2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）5：三角函数

2012年高考真题汇编-理科数学（解析版）5：三角函数

‎2012高考真题分类汇编：三角函数 一、选择题 ‎1.【2012高考真题重庆理5】设是方程的两个根，则的值为 ‎（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【解析】因为是方程的两个根，所以，，所以，选A.‎ ‎2.【2012高考真题浙江理4】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是 ‎【答案】A ‎【解析】根据题设条件得到变化后的函数为，结合函数图象可知选项A符合要求。故选A.‎ ‎3.【2012高考真题新课标理9】已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的导数为，要使函数 在上单调递减，则有恒成立，‎ 则，即，所以，当时，，又，所以有，解得，即，选A.‎ ‎4.【2012高考真题四川理4】如图，正方形的边长为，延长至，使，连接、则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由正弦定理得，‎ 所以.‎ ‎5.【2012高考真题陕西理9】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由余弦定理知，故选Ｃ．‎ ‎6.【2012高考真题山东理7】若，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，，所以，又，所以，，选D.‎ ‎7.【2012高考真题辽宁理7】已知，(0，π)，则=‎ ‎(A) 1 (B) (C) (D) 1‎ ‎【答案】A ‎【解析一】‎ ‎，故选A ‎【解析二】‎ ‎，故选A ‎【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力，难度适中。‎ ‎8.【2012高考真题江西理4】若tan+ =4,则sin2=‎ A． B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【命题立意】本题考查三角函数的倍角公式以及同角的三角函数的基本关系式。‎ ‎【解析】由得， ，即，所以，选D.‎ ‎9.【2012高考真题湖南理6】函数f（x）=sinx-cos(x+)的值域为 ‎ A． [ -2 ,2] B.[-,] C.[-1,1 ] D.[- , ]‎ ‎【答案】B ‎【解析】f（x）=sinx-cos(x+)，‎ ‎，值域为[-,].‎ ‎【点评】利用三角恒等变换把化成的形式，利用，求得的值域.‎ ‎10.【2012高考真题上海理16】在中，若，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以为钝角，三角形为钝角三角形，选C.‎ ‎11.【2012高考真题天津理2】设则“”是“为偶函数”的 ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】函数若为偶函数，则有,所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件，选A.‎ ‎12.【2012高考真题天津理6】在中，内角A，B，C所对的边分别是，已知8b=‎5c，C=2B，则cosC=‎ ‎（A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,所以,根据正弦定理有 ‎，所以，所以。又，所以，选A.‎ ‎13.【2012高考真题全国卷理7】已知α为第二象限角，，则cos2α=‎ ‎(A) （B） (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为所以两边平方得，所以，因为已知α为第二象限角，所以，，所以=，选A.er二、填空题 ‎14.【2012高考真题湖南理15】函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.‎ ‎（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;‎ ‎（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为 .‎ ‎【答案】（1）3；（2）‎ ‎【解析】（1），当，点P的坐标为（0，）时 ‎；‎ ‎（2）由图知，，设的横坐标分别为.‎ 设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在△ABC内的概率为.‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，（1）利用点P在图像上求，‎ ‎（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.‎ ‎15.【2012高考真题湖北理11】设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎16.【2012高考真题北京理11】在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得.‎ ‎17.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 ①若；则 ②若；则 ‎ ③若；则 ④若；则 ⑤若；则 ‎【答案】①②③‎ ‎【命题立意】本题解三角形的知识，主要涉及余弦定理与基本不等式的运算。‎ ‎【解析】正确的是 ①‎ ②‎ ③当时，与矛盾 ④取满足得：‎ ⑤取满足得：‎ ‎18.【2012高考真题福建理13】已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【命题立意】本题考查了解三角形和等比数列的相关知识，难度适中．‎ ‎【解析】设最小边长为，则另两边为.‎ 所以最大角余弦 ‎19.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则 ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,,所以，，‎ ‎,根据正弦定理得,解得.‎ ‎20.【2012高考真题上海理4】若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小 为 （结果用反三角函数值表示）。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设倾斜角为，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则，‎ ‎∴=。‎ ‎21.【2012高考真题全国卷理14】当函数取得最大值时，x=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数为，当时，，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.‎ ‎22.【2012高考江苏11】（5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。‎ ‎【解析】∵为锐角，即，∴。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴‎ ‎。