2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）4：三角函数

2012年高考真题汇编-文科数学（解析版）4：三角函数

2 012 高考试题分类汇编：4：三角函数 一、选择题 1.【2012 高考安徽文 7】要得到函数 )12cos(  xy 的图象，只要将函数 xy 2cos 的图象 （A） 向左平移 1 个单位 （B） 向右平移 1 个单位 （C） 向左平移 1 2 个单位 （D） 向右平移 1 2 个单位 【答案】C 【解析】 cos 2 cos(2 1)y x y x    左+1，平移 1 2 。 2.【2012 高考新课标文 9】已知ω>0，  0 ，直线 4  x 和 4 5 x 是函数 f(x)=sin(ωx+φ) 图像的两条相邻的对称轴，则φ= （A）π 4 （B）π 3 （C）π 2 （D）3π 4 【答案】A 【解析】因为 4  x 和 4 5 x 是函数图象中相邻的对称轴，所以 244 5 T   ，即  2, 2  TT .又    22 T ，所以 1 ，所以 )sin()(  xxf ，因为 4  x 是函数 的对称轴所以  k 24 ，所以  k 4 ，因为  0 ，所以 4   ，检验知 此时 4 5 x 也为对称轴，所以选 A. 3.【2012 高考山东文 8】函数 2sin (0 9) 6 3 xy x         的最大值与最小值之和为 (A) 2 3 (B)0 (C)－1 (D) 1 3  【答案】A 【 解 析 】 因 为 90  x ， 所 以 6 9 6 0   x ， 36 9 363   x ， 即 6 7 363   x ，所以当 336  x 时，最小值为 3) 3 sin(2   ，当 236  x 时，最大值为 2 2 sin2   ，所以最大值与最小值之和为 32  ，选 A. 4.【2012 高考全国文 3】若函数 ( ) sin ( [0,2 ]) 3 xf x      是偶函数，则  （A） 2  （B） 3 2 （C） 2 3 （D） 3 5 【答案】C 【解析】函数 ) 33 sin( 3 sin)(     xxxf ，因为函数 ) 33 sin()(   xxf 为偶函数，所以  k 23 ，所以 Zkk  ,3 2 3  ,又 ]2,0[   ，所以当 0k 时， 2 3  ，选 C. 5.【2012 高考全国文 4】已知 为第二象限角， 3sin 5   ，则 sin 2  （A） 25 24  （B） 25 12  （C） 25 12 （D） 25 24 【答案】B 【解析】因为 为第二象限，所以 0cos  ，即 5 4sin1cos 2   ，所以 25 12 5 3 5 4cossin22sin   ，选 B. 6.【2012 高考重庆文 5】 sin 47 sin17 cos30 cos17     （A） 3 2  （B） 1 2  （C） 1 2 （D） 3 2 【答案】C 【解析】 sin 47 sin17 cos30 sin(30 17 ) sin17 cos30 cos17 cos17              sin 30 cos17 cos30 sin17 sin17 cos30 sin 30 cos17 1sin 30 cos17 cos17 2                  ，选 C. 7.【2012 高考浙江文 6】把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐 标不变），然后向左平移 1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是 【答案】A 【解析】由题意，y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），即 解析式为 y=cosx+1，向左平移一个单位为 y=cos（x-1)+1,向下平移一个单位为 y=cos（x-1)， 利用特殊点 ,0 2       变为 1,0 2      ，选 A. 8.【2012 高考上海文 17】在△ ABC中，若 2 2 2sin sin sinA B C  ，则△ ABC的形状是（ ） A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定 【答案】A 【解析】根据正弦定理可知由 CBA 222 sinsinsin  ,可知 222 cba  ，在三角形中 0 2 cos 222    ab cbaC ，所以C为钝角，三角形为钝角三角形，选 A. 9.【2012 高考四川文 5】如图，正方形 ABCD的边长为1，延长 BA至 E，使 1AE  ，连接 EC、 ED则 sin CED （ ） （1） 3 10 10 B、 10 10 C、 5 10 D、 5 15 【答案】B 【解析】 2EB EA AB   ， 2 2 4 1 5EC EB BC     ， 3 4 2 4 EDC EDA ADC           ， 由正弦定理得 sin 1 5 sin 55 CED DC EDC CE      ， 所以 5 5 3 10sin sin sin 5 5 4 10 CED EDC      g g . 10.