2019年高考数学仿真押题试卷（四）（含解析）

2019年高考数学仿真押题试卷（四）（含解析）

专题04高考数学仿真押题试卷（四）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数在复平面内对应的点为，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：复数在复平面内对应的点为，则．‎ ‎【答案】． 2．已知集合，2，，集合，，，则集合中元素的个数为　　‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【解析】解：，2，，，，，‎ ‎，2，3，，2，3．‎ 当时，，，；‎ 当时，，0，；‎ 当时，，1，0．‎ 即，，0，1，2．即，，0，1，共有5个元素．‎ ‎【答案】． 3．已知是定义在上奇函数，当时，，则　　‎ 17‎ A． B． C．2 D．1‎ ‎【解析】解：根据题意，当时，，则（3），‎ 又由函数为奇函数，则（3）；‎ ‎【答案】． 4．双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由双曲线的渐近线与直线平行知，双曲线的渐近线方程为，‎ 即，‎ 双曲线的渐近线为，‎ 即，‎ 离心率，‎ ‎【答案】． 5．已知平面平面，，，，则“”是“”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】解：由面面垂直的性质得当，则，则成立，即充分性成立，‎ 反之当时，满足，但此时不一定成立，即必要性不成立，‎ 即“”是“”的充分不必要条件，‎ ‎．‎ ‎【答案】‎ ‎6．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为　　‎ 17‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【解析】解：模拟执行程序框图，可得 ‎，‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ 由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出的值为48，‎ 故应有：．‎ ‎【答案】‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　　‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【解析】解：由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一部分，‎ 做出几何体的直观图如图所示：‎ 17‎ 故几何体的体积为．‎ ‎【答案】．‎ ‎ 8．执行如图的程序框图，则输出的的值是　　‎ A．126 B． C．30 D．62‎ ‎【解析】解：模拟程序的运行，可得：‎ ‎，‎ 满足条件，执行循环体，，‎ 满足条件，执行循环体，，‎ 满足条件，执行循环体，，‎ 满足条件，执行循环体，，‎ 满足条件，执行循环体，，‎ 此时，不满足条件，退出循环，输出的值为62．‎ ‎【答案】． ‎ 17‎ ‎9．已知函数，若在区间，上恒成立，则实数的最大值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由于：，‎ 故：，‎ 当时，函数的最小值为．‎ 由于在区间，上恒成立，‎ 故：，‎ 所以的最大值为．‎ ‎【答案】． 10．在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是　　‎ A．直线直线 B．直线直线 ‎ C．直线直线 D．直线直线 ‎【解析】解：如图，‎ ‎，，‎ 17‎ ‎，得，取中点，连接，，‎ 则，，‎ 又，平面，则，‎ ‎，分别为棱，的中点，‎ ‎，则．‎ ‎【答案】． 11．已知双曲线的右顶点为，为坐标原点，若，则双曲线的离心率的取值范围是　　‎ A．， B． C．， D．‎ ‎【解析】解：双曲线中，右顶点为，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎【答案】． ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ 17‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为　2　．‎ ‎【解析】解：画出满足约束条件表示的平面区域，如图所示；‎ 当目标函数过点时，取得最小值，‎ 由，求得，‎ 所以的最小值为．‎ 故答案为：2． 14．展开式中的系数为　　．（用数字作答）‎ ‎【解析】解：表示5个因式的乘积，其中一个因式取，其余的因式都取，可得含的项，‎ 故含的项的系数为，‎ 故答案为：． 15．已知数列的前项和为，数列满足，，则数列的通项公式　　．‎ ‎【解析】解：由题意，可知：‎ 对于数列 ‎①当时，，．‎ ‎②当时，．‎ 17‎ ‎，．‎ 对于数列 ‎①当时，，‎ ‎②当时，．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 以上各式相加，得：‎ ‎．‎ 故答案为：． 16．若存在正实数，使得成立，则的取值范围是　，　．‎ ‎【解析】解：由，等式左右两边同时除以 得：，‎ 设，‎ 则方程有实根，‎ 即有实根，‎ 17‎ 设，‎ 则，‎ 令，‎ 则，‎ 所以在为增函数，‎ 又因为（1），‎ 所以在为减函数，在为增函数，‎ 所以（1），‎ 所以要使有实根，‎ 则的取值范围是，‎ 故答案为：， 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ 由正弦定理可得：，由，可得：，即，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），，成等比数列．