数学文卷·2017届湖北省宜昌一中高三11月阶段性检测（2016

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宜昌市第一中学 2017 届高三 11 月阶段性检测 数学（文科）试题 全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项: 、答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 、选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．复数 3 1 2 ii iz  （i 为虚数单位）的虚部为( ) A． 2 B． i2 C． 1 D． i 2．已知集合  2,1,0A ，  222  yxxB ，则 BA  的子集个数为( ) A．1 B． 2 C． 4 D．8 3．将函数 xxxf cos3sin)(  的图象向左平移 m 个单位 )0( m ，若所得图象对应的 函数为偶函数，则 m 的最小值是( ) A． 6  B． 3  C． 3 2 D． 6 5 4．已知等比数列 na 中， 23 a ， 1664 aa ，则 98 1312 aa aa   的值为( ) A． 2 B． 4 C．8 D．16 5．当曲线 24 xy  与直线 42  kkxy 有两个相异的交点时，实数 k 的取值范围是( ) A. 3(0, )4 B. 5 3( , ]12 4 C. 3( ,1]4 D. 3( , )4  6．下列选项中，说法正确的是( ) A.命题“ 0, 2  xxRx ”的否定是“ 0, 2  xxRx ” B.命题“ qp  为真”是命题“ qp  为真” 的充分不必要条件 C.命题“若 22 bmam  ，则 ba  ”是假命题 D.命题“在 ABC 中，若 2 1sin A ，则 6 A ”的逆否命题为真命题 7．函数 2)( 1  xaxf )1,0(  aa 的图象恒过定点 A ，若点 A 在直线 01  nymx 上，其中 0,0  nm ，则 nm 11  的最小值为( ) A． 4 B．5 C．6 D． 223 8．下列命题中，错误．．的是( ) A．平行于同一平面的两个不同平面平行 B．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 C．如果两个平面不垂直，那么其中一个平面内一定不存在直线与另一个平面垂直 D．若直线不平行于平面，则此直线与这个平面内的直线都不平行 9．函数 x e xf x cos)1 1 2()(    的图象的大致形状是( ) 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A． 25624  B． 35612  C． 35624  D． 25636  11．三棱锥 ABCP  中， PA 平面 ABC ， 1 BCAC , 22PA , 3 2ACB ，则该三棱锥外接球的表面积为( ) A． 8 B． 12 C． 16 D． 20 12．某实验室至少需要某种化学药品 kg10 ，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是 每袋 kg3 ，价格为12元；另一种是每袋 kg2 ，价格为10元.但由于保质期的限制，每一 种包装购买的数量都不能超过5 袋，则在满足需要的条件下，花费最少为 元． A． 40 B． 42 C． 44 D． 46 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做答。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．抛物线 22xy  的焦点坐标是 ． 14．若 2a ， 1b ， bac  ，且 bc  ，那么 a 与b 的夹角为__ __． 15．函数 3cos2  xxy 在区间 ]2,0[  上的最大值是 ． 16．设 0,0  ba ，称 ba ab  2 为 ba, 的调和平均数．如图，C 为线段 AB 上的点，且 aAC  ， bBC  ，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆．过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D ．连 结OD ， AD ， BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为 E ．则图中线段OD 的长度是 ba, 的算术平均数，线段 的长度是 ba, 的几何平均数，线段 的长度是 ba, 的 调和平均数． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 已知函数   2 1coscossin3 2  xxxxf ． （1）求  xf 的单调递增区间； （2）已知 ABC 的三个内角 CBA 、、 所对边为 cba 、、 ,若   2 1Af ， 13a , 4b ,求边 c 的大小. 18．（本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 )1(2 3  nn aS ． （1）求 1a 的值，并求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 为等差数列，且 853  bb ， 02 41  bb ，设 nnn bac  ，求数列  nc 的前 n 项和 nT ． 19．（本小题满分 12 分） 如图 1，在 ABCRt 中， 3 ABC ， 2 BAC ， AD 是 BC 上的高，沿 AD 将 ABC 折叠，使得 3 BDC ，如图 2． （1）证明：平面 ABD 平面 BCD ； （2）设 E 为折叠后 BC 的中点，求异面直线 AE 与 BD 所成的角． 