y )＋μ2(x
4＋y )＋λμx1x2
2 ＋2λμy1y2＝1，
则 x1x2＋4y1y2＝0，即 x1x2＋4(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，
则(1＋4k2)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，
所以(1＋4k2)·4（m2－1）
1＋4k2 －32k2m2
1＋4k2＋4m2＝0，
化简得：2m2＝1＋4k2，而 k2＝1
4，则 m＝±1，(11 分)
此时，点 M，N 中有一点在椭圆的上顶点(或下顶点)，与 k1，k，k2 成等比数列相矛盾，
故这样的直线不存在．(12 分)
(21)(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ax＋x2－xln a(a>0，a≠1)．
(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性；
(Ⅱ)若存在 x1，x2∈[－1，1]，使得|f(x1)－f(x2)|≥e－1(e 为自然对数的底数)，求 a 的取
值范围．
【解析】(Ⅰ)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a，(1 分)
当 a>1 时，ln a>0，
x∈(0，＋∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
x∈(－∞，0)，f′(x)<0，f(x)单调递减；(2 分)
当 00，f(x)单调递增，
x∈(－∞，0)，f′(x)<0，f(x)单调递减．(3 分)
综上：x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减．(4 分)
(Ⅱ)不等式等价于：|f(x1)－f(x2)|max≥e－1，
即 f(x)max－f(x)min≥e－1，(5 分)
由(Ⅰ)知，函数的最小值为 f(0)＝1，f(x)max＝max{f（－1），f（1）}，
而 f(1)－f(－1)＝(a＋1－ln a)－(1
a＋1＋ln a)＝a－1
a－2ln a，
设 g(a)＝a－1
a－2ln a，则 g′(a)＝1＋ 1
a2－2
a＝(1－1
a )2
>0，
所以 g(a)＝a－1
a－2ln a 在(0，＋∞)单调递增，而 g(1)＝0，
故 a>1 时，g(a)>0，即 f(1)>f(－1)；(7 分)
01 时，原不等式即为：f(1)－f(0)≥e－1a－ln a≥e－1，
设 h(a)＝a－ln a(a>1)，h′(a)＝1－1
a＝a－1
a >0，故函数 h(a)单调递增，
又 h(e)＝e－1，则 a≥e；(10 分)
当 0
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