2020年高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义

2020年高中数学第三章复数代数形式的加减运算及其几何意义

‎3.2.1‎‎ 复数代数形式的加减运算及其几何意义 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i 故z对应的点(－1，－3)在第三象限．‎ 答案：C ‎2．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是(　　)‎ A．2＋14i B．1＋7i C．2－14i D．－1－7i 解析：依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.‎ 答案：D ‎3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(　　)‎ A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4‎ C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4‎ 解析：由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故 解得a＝－3，b＝－4.‎ 答案：A ‎4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．‎ 答案：B ‎5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)‎ 5‎ A．0 B．1‎ C. D. 解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离．‎ 答案：C ‎6．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.‎ 解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数．‎ ‎∴解得a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎7．若复数z满足z－1＝cos θ＋sin θi，则|z|的最大值为________．‎ 解析：∵z－1＝cos θ＋sin θi，‎ ‎∴z＝1＋cos θ＋sin θi.‎ 则|z|＝ ＝≤2.‎ 答案：2‎ ‎8．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－‎2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．‎ 解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－‎2a＋3i，‎ 所以得a－b＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．‎ ‎(1)若z为实数，求m的值．‎ ‎(2)若z为纯虚数，求m的值．‎ 解析：z＝(‎2m2‎－‎3m－2)＋(m2－‎3m＋2)i.‎ ‎(1)若z为实数，则m2－‎3m＋2＝0，‎ 所以m＝1或2.‎ ‎(2)若z为纯虚数，‎ 则 5‎ 解得m＝－.‎ 故当m＝－时，z为纯虚数．‎ ‎10．如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：‎ ‎(1)向量对应的复数；‎ ‎(2)向量对应的复数；‎ ‎(3)向量对应的复数．‎ 解析：(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.‎ ‎(2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．设f(z)＝|z|＋z－5，且z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(　　)‎ A．5＋5i B．5＋5i C．2＋5i D．3＋11i 解析：∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，‎ ‎∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i 又∵f(z)＝|z|＋z－5‎ ‎∴f(z1－z2)＝|5＋5i|＋(5＋5i)－5＝5＋5i.‎ 答案：A ‎2．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．‎ 答案：A ‎3．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M‎1M2‎的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于(　　)‎ A．10 B．25‎ 5‎ C．100 D．200‎ 解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M‎1M2‎的中点，‎ ‎∵||＝＝5，∴|M‎1M2‎|＝10，∴|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.‎ 答案：C ‎4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是________．‎ 解析：∵，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i ‎∴对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i 又在平行四边形ABCD中，＝ 故对应的复数为4－2i.‎ 答案：4－2i ‎5．已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.‎ 解析：设复数z1，z2， z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，‎ 在△OZ1Z中，由余弦定理得 cos∠OZ1Z＝＝－，‎ 所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z‎1OZ2＝60°，因此，△OZ1Z2是正三角形，‎ 所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1.‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设复数z＝cos A＋sin Ai，且满足|z＋1|＝1.‎ ‎(1)求复数z；‎ ‎(2)求的值．‎ 解析：(1)∵z＝cos A＋sin Ai，‎ ‎∴z＋1＝1＋cos A＋sin Ai.‎ ‎∴|z＋1|＝ ＝.‎ 又∵|z＋1|＝1，∴2＋2cos A＝1.‎ ‎∴cos A＝－.∴A＝120°.‎ 5‎ ‎∴sin A＝.∴复数z＝－＋i.‎ ‎(2)由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C(其中R为△ABC外接圆的半径)，‎ ‎∴原式＝.‎ ‎∵B＝180°－A－C＝60°－C，‎ ‎∴原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2.‎ 5‎