【2012 高考辽宁文 6】已知 sin cos 2   ， (0，π)，则 sin 2 = (A)  1 (B) 2 2  (C) 2 2 (D) 1 【答案】A 【解析】 2sin cos 2, (sin cos ) 2, sin 2 1,            故选 A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。 11.【2012 高考江西文 4】若 sin cos 1 sin cos 2        ，则 tan2α= A. - 3 4 B. 3 4 C. - 4 3 D. 4 3 【答案】B 【解析】由 2 1 cossin cossin      ，得  cossin)cos(sin2  ，即 3tan  。又 4 3 8 6 91 6 tan1 tan22tan 2         ，选 B. 12.【2012 高考江西文 9】已知 2( ) sin ( ) 4 f x x    若 a=f（lg5）， 1(lg ) 5 b f 则 A.a+b=0 B.a-b=0 C.a+b=1 D.a-b=1 【答案】C 【 解 析 】 先 化 简 函 数 2 2sin 2 1 2 ) 4 (2cos1 ) 4 (sin)( 2 xx xxf      ， 所 以 2 5lg2sin 2 1)5(lg ）（  fa ， 2 5lg2sin 2 1 2 5 1lg2sin 2 1) 5 1(lg ）（ ）（  fb ， 所 以 1 2 5lg2sin 2 1 2 5lg2sin 2 1  ）（）（ba ，选 C。 13.【2012 高考湖南文 8】 在△ABC 中，AC= 7 ，BC=2，B =60°，则 BC 边上的高等于 A． 3 2 B. 3 3 2 C. 3 6 2  D. 3 39 4  【答案】B 【解析】设 AB c ，在△ABC 中，由余弦定理知 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC B     ， 即 27 4 2 2 cos 60c c       ， 2 2 3 0, ( -3)( 1)c c c c   即 =0.又 0, 3.c c   设 BC 边上的高等于 h，由三角形面积公式 1 1sin 2 2ABCS AB BC B BC h     ，知 1 13 2 sin 60 2 2 2 h      ，解得 3 3 2 h  . 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 14.【2012 高考湖北文 8】设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若三边的长为 连续的三个正整数，且 A＞B＞C，3b=20acosA，则 sinA∶sinB∶sinC 为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 【解析】因为 , ,a b c 为连续的三个正整数，且  A B C ，可得 a b c  ，所以 2, 1   a c b c ①；又因为已知 3 20 cosb a A，所以 3cos 20 bA a  ②.由余弦定理可得 2 2 2 cos 2    b c aA bc ③ ， 则 由 ② ③ 可 得 2 2 23 20 2 b b c a a bc    ④ ， 联 立 ① ④ ， 得 27 13 60 0  c c ，解得 4c 或 15 7  c （舍去），则 6a ， 5b .故由正弦定理可得， sin : sin : sin : : 6 :5 : 4 A B C a b c .故应选 D. 【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正 弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余 弦定理与和差角公式的结合应用. 15.【2012 高考广东文 6】在△ ABC中，若 60A  ， 45B  ， 3 2BC  ，则 AC  A. 4 3 B. 2 3 C. 3 D. 3 2 【答案】B 【解析】根据正弦定理， sin sin BC AC A B  ，则 23 2sin 2 2 3 sin 3 2 BC BAC A     . 16.【2102 高考福建文 8】函数 f(x)=sin(x- 4  )的图像的一条对称轴是 A.x= 4  B.x= 2  C.x=- 4  D.x=- 2  【答案】C． 【解析】因为 xy sin 的对称轴为 Zkkx  , 2  ，所以 ) 4 sin()(   xxf 的对称轴为 Zkkx  , 24  ，即 Zkkx  , 4 3 ，当 1k 时，一条对称轴是 4  x .故选 C. 17.【2012 高考天津文科 7】将函数 f(x)=sin x （其中 >0）的图像向右平移 4  个单位长度， 所得图像经过点（ 3 4  ，0），则的最小值是 （A） 1 3 （B）1 C） 5 3 （D）2 【答案】D 【解析】函数向右平移 4  得到函数 ) 4 sin() 4 (sin) 4 ()(   xxxfxg ，因为 此 时 函 数 过 点 )0, 4 3(  ， 所 以 0) 44 3(sin   ， 即 , 2 ) 44 3(  k 所 以 Zkk  ,2 ,所以的最小值为 2，选 D. 二、填空题 18.【2012 高考江苏 11】（5 分）设 为锐角，若 4cos 6 5        ，则 ) 12 2sin(  a 的值为 ▲ ． 【答案】 17 2 50 。 