‎ ‎，由正弦定理可得：，‎ ‎，由余弦定理可得：，‎ 17‎ 解得：，‎ ‎，‎ ‎，解得：，解得：． 18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，为等边三角形，，是的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值，‎ ‎【解析】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，‎ ‎，分别是，的中点，‎ ‎，且，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，平面，‎ 平面，平面平面．‎ 解：（Ⅱ）如图，连结，，‎ 由（Ⅰ）知平面，，‎ 在中，，同理，‎ 在梯形中，，，‎ ‎，为的中点，，‎ 由题意得，‎ ‎，‎ 17‎ 设为的中点，连结，由题意得，‎ 平面平面，平面，平面平面，‎ 平面，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，，‎ 解得．‎ ‎，直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎ 19．2013年11月，习近平总书记到湖南湘西考察时首次作出了“实事求是、因地制宜、分类指导精准扶贫”的重要指示年1月，中央详细规制了精准扶贫工作模式的顶层设计，推动了“精准扶贫”思想落地年1月，精准扶贫首个调研地点选择了云南，标志着精准扶贫正式开始实行．某市扶贫办立即响应党中央号召，要求某单位对某村贫困户中的户进行定点帮扶，该单位每年年底调查统计，从2015年至2018年统计数据如下为人均年纯收入）‎ 年份 ‎2015年 ‎2016年 ‎2017年 ‎2018年 年份代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 收入（百元）‎ ‎25‎ ‎28‎ ‎32‎ ‎35‎ ‎（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计户在2019年能否脱贫；（注：国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元）‎ ‎（Ⅱ）2019年初，该市扶贫办对全市贫困户进行脱贫统计，脱贫率为，以该频率代替概率，现从该市贫困户中随机抽取3户进行调查（已知该市各户脱贫与否相互独立），记表示脱贫户数，求的分布列和数学期望．‎ 17‎ 参考公式：，，其中，为数据，的平均数．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）根据表格中的数据可得：‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 故关于的线性回归方程，‎ 当时，（百元），‎ ‎，户在2019年能脱贫；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． 20．已知椭圆的短轴长为，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于，两点，是否存在实数，使得直线与直线的交点满足，，三点共线？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．‎ 17‎ ‎【解析】解：（1）由题意可知，解之得，‎ 故椭圆的标准方程．‎ ‎（Ⅱ）假设存在满足题意的直线，先设出的方程，设，、，，‎ 联立方程组消去可得，‎ ‎△，‎ ‎，‎ 由于，，，所以直线的方程为，‎ 则直线与直线的交点坐标为，且，‎ 因为，，三点共线，所以共线，‎ ‎，‎ 整理得，，‎ 由于，所以．‎ 所以，解得．‎ 所以存在直线满足条件． 21．已知函数，，，．‎ ‎（Ⅰ）若函数在，上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 求函数在点处的切线方程；‎ 17‎ 若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ），则，‎ 函数在，上是单调函数，‎ 或恒成立，‎ 即或在，上恒成立．‎ 或；‎ ‎（Ⅱ）当时， ， ，‎ ‎，又，函数在点处的切线方程为；‎ 当，时，，单调递增，‎ ‎，‎ 对任意，，不等式恒成立，‎ 则恒成立，即在，上恒成立．‎ ‎，，‎ 则，‎ ‎．‎ ‎．‎ 即实数的取值范围是，．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，‎ 17‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，直线的倾斜角，，点为直线与轴的交点，求的最小值．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）直线的普通方程为；‎ 曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程为参数），代入圆的方程，‎ 得），化简得，‎ 易知，设，所对应的参数分别为，，‎ 则，，‎ 所以．‎ 当时，取得最小值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若关于的不等式的解集为，，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ），即，两边平方并整理得，‎ 由已知，是关于的方程的两根，‎ 由韦达定理得，又因为△，‎ 解得．‎ 17‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以不等式恒成立，只需，‎ 当时，，解得或；‎ 当时，，解得．‎ 综上可知实数的取值范围是，‎ 17‎ 17‎