数学卷·2018届河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考理科数学试卷（解析版）

数学卷·2018届河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考理科数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年河北省邢台市第一中学高二上学期第三次月考理科数学 一、选择题：共12题 ‎1．“，”是“方程表示椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程、充分条件和必要条件的判定；因为“方程表示椭圆”的充要条件为“，且”，所以“，”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件；故选B.‎ ‎ ‎ ‎2．方程表示的曲线不可能是 A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎【答案】D ‎【解析】本题考查圆锥曲线的方程；当时，表示曲线为直线，当时，表示曲线为椭圆，当时，无相应曲线，当时，表示曲线为双曲线；故选D.‎ ‎ ‎ ‎3．有下列四个命题：①若“，则互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③若“，则有实数解”的逆否命题；④“若，则”的逆否命题.其中真命题为 A.①② B.②③ C.①④ D.①②③‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查四种命题及命题真假的判定；①若“，则互为倒数”的逆命题是“，则”，且为真命题；②“‎ 面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，且为真命题；③因为当时，，，所以“，则有实数解”为真命题，则其逆否命题为真命题；④因为“若，则”是假命题，所以其逆否命题为假命题，即①②③为真命题；故选D.‎ ‎ ‎ ‎4．设表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是 A.已知，若，则 B.已知，是在内的射影，若，则 C.已知，若，则 D.已知，，若，则 ‎【答案】C ‎【解析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定及四种命题；“已知，若，则”的逆命题为“已知，若，则”，且为真命题，“已知，是在内的射影，若，则”的逆命题为“已知，是在内的射影，若，则”，且为真命题，“已知，，若，则”的逆命题为“已知，，若，则”，且为真命题，而“已知，若，则”的逆命题为“已知，若，则”，且为假命题；故选C.‎ ‎ ‎ ‎5．若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是 A.2 B.1 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查双曲线的几何性质；由题意得，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，即，即该双曲线的虚轴长是2；故选A.‎ ‎ ‎ ‎6．已知抛物线的准线与抛物线交于两点，的焦点为，若的面积等于1，则的方程是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查抛物线的几何性质；由题意，得抛物线的准线与抛物线交于两点，且，则，解得，即抛物线的方程为；故选A.‎ ‎ ‎ ‎7．已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，则中点的轨迹方程是 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查抛物线的标准方程、点的轨迹方程；将化为，即，设抛物线上的点，的中点为，则，则，即中点的轨迹方程是；故选C.‎ ‎ ‎ ‎8．直线与抛物线只有一个公共点，则的值为 A.1 B.0 C.1或0 D.1或3‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查直线和抛物线的位置关系；联立，得，若时，方程化为，只有一解，若时，，解得，所以的值为1或0；故选C.‎ ‎ ‎ ‎9．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点,两条曲线的交点的连线经过点则双曲线的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程与几何性质.由题意得抛物线的焦点,即双曲线的,由双曲线的对称性可得两条曲线的交点分别为,代入双曲线,可得, 联立与,整理得,解得,即双曲线的离心率.故选D.‎ ‎ ‎ ‎10．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查双曲线的几何性质、直线和圆的位置关系；以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆的方程为，双曲 线的两条渐近线方程为，设，因为四边形的面积为，所以，即，将代入，得，解得，所以双曲线的方程为；故选D.‎ ‎ ‎ ‎11．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题考查抛物线的标准方程、点到直线的距离公式；设抛物线上一动点，则点到直线的距离，到直线的距离，则，当时，到直线和直线的距离之和的最小值是2；故选A.‎ ‎ ‎ ‎12．椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题考查椭圆的几何性质；当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个符合题意的等腰；当构成以为一腰的等腰三角形时，不妨设为的底边，因为，所以点在以为圆心、半径为的圆上，则当以为圆心、半径为的圆和椭圆有2个交点时，存在2个符合题意的等腰，此时，解得；当时，是等边三角形，与前面情况重复，故；同理，当为等腰三角形的底边时，当且也存在2个符合题意的等腰三角形，所以若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则；故选D.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．抛物线y2=x的准线方程是　　　. ‎ ‎【答案】x=-　‎ ‎【解析】由抛物线y2=2px的准线方程是x=-知,抛物线y2=x的准线方程是x=-.‎ ‎ ‎ ‎14．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题考查椭圆、双曲线的标准方程和几何性质；因为双曲线的焦点为，离心率为，所以椭圆的焦点为，离心率为，则，即该椭圆方程为；故填.‎ ‎ ‎ ‎15．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，，，是的中点，点在线段上，当=________时，平面.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】本题考查线面垂直的判定定理；连接，设，易知平面，则要使平面，只需，在中，，则，解得或；故填或.‎ ‎ ‎ ‎16．直线与曲线的公共点的个数为___________个.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】本题考查直线和曲线的位置关系；若，联立，得，解得或，即直线与半双曲线有两个交点，若，联立，得，解得，即直线与半双曲线有一个交点，即直线与曲线的公共点的个数为3；故填3.