2019学年高一数学下学期期中试题 人教新版

2019学年高一数学下学期期中试题 人教新版

‎2019学年第二学期高一数学期中考试试卷 考试时间：120分钟 满分：150分姓名：__________ 班级：__________‎ 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（共12题；共60分）‎ ‎1.已知全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2+x﹣2=0}，则∁UA=（   ） ‎ A. {﹣2，1}                     B. {﹣2，0}                     C. {0，2}                     D. {0，1}‎ ‎2.下列函数为奇函数的是（   ） ‎ A.                         B. y=x﹣1                        C. y=x2                        D. y=x3‎ ‎3.下列命题中不正确的是（   ） ‎ A. 平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面β B. 平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面β C. 一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行 D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线 ‎4.关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是(   ) ‎ A. 所有的直线都有倾斜角和斜率           B. 所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C. 直线的倾斜角和斜率有时都不存在    D. 所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 ‎5.直线y＝2x－6经过(   ) ‎ A. 第一、二、三象限                                 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限                                 D. 第二、三、四象限 ‎6.直线(m＋2)x－y－3＝0与直线(3m－2)x－y＋1＝0平行，则实数m的值是(   ) ‎ - 12 -‎ A. 1                               B. 2                               C. 3                               D. 不存在 ‎7.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（   ） ‎ A. ﹣                              B. ﹣                              C.                              D. 2‎ ‎8.已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是 和 ，此平行四边形两条对角线的交点是 ，则平行四边形另两边所在直线的方程是(   ) ‎ A. 和           B. 和 C. 和           D. 和 ‎ ‎9.已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（   ） ‎ A. （x+2）2+（y﹣2）2=4                      B. （x﹣2）2+（y+2）2=4 C. （x+2）2+（y+2）2=4                       D. （x﹣2）2+（y﹣2）2=4‎ ‎10.若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为（    ）． ‎ A.        B.        C.        D. ‎ ‎11.直线 与圆 交于 两点，则 （ 是原点）的面积为（    ） ‎ A.                          B.                          C.                          D. ‎ - 12 -‎ ‎12.曲线 与直线 有两个不同的交点时，实数k的取值范围是  （    ） ‎ A.               B.               C.               D. ‎ 第Ⅱ卷 主观题 二、填空题（共4题；共20分）‎ ‎13.＋ ＝________． ‎ ‎14.若一个球的体积为36π，则它的表面积为________． ‎ ‎15.过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________． ‎ ‎16.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A ， 点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________ . ‎ 三、解答题（共7题；共82分）‎ ‎17.在平面直角坐标系 中，已知直线 的斜率为 . ‎ ‎（1）若直线 过点 ，求直线 的方程； ‎ ‎（2）若直线 在 轴、 轴上的截距之和为 ，求直线 的方程. ‎ ‎18.