【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。 【解析】∵ 为锐角，即 0 2 < <  ，∴ 2= 6 6 2 6 3 < <       。 ∵ 4cos 6 5        ，∴ 3sin 6 5        。∴ 3 4 24sin 2 2sin cos =2 = 3 6 6 5 5 25                           。 ∴ 7cos 2 3 25        。 ∴ sin(2 )=sin(2 )=sin 2 cos cos 2 sin 12 3 4 3 4 3 4 a a a a                      24 2 7 2 17= = 2 25 2 25 2 50   。 19.【2102 高考北京文 11】在△ABC 中，若 a=3，b= 3 ，∠A= 3  ，则∠C 的大小为_________。 【答案】 90 【解析】在△ABC 中，利用正弦定理 B b A a sinsin  ，可得 2 1sin sin 3 3 sin 3  B B ，所以  30B 。再利用三角形内角和 180 ，可得  90C ． 20.【2102 高考福建文 13】在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°， 3BC ， 则 AC=_______. 【答案】 2 ． 【解析】由正弦定理得 A BC B AC sinsin  ，所以 2 2 3 2 23 sin sin      A BBCAC . 21.【 2012 高考全国文 15】当函数 sin 3 cos (0 2 )y x x x     取得最大值时， x  ___________. 【答案】 6 5 【 解 析 】 函 数 为 ) 3 sin(2cos3sin   xxxy ， 当 20  x 时 ， 3 5 33   x ，由三角函数图象可知，当 23  x ，即 6 5 x 时取得最大值，所以 6 5 x . 22.【2012 高考重庆文 13】设△ ABC 的内角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ，且 1cos 4 a b C =1， =2， ，则 sin B  【答案】 4 15 【解析】由余弦定理得 4 4 12241cos2222  Cabbac ，所以 2c 。所以 CBcb  , ，即 4 15) 4 1(1sinsin 2  CB . 23.【2012 高考上海文 3】函数 sin 2 ( ) 1 cos x f x x   的最小正周期是 【答案】 【解析】函数 xxxxf 2sin 2 12)2(cossin)(  ，周期   2 2T ，即函数 )(xf 的 周期为 。 24.【2012 高考陕西文 13】在三角形 ABC 中，角 A,B,C 所对应的长分别为 a，b，c，若 a=2 ， B= 6  ，c=2 3 ，则 b= . 【答案】2. 【解析】由余弦定理知 4 2 33222124cos2222  Baccab ， 2b . 25.【2012 高考江西文 15】下图是某算法的程序框图，则程序运行后输入的结果是_________。 【答案】3 【解析】第一次循环有 2,1,1  kTa ，第二次循环有 3,1,0  kTa ，第三次循环有 4,1,0  kTa ，第四次循环有 5,2,1  kTa ，第五次循环有 6,3,1  kTa ，此 时不满足条件，输出 3T , 三、解答题 26.【2012 高考浙江文 18】（本题满分 14 分）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且 bsinA= 3 acosB。 （1）求角 B 的大小； （2）若 b=3，sinC=2sinA，求 a，c 的值. 【答案】 【解析】（1） bsinA= 3 acosB，由正弦定理可得 sin sin 3 sin cosB A A B ，即得 tan 3B  ， 3 B    . （ 2） sinC=2sinA，由正弦定理得 2c a ，由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 2 29 4 2 2 cos 3 a a a a      ，解得 3a  ， 2 2 3c a   . 27.【2012 高考安徽文 16】（本小题满分 12 分） 设△ ABC的内角 CBA ,, 所对边的长分别为 ,,, cba ，且有 CACAAB sincoscossincossin2  。 （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ) 若 2b  ， 1c  ，D为 BC的中点，求 AD的长。 【答案】 【解析】 28.【2012 高考山东文 17】(本小题满分 12 分) 在△ABC 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c，已知 sin (tan tan ) tan tanB A C A C  . (Ⅰ)求证： , ,a b c成等比数列； (Ⅱ)若 1, 2a c  ，求△ ABC的面积 S. 