‎ ‎ ‎ 三、解答题：共6题 ‎17．设命题，使得；命题，；如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】当命题p为真时，Δ＝4a2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，‎ 当命题q为真时，(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，‎ ‎∴a＋2＞0且16－4(a＋2)(a－1)≤0，即a≥2.‎ 由题意得，命题p和命题q一真一假.‎ 当命题p为真，命题q为假时，得a≤－1或；‎ 当命题p为假，命题q为真时，得；‎ ‎∴实数a的取值范围为.‎ ‎【解析】本题考查逻辑联结词；先化简得到命题所对应的数集，再利用真值表判定两简单命题的真假，进而利用对应数集进行求解.‎ ‎ ‎ ‎18．中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线过点，离心率为.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求直线与另一条渐近线及轴围成的三角形的面积.‎ ‎【答案】（1）设双曲线的实轴长为，虚轴长为，则,‎ ‎，故双曲线的渐近线方程为，‎ 将代入得，‎ 故双曲线的焦点在轴上，‎ 设其方程为，代入得，‎ 故所求双曲线方程为。‎ 注：也可分焦点在轴和轴两种情况讨论 ‎（2）双曲线的左顶点，渐近线方程为 过点A与渐近线平行的直线方程为，‎ 它与双曲线的另一渐近线交于 ‎∴所求三角形的面积为 ‎【解析】本题考查双曲线的标准方程和几何性质、直线与直线的交点问题；(1)利用点在双曲线上、离心率进行求解；(2)写出双曲线的渐近线方程，分别联立直线方程求出直线的交点坐标，再利用三角形的面积公式进行求解.‎ ‎ ‎ ‎19．如图，四边形是直角梯形，，，，，，，直线与直线所成的角为.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）因为；‎ 所以平面.‎ 又因为平面,所以平面PAC⊥平面ABC ‎（2）在平面内，过作，‎ 建立空间直角坐标系（如图）‎ 由题意有,，‎ 设，则，‎ ‎， .‎ 由直线与直线所成的解为得 ‎,解得 所以,‎ 设平面的一个法向量为，则，即 .‎ 取，得.‎ 平面的法向量取为 设与所成的角为，则 因为二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为 ‎【解析】本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用；(1)利用线面、面面垂直的判定定理进行证明；(2)建立适当的空间直角坐标系，合理设点，将二面角转化为求两个半平面的法向量所成的角进行求解.‎ ‎ ‎ ‎20．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点.‎ ‎（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.‎ 由得ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.‎ 又∵x1＝，x2＝，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3.‎ 综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题.‎ ‎（2）逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果·＝3，那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.‎ 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(，1)，此时·＝3，‎ 直线AB的方程为y＝(x－)＋1，而点T(3,0)不在直线AB上.‎ ‎【解析】本题考查直线和抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算及四种命题；(1)联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积进行证明；(2)写出该命题的逆命题，通过举反例判定该逆命题为假命题.‎ ‎ ‎ ‎21．已知定点和直线，过定点且与直线相切的动圆的圆心为点 ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）过点的直线交动点的轨迹于两点，交直线于点，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，‎ ‎∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，‎ ‎∴动点C的轨迹方程为x2＝4y;‎ ‎（2）由题意知，直线的斜率存在且不为零，故直线l2的方程可设为y＝kx＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得x2－4kx－4＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.‎ 又易得点R的坐标为 ‎∴·＝＝＋(kx1＋2)(kx2＋2)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋ (x1＋x2)＋＋4＝－4(1＋k2)＋＋＋4‎ ‎＝＋8.‎ ‎∵k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取等号，‎ ‎∴·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.‎ ‎【解析】本题考查点的轨迹方程、抛物线的定义和标准方程、直线和抛物线的位置关系、平面向量的数量积以及基本不等式；(1)利用抛物线的定义判定该动点轨迹为抛物线，再求出抛物线的标准方程；(2)联立直线和抛物线的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积和基本不等式进行求解.‎ ‎ ‎ ‎22．已知椭圆，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点.‎ ‎（1）求直线及椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）方法一：过点P作圆的切线，‎ 由题，其中一条切线方程为：x=1‎ 由题意得， ，‎ 所以，直线AB的方程为：，‎ 即 直线AB与坐标轴交于、‎ ‎∴椭圆右焦点为F（1,0），上顶点为 即∴椭圆的方程为 方法二：‎ 以OP为直径的圆的方程为：，即 ‎ 两式相减，得到直线AB的方程为：，即   （以下同方法一）‎ ‎（2）由得 ,‎ ‎，即.‎ 设,则 ‎ ，又椭圆的右顶点 ‎∴,‎ ‎+4=0,‎ ‎,解得 ,且满足.‎ 当时,,直线过定点与已知矛盾;‎ 当时,,直线过定点 综上可知,直线过定点,定点坐标为 ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线和圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系；(1)求出其中一切点坐标，利用平面几何知识求出直线AB的斜率，进行而求出直线AB方程，再利用直线AB 和坐标轴的交点坐标求出椭圆方程；(2)联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积运算得到相关参数的关系，则利用直线的点斜式方程判定直线过定点问题.‎ ‎ ‎