2020高中数学 第2章 数列 2等比数列的概念与通项公式

2020高中数学 第2章 数列 2等比数列的概念与通项公式

等比数列的概念与通项公式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 数列及等差数列的概念 ‎1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；‎ ‎2. 理解数列的通项公式和递推公式；‎ ‎3. 能够求简单的数列的通项公式；‎ ‎4. 掌握等差数列的概念 选择题 填空题 数列和等差数列的概念是数列的基础，注意数列是特殊的函数这一特征 二、重难点提示 重点：数列和等差数列的判断。‎ 难点：求简单的数列的通项公式。‎ 考点一：数列的概念 ‎（1）定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数叫做这个数列的项，第项记做。 ‎ ‎（2）通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。‎ ‎【核心突破】‎ ‎① 数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式，即。‎ ‎② 并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如的不足近似值，按精确的程度可形成…，它就没有通项公式。‎ ‎③ 如果一个数列有通项公式，在形式上可以不止一个。换言之，一个数列的通项公式可以有多种形式。例如：数列…的通项公式可以写成，还可以写成其中。‎ ‎④ 数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数（待以后学习）。‎ ‎⑤ 用符号{an}表示数列，只不过“借用”集合的符号，它们之间有本质的区别：‎ a. 集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。‎ b. 集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，必须是有序的。‎ ‎（3）数列的分类 ‎① 按照项数有限还是无限来分：有穷数列和无穷数列.‎ ‎② 按照项与项之间的大小关系来分：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。‎ ‎③ 按照任何一项的绝对值是否小于某一正数来分：有界数列和无界数列。‎ ‎（4）数列的表示法 数列可以用解析式、列表或图象来表示。‎ ‎（5）数列递推公式 4‎ 数列的第项与它前面相邻一项（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式。‎ ‎（6）数列的前n项和公式 数列{an}的前项和与的关系可用一个公式表示，则这个公式叫做数列的前项和公式。 ‎ 考点二：数列与函数的关系 ‎（1）数列与函数的关系：‎ ‎（2）数列的通项公式可用来代替。数列的一般形式为，简记为{an}。‎ ‎（3）数列是一个特殊的函数，其图象是一系列的点。‎ 考点三：等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前面相邻的项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。‎ 符号语言：若{an}中，（为常数），则{an}为等差数列。‎ 注意：‎ 等差数列的定义既是一种判定方法，也是一种性质。‎ 例题1（利用观察法求数列的通项公式）‎ 写出下列数列的一个通项公式。‎ ‎（1），，，，…；‎ ‎（2）－1，，－，，－，…；‎ ‎（3），3，，，，…；‎ ‎（4）9，99，999，9999，…。‎ 思路分析：观察→归纳an与n的关系→验证结论→得出答案。‎ 答案：（1）根据题意分析可知：分子为2的倍数，即为2n，分母比分子的平方小1，所以an＝。‎ ‎（2）该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值为，，，，，…‎ 所以an＝。‎ ‎（3）该数列的各项都可以写成根式，，，，，…‎ 即，，，，，…‎ 所以an＝。‎ ‎（4）因为9＝101－1，99＝102－1，999＝103－1，9 999＝104－1，…，所以an＝10n 4‎ ‎－1。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题中探寻数列中的项与项数n之间的关系时应注意：‎ ‎（1）对于分式的分母分子应分别考虑，各个击破；‎ ‎（2）正负项交替出现时要引入控制符号的因式（－1）n。‎ ‎2. 此类问题主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、归纳、转化（转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）等方法，将数列进行整体变形以便能呈现出与序号n相关且便于表达的关系，具体方法为：‎ ‎（1）分式中分子、分母的特征；‎ ‎（2）相邻项的变化特征；‎ ‎（3）拆项后的特征；‎ ‎（4）各项的符号特征和绝对值特征。‎ 例题2（等差数列的证明）‎ 已知数列{an}满足：a1＝4，an＝4－（n≥2），bn＝。求证数列{bn}是等差数列。‎ 思路分析：＝常数→bn＋1－bn＝常数→数列{bn}是等差数列。‎ 答案：因为an＝4－（n≥2），‎ 所以an＋1－2＝2－＝，‎ 所以（n≥1），‎ 故（n≥1），‎ 即bn＋1－bn＝（n∈N*）。‎ 所以数列{bn}是等差数列。‎ 技巧点拨：本题中，对条件的转化使用是个难点，应掌握对条件的恰当转化。‎ 灵活设元求解等差数列 已知四个数成等差数列，且四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列。‎ 思路分析：若设四个数分别为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，列出方程组可以求解，但解方程时较麻烦，若对称设四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则解方程时会很简单。‎ 答案：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，‎ 4‎ 由题设知 解得 或 所以这个数列为2，5，8，11或11，8，5，2。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题利用对称设法设出数列中的四个数，由四数之和为定值，可直接求出未知量a，进一步可以很方便地求出d。‎ ‎2. 当三个数或四个数成等差数列时可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，再由题目其他条件建立关于a、d的方程组，通过解方程组求出所要结果。‎ 4‎