安徽省六校2019届高三第一次素质测试 数学（理）

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第 1页 共 4 页 安徽六校教育研究会 2019 届高三第一次素质测试 数学试题（理） 命题：合肥一六八中学 本试卷由两个部分组成。其中，第一部分为选择题。第二部分为非选 择题。考试时间 120 分钟，满分 150 分。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合  2 8xA x  ，集合   lg 1B x y x   ，则 A B  （ ） A.  1,3 B.  1,3 C.  3, D.  1, 2.设i 为虚数单位，复数 z 满足 2 1i iz   ，则复数 z 的共轭复数等于（ ） A. 1 i B. 1 i  C. 1 i D. 1 i  3.已知命题 p ： 2,log 0x R x   ，则( ) A. p ： 2,log 0x R x   B. p ： 2,log 0x R x   C. p ： 2,log 0x R x   D. p ： 2,log 0x R x   4.若不等式组 2 3 0 2 4 0 0 x y x y y          表示的区域为  ，不等式 2 2 2 2 1 0x y x y     表示 的区域为T ，则在区域 内任取一点，则此点落在区域T 中的概率为（ ） A. 4  B. 8  C. 5  D. 10  5.古代数字著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺， 问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已 知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若 要使织布的总尺数不少于 100 尺，该女子所需的天数至少为（ ） A.8 B. 9 C. 10 D. 11 6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 27 14 ，则（ ） A. 11a  B. 12a  C. 13a  D. 14a  第 2页 共 4 页 7.已知 ABC 的三个内角 , ,A B C 所对的边长分别是 , ,a b c ，且 sin sin 2 sin B A a c C a b    ，若将函数    2sin 2f x x B  的图像向右平移 8  个单位 长度，得到函数  g x 的图像，则  g x 的解析式为（ ） A. 22sin 2 3x     B. 22cos 2 3x     C. 2sin 2x D. 2cos2x 8.如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12 个顶点.第n 个图形是由正 2n  边 形扩展而来 n N  ，则第n 个图形的顶点个数是（ ） A．  2 1 2 2n n  B．  3 2 2n  C．  2 5 1n n  D．   2 3n n  9.已知函数 3 23 3 3( ) 2 4 8f x x x x    , 则 2018 1 ( )2019k kf   =（ ） A. 0 B. 1009 2 C. 1009 D. 2018 10.已知双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的一条渐近线截圆  2 2: 1 1M x y   所得弦长为1，则该双曲线的离心率为（ ） A． 7 2 B． 2 C． 2 7 7 D． 2 3 3 11.在 ABC 中，已知 2 3, 2 6, 2 3AB BC AC   ， D 是边 AC 上的一点，将 ABC 沿 BD 折叠，得到三棱锥 A BCD ，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD的射 影 M 在线段 BC 上，设 BM x ，则 x 的取值范围是（ ） A． 0,2 3 B． 3, 6 C． 6,2 3 D． 2 3,2 6 12.已知定义在 0, 上的函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，满足 ( ) 0f x  .当 0x  时， ( ) 2 ( )f x f x  .当 2x  时， ( ) ( )f x f x  ，且 2 2(3 ) (1 ) xf x f x e    （其中e是自 第 3页 共 4 页 然对数的底数）.则 (1) (4) f f 的取值范围为（ ） A. 6 3 1 1,2e e      B. 6 3 1 1,e e      C.  3 6,2e e D.  3 6,e e 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知向量 a  和b  的夹角为60 ，且 2, 4a b   ，则 2a b a     . 14.    6 41 1x x  的展开式中 3x 的系数是 ． 15.等腰三角形 ABC 边长为腰长3，底边 BC 长为 4 ，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与点C 间的距离为 2 ，此时四面体 ABCD外接球表面积为 . 16.已知函数 ( ) 2 x af x x e    ，  ( ) ln 2 9 a xg x x e    ，其中e 为自然对数的底 数，若存在实数 0x ，使 0 0( ) ( ) 7f x g x  成立，则实数 a 的值为 . 三、解答题：共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）已知函数 2( ) 2 3sin cos 2sin 2f x x x x   . （1）当 [0, ]2x  时，求函数 ( )f x 的值域； （ 2 ） 若 三 角 形 ABC 的 内 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c ， 且 满 足 sin(2 ) sin A C A  2 2cos( )A C   ， 3b a  ，求 ( )f B 的值. 18. （12 分）设数列 na 满足  2 1 23 3 3n na a a n n N      . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 n na b n ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 19. （12 分）甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏， 规则如下：每轮游戏发 100 个红包，每个红包金额为 x 元，  1,5x ．已知在每轮游戏中所产生的 100 个红 包金额的频率分布直方图如图所示． （1）求 a 的值，并根据频率分布直方图，估计红包金 额的众数； 第 4页 共 4 页 （2）以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个 红包，其中金额在 1,2 的红包个数为 X ，求 X 的分布列和期望． 20. （12 分）如图,三棱柱 1 1 1ABC A BC 中,侧面 1 1BB C C 为 0 1 60CBB  的菱 形, 1AB AC . (1)证明:平面 1AB C  平面 1 1BB C C (2)若 1AB BC ,直线 AB 与平面 1 1BB C C 所成的角为 030 ,求直线 1AB 与平面 1 1A B C 所成角的正弦值. 21. （12 分）已知椭圆 : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1( 2,0)F  、 2 ( 2,0)F ，且点 ( 2,1)M 在该椭圆上. （1）求椭圆 的方程； （2）若 A,B 为椭圆 的左、右顶点，点 0 0( , )P x y 为直线 4x  上任意一点，PA , PB 交椭圆 与C , D 两点，求四边形 ABCD 面积的最大值. 22. （12 分）已知函数   2ln 3ln 3x xf x x   ． （1）求函数  f x 在区间  1, 2t t t e      的最大值； （2）求证：  2 20, ln 3ln 3 3 0xx e x x x      ．