‎ 三、解答题 ‎23.【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）‎ 已知分别为三个内角的对边，‎ ‎（1）求 （2）若，的面积为；求.‎ ‎【答案】（1）由正弦定理得：‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎24.【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）‎ 已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期； ‎ ‎（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）因为 ‎. ‎ 由直线是图象的一条对称轴，可得， ‎ 所以，即． ‎ 又，，所以，故. ‎ 所以的最小正周期是. ‎ ‎（Ⅱ）由的图象过点，得，‎ 即，即. ‎ 故， ‎ 由，有，‎ 所以，得，‎ 故函数在上的取值范围为. ‎ ‎25.【2012高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)‎ ‎ 设函数。‎ ‎（I）求函数的最小正周期；‎ ‎（II）设函数对任意，有，且当时， ，求函数在上的解析式。‎ ‎【答案】本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力。‎ ‎【解析】 ‎ ‎，‎ ‎（I）函数的最小正周期 ‎（2）当时，‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 得函数在上的解析式为。‎ ‎26.【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分) ‎ ‎ 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。‎ ‎（Ⅰ）求的值及函数的值域；‎ ‎（Ⅱ）若，且，求的值。‎ ‎【答案】本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想.‎ ‎ ‎ ‎27.【2012高考真题陕西理16】（本小题满分12分）‎ 函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，则，求的值。‎ ‎ 【答案】‎ ‎28.【2012高考真题广东理16】（本小题满分12分）‎ 已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）设，，，求cos（α＋β）的值．‎ ‎【答案】本题考查三角函数求值，三角恒等变换，利用诱导公式化简三角函数式与两角和的余弦公式求值，难度较低。‎ ‎【解析】‎ ‎(1)‎ ‎29.【2012高考真题山东理17】（本小题满分12分）‎ 已知向量，函数的最大值为6.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.‎ ‎ 【答案】‎ 解析：（Ⅰ），‎ 则;‎ ‎（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，‎ 再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.‎ 当时，，.‎ 故函数g（x）在上的值域为.‎ 另解：由可得，令， ‎ 则，而，则，‎ 于是，‎ 故，即函数g（x）在上的值域为.‎ ‎30.【2012高考真题北京理15】（本小题共13分）已知函数。‎ ‎（1）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递减区间。‎ ‎【答案】‎ ‎31.【2012高考真题重庆理18】（本小题满分13分（Ⅰ）小问8分（Ⅱ）小问5分）‎ 设，其中 ‎（Ⅰ）求函数 的值域 ‎（Ⅱ）若在区间上为增函数，求 的最大值.‎ ‎【答案】‎ ‎32.【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC．‎ ‎(Ⅰ)求tanC的值；‎ ‎(Ⅱ)若a＝，求ABC的面积．‎ ‎【答案】本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。‎ ‎(Ⅰ)∵cosA＝＞0，∴sinA＝，‎ 又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA ‎＝cosC＋sinC．‎ 整理得：tanC＝．‎ ‎(Ⅱ)由图辅助三角形知：sinC＝．‎ 又由正弦定理知：，‎ 故． (1)‎ 对角A运用余弦定理：cosA＝． (2)‎ 解(1) (2)得： or b＝(舍去)．‎ ‎∴ABC的面积为：S＝．‎ ‎33.【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)‎ ‎ 在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。‎ ‎ (Ⅰ)求的值；‎ ‎ (Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。‎ ‎34.【2012高考真题江西理18】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知，。‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若，求△ABC的面积。‎ ‎【答案】‎ ‎【点评】本题考查解三角形，三角形的面积，三角恒等变换、三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，三角解答题一般有两种题型：一、解三角形：主要是运用正余弦定理来求解边长，角度，周长，面积等；二、三角函数的图像与性质：主要是运用和角公式，倍角公式，辅助角公式进行三角恒等变换，求解三角函数的最小正周期，单调区间，最值（值域）等.来年需要注意第二种题型的考查.‎ ‎35.【2012高考真题全国卷理17】（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）‎ 三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=‎2c，求c.‎ ‎【答案】‎ ‎36.【2012高考真题天津理15】（本小题满分13分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎37.【2012高考江苏15】（14分）在中，已知．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若求A的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴，即。‎ ‎ 由正弦定理，得，∴。‎ ‎ 又∵，∴。∴即。‎ ‎ （2）∵ ，∴。∴。‎ ‎ ∴，即。∴。‎ ‎ 由 （1） ，得，解得。‎ ‎ ∵，∴。∴。‎ ‎【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。‎ ‎【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。‎ ‎ （2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。‎ ‎ ‎