如图所示，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，且 ，点 在线段 上，且 . （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求四棱锥 的体积. ‎ ‎19.在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上． ‎ ‎（1）求点C的坐标； ‎ ‎（2）求直线MN的方程． ‎ - 12 -‎ ‎20.已知圆 的圆心在直线 上，半径为 ，且圆 经过点 ‎ ‎（1）求圆 的标准方程； ‎ ‎（2）求过点 且与圆 相切的切线方程． ‎ ‎21.已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆. ‎ ‎（1）求实数m的取值范围； ‎ ‎（2）求该圆的半径r的取值范围； ‎ ‎（3）求圆心C的轨迹方程． ‎ ‎22.已知圆 ，直线 ． ‎ ‎（1）当直线 与圆 相切，求 的值； ‎ ‎（2）当直线 与圆 相交于  两点，且 时，求直线 的方程． ‎ ‎23.已知动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1：x=﹣1的距离 （Ⅰ）求点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求 的取值范围． ‎ - 12 -‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎1.【答案】C ‎ ‎【考点】补集及其运算 ‎ ‎【解析】【解答】解：全集U={﹣2，0，1，2}，集合A={x|x2+x﹣2=0}={﹣2，1}， 则∁UA={0，2} 故选：C． 【分析】由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．‎ ‎2.【答案】D ‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断 ‎ ‎【解析】【解答】解：对于A，函数的定义域为[0，+∞），不是奇函数； 对于B，定义域为R，不满足奇函数的定义； 对于C，定义域为R，是偶函数； 对于D，定义域为R，是奇函数， 故选D． 【分析】确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可判断．‎ ‎3.【答案】A ‎ ‎【考点】平面与平面平行的性质 ‎ ‎【解析】【解答】对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D正确。 故答案为：A．【分析】由平面与平面平行的性质得知，当一条直线平行于两个平行平面中一个时，直线有两种可能，一是与另一个平面平行，一是在另一个平面内，故A不正确。‎ ‎4.【答案】B ‎ ‎【考点】直线的倾斜角，直线的斜率 ‎ ‎【解析】【解答】此题考查直线的倾斜角和斜率的定义.任何直线都有倾斜角，但是并不是所有的直线都与斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线不存在斜率，所以A，C，D不符合题意，B符合题意. 故答案为:B.【分析】结合直线的倾斜角和斜率的定义,对各选项判断。‎ ‎5.【答案】C ‎ ‎【考点】直线的点斜式方程 ‎ ‎【解析】【解答】直线y＝2x－6经过点(3,0)、T (0，－6)，因此直线过一、三、四象限. 故答案为:C．【分析】由直线方程求出直线与坐标轴的交点坐标,得到正确选项.‎ ‎6.【答案】B ‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 ‎ - 12 -‎ ‎【解析】【解答】因为直线(m＋2)x－y－3＝0的斜率为m＋2，直线(3m－2)x－y＋1＝0 的斜率为3m－2，因为两直线平行，所以m＋2=3m－2，m=2. 故答案为:B. 【分析】由两条直线平行,根据 斜率相等求出m的值.‎ ‎7.【答案】A ‎ ‎【考点】点到直线的距离公式，圆的一般方程 ‎ ‎【解析】【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1， 解得：a= ， 故选：A． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．‎ ‎8.【答案】B ‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离 ‎ ‎【解析】【解答】解法一:因为另两边分别与l1,l2平行且到点(2,3)距离分别相等, 所以设 ， ，由点到直线距离公式得出. 解法二:l1的对边与l1平行应为 形式，排除A，D；l2对边 与l2平行，应为 形式，排除C. 故答案为:B. 【分析】根据平行直线间的距离公式结合平行四边形的性质求解.‎ ‎9.【答案】B ‎ ‎【考点】圆的标准方程，圆与圆的位置关系及其判定 ‎ ‎【解析】【解答】解：根据题意，设圆C2的圆心为（a，b）， 圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=4，其圆心为（﹣1，1），半径为2， 若圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则点C1与C2关于直线x﹣y﹣1=0对称，且圆C2的半径为2， 则有 ，解可得 ， 则圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=4， 故选：B． 【分析】先求出圆C1（﹣1，1）关于直线x﹣y﹣1=0对称的点C2的坐标，再利用所求的圆和已知的圆半径相同，写出圆C2的标准方程．‎ ‎10.