【答案】 (I)由已知得： sin (sin cos cos sin ) sin sinB A C A C A C  ， sin sin( ) sin sinB A C A C  ， 2sin sin sinB A C ， 再由正弦定理可得： 2b ac ， 所以 , ,a b c成等比数列. (II)若 1, 2a c  ，则 2 2b ac  ， ∴ 2 2 2 3cos 2 4 a c bB ac     ， 2 7sin 1 cos 4 C C   ， ∴△ ABC的面积 1 1 7 7sin 1 2 2 2 4 4 S ac B      . 29.【2012 高考湖南文 18】（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) sin( )( , 0,0 2 f x A x x R          的部分图像如图 5 所示. （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）求函数 ( ) ( ) ( ) 12 12 g x f x f x      的单调递增区间. 【答案】 【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期 11 5 22( ) , 2 12 12 T T          . 因为点 5( ,0) 12  在函数图像上，所以 5 5sin(2 ) 0, sin( ) 0 12 6 A       即 . 又 5 5 4 50 , , = 2 6 6 3 6               从而 ，即 = 6  . 又 点 0,1（ ）在 函 数 图 像 上 ， 所 以 sin 1, 2 6 A A   ， 故 函 数 f （ x ） 的 解 析 式 为 ( ) 2sin(2 ). 6 f x x    （Ⅱ） ( ) 2sin 2 2sin 2 12 6 12 6 g x x x                           2sin 2 2sin(2 ) 3 x x     1 32sin 2 2( sin 2 cos 2 ) 2 2 x x x   sin 2 3 cos 2x x  2sin(2 ), 3 x    由 2 2 2 , 2 3 2 k x k        得 5 , . 12 12 k x k k z       ( )g x 的单调递增区间是 5, , . 12 12 k k k z        【 点 评 】 本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 像 和 性 质 . 第 一 问 结 合 图 形 求 得 周 期 11 52( ) , 12 12 T      从而求得 2 2 T    .再利用特殊点在图像上求出 , A ，从而求出 f（x） 的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及 sin( )y A x   的单调性求得. .30【2012 高考四川文 18】(本小题满分 12 分) 已知函数 2 1( ) cos sin cos 2 2 2 2 x x xf x    。 （Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若 3 2( ) 10 f   ，求 sin 2 的值。 命题立意：本题主要考查三角函数的性质、两角和的正余弦公式、二倍角公式等基础知识， 考查基本运算能力以及化归与转化的数学思想. 【解析】 31.【2012 高考广东文 16】（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) cos 4 6 xf x A       ， xR ，且 2 3 f       （1）求 A的值； （2）设 0, 2         ， 4 304 3 17 f         ， 2 84 3 5 f        ，求 cos( )  的值. 【答案】（1） 2cos cos 2 3 12 6 4 2 f A A A                  ，解得 2A  。 （2） 4 304 2cos 2cos 2sin 3 3 6 2 17 f                                 ，即 15sin 17   ， 2 84 2cos 2cos 3 6 6 5 f                     ，即 4cos 5   。 因为 0, 2         ，所以 2 8cos 1 sin 17     ， 2 3sin 1 cos 5     ， 所以 8 4 15 3 13cos( ) cos cos sin sin 17 5 17 5 85               。 32.【2012 高考辽宁文 17】(本小题满分 12 分) 在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c。角 A，B，C成等差数列。 (Ⅰ)求 cosB的值； (Ⅱ)边 a，b，c成等比数列，求 sin sinA C的值。 【答案】 【解析】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列 的定义，考查转化思想和运算求解能力，属于容易题。第二小题既可以利用正弦定理把 边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理得到边之间的关系，再来求最后的结果。 33.