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 1: 2 2 2 2  b y a xC 过点 )0,2(A ， )1,0(B 两点． （1）求椭圆C 的方程及离心率； （2）设 P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M ，直线 PB 与 x 轴 交于点 N ，求证：四边形 ABNM 的面积为定值． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 4 1)( 3  axxxf , xxg ln)(  ． （1）当 a 为何值时， x 轴为曲线 )(xfy  的切线； （2）用  nm,min 表示 nm, 中的最小值，设函数  )(),(min)( xgxfxh  )0( x ， 讨论 )(xh 零点的个数． 请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 已知圆 C 的参数方程为        sin61 cos63 y x ( 为参数)，以直角坐标系原点为极点， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若直线 1sin cos    ，与圆C 交于 BA, 两点，求 ACB 的大小. 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 axxxf  121)( . （1）若 1a ，求不等式 1)(  xxf 的解集； （2）若不等式 )2()(  xaxf 的解集为非空集合，求实数 a 的取值范围． 宜昌市第一中学 2017 届高三 11 月阶段性检测 数学（文科）试题答案 一、选择题： ACDBC CADBA BC 二、填空题： 13． )8 1,0( 14． 3 2 15． 6  16． CD ； DE 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．【解析】(1)   2 1cos22sin2 3 2 1coscossin3 2 2  xxxxxxf )62sin(2cos2 12sin2 3  xxx …………3 分 令  kxk 226222  ， Zk  所以  xf 的单调递增区间为 )(6,3 Zkkk       ． …………6 分 （2） 2 1)62sin()(  AAf ，又 )6 13,6(62  A ，故 6 5 62  A 所以 3 A ．又 13a , 4b …………8 分 过C 作 ABCD  于 D ， …………9 分 ACDRt 中， 260cos4  oAD ， 3260sin4  oCD …………10 分 BCDRt 中， 1121322  CDBCBD …………11 分 所以 312  BDADc 112  BDADc . …………12 分 18．【解析】(1)当 n＝1 时，S1＝3 2(a1－1)，即 2a1＝3a1－3，所以 a1＝3. ……1 分 因为 Sn＝3 2(an－1)，则 Sn－1＝3 2(an－1－1)(n≥2)． 两式相减，得 an＝3 2(an－an－1)，即 an＝3an－1(n≥2)． ………………4 分 所以数列{an}是首项为 3，公比为 3 的等比数列，故 an＝a1·qn－1＝3·3n－1＝3n. …5 分 （2)因为 b3＋b5＝2b4＝－8，则 b4＝－4.又 2b1＋b4＝0，则 b1＝2. ……………7 分 设{bn}的公差为 d，则 b4－b1＝3d，所以 d＝－2， 所 以 bn ＝ 2 ＋ (n － 1)×( － 2) ＝ 4 － 2n. ………………8 分 由题设，cn＝ (4－2n)·3n， 则 Tn＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n)·3n. 3Tn＝ 2·32＋0·33＋… ＋(6－2n)·3n＋(4－2n)·3n＋1. ……………9 分 两式相减，得－2Tn＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n－(4－2n)·3n＋1 ＝6－2(32＋33＋…＋3n)－(4－2n)·3n＋1. 所 以 Tn ＝ － 3 ＋ 9（1－3n－1） 1－3 ＋ (2 － n)·3n ＋ 1 ＝ － 15 2 ＋ )2 5( n ·3n ＋ 1. ………………12 分 19． 【解析】(1)因为折起前 AD 是 BC 边上的高，则当△ABD 折起后， AD⊥CD，AD⊥BD. …………………………2 分 又 CD∩BD＝D，则 AD⊥平面 BCD. …………………………3 分 因为 AD⊂平面 ABD，所以平面 ABD⊥平面 BCD. ………………………4 分 (2)取 CD 的中点 F，连结 EF，则 EF∥BD， 所以∠AEF 为异面直线 AE 与 BD 所成的角． ……………………… 6 分 连结 AF、DE.设 BD＝2，则 EF＝1，AD＝2 3，CD＝6，DF＝3. 在 Rt△ADF 中，AF＝ AD2＋DF2＝ 21. ………………………8 分 在△BCD 中，由题设∠BDC＝60°， 则 BC2＝BD2＋CD2－2BD·CDcos∠BDC＝28，即 BC＝2 7， 从而 BE＝1 2BC＝ 7，cos∠CBD＝BD2＋BC2－CD2 2BD·BC ＝－ 1 2 7 . 在△BDE 中，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos∠CBD＝13. 在 Rt△ADE 中，AE＝ AD2＋DE2＝5. ………………………10 分 在△AEF 中，cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF2 2AE·EF ＝1 2. ………………………11 分 则异面直线 AE 与 BD 所成的角为 3  ． ………………………12 分 20． 【解析】(1)由题意得： 1,2  ba . 所以椭圆C 的方程为： 14 2 2  yx .……2 分 又 322  bac 所以离心率 2 3 a ce . ………………………4 分 （2）设  0 0,x y （ 0 0x  ， 0 0y  ），则 2 2 0 04 4x y  ． 又  2,0 ，  0,1 ，所以， 直线  的方程为  0 0 22 yy xx   ． 令 0x  ，得 0 0 2 2 yy x    ，从而 0 0 21 1 2 yy x      ． ……………………6 分 直线  的方程为 0 0 1 1yy xx   ． 令 0y  ，得 0 0 1 xx y    ，从而 0 0 2 2 1 xx y      ． ……………………8 分 所以四边形  的面积 1 2S     0 0 0 0 21 2 12 1 2 x y y x             2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4 8 4 2 2 2 x y x y x y x y x y         0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 4 2 2 x y x y x y x y       2 ． ……………11 分 从而四边形  的面积为定值． ……………………12 分 21． 【解析】（1）设曲线 ( )y f x 与 x 轴相切于点 0( ,0)x ，则 0( ) 0f x  ， 0( ) 0f x  ， 即 3 0 0 2 0 1 04 3 0 x ax x a        ，解得 0 1 3,2 4x a  .因此，当 3 4a  时， x 轴是曲线 ( )y f x 的 切线. ………………4 分 （2）当 (1, )x  时， ( ) ln 0g x x   ，从而 ( ) min{ ( ), ( )} ( ) 0h x f x g x g x   ， ∴ ( )h x 在 （ 1 ， + ∞ ） 无 零 点. ………………5 分 当 x =1 时，若 5 4a   ，则 5(1) 04f a   ， (1) min{ (1), (1)} (1) 0h f g g   ,故 x =1 是 ( )h x 的零点；若 5 4a   ，则 5(1) 04f a   ， (1) min{ (1), (1)} (1) 0h f g f   ,故 x =1 不是 ( )h x 的零点. …6 分 当 (0,1)x 时 ， ( ) ln 0g x x   ， 所 以 只 需 考 虑 ( )f x 在 （ 0,1 ） 的 零 点 个 数. ………………7 分 （ⅰ）若 3a   或 0a  ，则 2( ) 3f x x a   在（0,1）无零点，故 ( )f x 在（0,1）单调， 而 1(0) 4f  ， 5(1) 4f a  ，所以当 3a   时， ( )f x 在（0，1）有一个零点；当 a  0 时， ( )f x 在（0，1）无零点. （ⅱ）若 3 0a   ，则 ( )f x 在（0， 3 a ）单调递减，在（ 3 a ，1）单调递增，故当 x = 3 a 时， ( )f x 取的最小值，最小值为 ( )3 af  = 2 1 3 3 4 a a  . ① 若 ( )3 af  ＞ 0 ， 即 3 4  ＜ a ＜ 0 ， ( )f x 在 （ 0,1 ） 无 零 点. ………………9 分 ② 若 ( )3 af  =0 ， 即 3 4a   ， 则 ( )f x 在 （ 0,1 ） 有 唯 一 零 点； ………………10 分 ③ 若 ( )3 af  ＜ 0 ， 即 33 4a    ， 由 于 1(0) 4f  ， 5(1) 4f a  ， 所 以 当 5 3 4 4a    时， ( )f x 在（0,1）有两个零点；当 53 4a    时， ( )f x 在（0,1）有 一个零点. ……………11 分 综上，当 3 4a   或 5 4a   时， ( )h x 由一个零点；当 3 4a   或 5 4a   时， ( )h x 有两 个 零 点 ； 当 5 3 4 4a    时 ， ( )h x 有 三 个 零 点. ……………12 分 22．【解析】 1 ∵曲线C 的参数方程为        sin61 cos63 y x ( 为参数) ∴曲线C 的普通方程为 6)1()3( 22  yx 曲线 C 表示以  3,1 为圆心， 6 为半径的圆. 将        sin cos y x 代入并化简： 04sin2cos62   即 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 04sin2cos62   . ……………5 分  2 ∵的直角坐标方程为 1y x  ∴圆心C 到直线的距离为 3 2 2d  ∴弦长为 6)6(2 22  dL . 所 以 3 ACB . …………… 10 分 23．【解析】(1)当 1a ，不等式 11121  xxx ，即为 2121  xxx ， 不等式等价于      231 1 xx x ，或      23 11 xx x ，或      213 1 xx x 1 x 或 2 11  x 或 2 3x ， 所 以 所 求 不 等 式 的 解 集 为    2 3 2 1 xxx 或 ． ……………………5 分 (2)由 )2()(  xaxf ⇒ )2(121  xaaxx ，即 )3(121  xaxx ． 设        )1(,13 )11(,3 )1(,31 121)( xx xx xx xxxg ， 如图， )0,3(P ， 2 1PAk ， 3 BCPD kk ． 故 由 题 可 知 3a 或 2 1a ， 即 a 的 取 值 范 围 为 ),2 1[)3,(   ． …………… ………10 分