【2012 高考重庆文 19】（本小题满分 12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问 7 分）设函数 ( ) sin( )f x A x   （其中 0, 0,A         ）在 6 x   处取得最大值 2，其图象 与 轴 的 相 邻 两 个 交 点 的 距 离 为 2  （ I ） 求 ( )f x 的 解 析 式 ； （ II ） 求 函 数 4 26cos sin 1( ) ( ) 6 x xg x f x      的值域。 【答案】（Ⅰ） 6   （Ⅱ） 7 7 5[1, ) ( , ] 4 4 2  【解析】 2 23 1cos 1 (cos ) 2 2 x x   因 2cos [0,1]x ，且 2 1cos 2 x  故 ( )g x 的值域为 7 7 5[1, ) ( , ] 4 4 2  34.【2012 高考新课标文 17】（本小题满分 12 分） 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c = 3asinC－ccosA (1) 求 A (2) 若 a=2，△ABC 的面积为 3，求 b,c 【答案】 35.【2102 高考北京文 15】（本小题共 13 分） 已知函数 x xxxxf sin 2sin)cos(sin)(   。 （1）求 )(xf 的定义域及最小正周期； （2）求 )(xf 的单调递减区间。 【答案】 (sin cos )sin 2 (sin cos )2sin cos( ) 2(sin cos )cos sin sin x x x x x x xf x x x x x x        πsin 2 1 cos 2 2 sin 2 1 | π 4 x x x x x k k            Z， ， 。 （1）原函数的定义域为 | πx x k k Z， ，最小正周期为 π ． （2）原函数的单调递增区间为 π π π 8 k k     ， kZ ， 3ππ π 8 k k    ， kZ 。 36.【2012 高考陕西文 17】（本小题满分 12 分） 函数 ( ) sin( ) 1 6 f x A x    （ 0, 0A   ）的最大值为 3， 其图像相邻两条对称轴之间 的距离为 2  ， （1）求函数 ( )f x 的解析式； （2）设 (0, ) 2   ，则 ( ) 2 2 f   ，求 的值。 【答案】 37.【2012 高考江苏 15】（14 分）在 ABC 中，已知 3AB AC BA BC       ． （1）求证： tan 3tanB A ； （2）若 5cos 5 C  ，求 A的值． 【 答 案 】 解 ：（ 1 ） ∵ 3AB AC BA BC       ， ∴ cos =3 cosAB AC A BA BC B    ， 即 cos =3 cosAC A BC B  。 由正弦定理，得 = sin sin AC BC B A ，∴ sin cos =3sin cosB A A B  。 又∵ 0< A B< ，∴ cos 0 cos 0A> B>， 。∴ sin sin=3 cos cos B A B A  即 tan 3tanB A 。 （2）∵ 5cos 0 5 C ，∴ tan =1A 。∴ = 4 A  。 【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。 【解析】（1）先将 3AB AC BA BC       表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式 证明。 （2）由 5cos 5 C  ，可求 tanC，由三角形三角关系，得到  tan A B     ，从而 根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得 A 的值。 38.【2012 高考天津文科 16】（本小题满分 13 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的分别是 a,b，c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= 2 - 4 . （I）求 sinC 和 b 的值； （II）求 cos（2A+ 3 д ）的值。 【答案】 39.【2012 高考湖北文 18】（本小题满分 12 分） 设函数 f（x）= 的图像关于直线 x=π对称， 其中 为常数，且 1.求函数 f（x）的最小正周期； 2.若 y=f（x）的图像经过点 ，求函数 f（x）的值域。 【答案】 【解析】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能 力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地 位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式 2T    来求解;求三角函数的 值域，一般先根据自变量 x的范围确定函数 x  的范围.来年需注意三角函数的单调性，图 象变换，解三角形等考查. 40.【2012 高考全国文 17】(本小题满分 10 分) （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） ABC 中，内角 A、 B、C成等差数列，其对边 a、b、 c满足 22 3b ac ，求 A。 【答案】