【答案】D ‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系 ‎ - 12 -‎ ‎【解析】【解答】圆心C(3,0)，kPC＝ ，∵点P是弦MN的中点，∴PC⊥MN， ∴kMNkPC＝－1，∴kMN＝2，∴弦MN所在直线方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 故答案为：D 【分析】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，两直线垂直时斜率满足的关系，垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直与弦MN所在的直线是解本题的关键．‎ ‎11.【答案】A ‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，相交弦所在直线的方程 ‎ ‎【解析】【解答】圆心 在直线 上，则 ，点 到直线的距离为 ，则 . 故答案为：A.【分析】由直线与圆相交的性质可以得到。‎ ‎12.【答案】A ‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系 ‎ ‎【解析】【解答】因为曲线 表示的图形是一个半圆. 直线 表示恒过点（2,4）的直线.如图所示.因为E(-2，1)，A(2，4).所以 .因为直线AC与圆相切.由圆心到直线的距离为半径可得. .解得 .所以符合题意的实数k的取值范围是 .故选A. 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系、直线与圆相交的性质，解决问题的关键是通过所给直线恒过点及直线与圆的相交关系构造方程，通过数形结合进行计算计算即可.‎ 二、填空题 - 12 -‎ ‎13.【答案】‎ ‎【考点】对数的运算性质 ‎ ‎【解析】【解答】 ， ， ＋ ＝ 【分析】由对数的运算性质计算出结果即可。‎ ‎14.【答案】36π ‎ ‎【考点】球的体积和表面积 ‎ ‎【解析】【解答】解：因为球的体积为36π，所以球的半径： =3， 球的表面积：4π×32=36π， 故答案为：36π． 【分析】求出球的半径，直接利用表面积公式求解即可．‎ ‎15.【答案】或 ‎ ‎【考点】直线的截距式方程 ‎ ‎【解析】【解答】设直线方程的截距式为 ，则 ，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是 或 故答案为：或 ．【分析】设出直线的截距式方程，由条件得到截距的方程，求出截距得方程．‎ ‎16.【答案】x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 ‎ ‎【考点】轨迹方程，圆方程的综合应用 ‎ ‎【解析】【解答】设PA的中点M的坐标为 ，  ，圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A坐标为 ，由已知有 ，则 ，又P点在圆上，所以 ，所以 ，故答案为: 。【分析】先求出圆心坐标,设动点M坐标为(x,y),用中点坐标公式用点M的坐标表示出点P的坐标代入到圆方程中即得点P的轨迹方程.‎ 三、解答题 ‎17.【答案】（1）解：因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，即 . （2）解：因为直线 的斜率为 ，所以可设直线 ‎ - 12 -‎ 的方程为y=2x+b.令x=0，得y=b.令y=0，得x= .由题知 ，解得b=6. 所以直线 的方程为y=2x+6，即2x-y+6=0 ‎ ‎【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程 ‎ ‎【解析】【分析】（1）直接由点斜式写出直线的方程； （2）设出直线的方程，求出两截距，由条件求出b，得到直线的方程。‎ ‎18.【答案】解：（Ⅰ）证明：∵ 平面 ， 平面 ， ∴ . 又∵底面 为正方形， ∴ . ∵ ， ∴ 平面 . ∴ . 设 交 于点 ，如图，在 中， ∵ ， ， ， ∴由余弦定理可得 . ∴ . ∴ . ∵ ， 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 . 又∵ 在平面 内， ∴平面 平面 ； （Ⅱ）由题意可得 ， 而 ， 为三棱锥 的高， 则 ‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 ‎ ‎【解析】【分析】（Ⅰ）先由线面垂直的性质证出P A ⊥ B D与B D ⊥ A C，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可得到平面 B D E ⊥ 平面 P C D ； （Ⅱ）设AC与BD的交点为O，连结OE，利用VE-ABCD=SP-ABCD ， 可求四棱锥的体积．‎ - 12 -‎ ‎19.【答案】（1）解：设点C(x，y)，由题意得 ＝0， ＝0，解得x＝－5，y＝－3. 故所求点C的坐标是(－5，－3) （2）解：点M的坐标是(0， )，点N的坐标是(1,0)， 直线MN的方程是 ，即5x－2y－5＝0 ‎ ‎【考点】直线的两点式方程，中点坐标公式 ‎ ‎【解析】【分析】（１）设出点Ｃ的坐标，由中点坐标公式得到关于点Ｃ的坐标的方程组，解方程组求出点Ｃ的坐标； （２）由中点坐标公式求出点Ｍ，Ｎ的坐标，再由两点式写出直线的方程．‎ ‎20.【答案】（1）解：设圆 的圆心为 ，则圆 的方程为 . 圆 的方程为 （2）解：易知过点 且与圆 相切的切线的斜率存在，设切线方程为 ， 即 ， 圆心到切线的距离为 ，解得 或 .故切线方程为 或 ‎ ‎【考点】圆的标准方程，圆的一般方程，圆的切线方程，相交弦所在直线的方程，直线和圆的方程的应用 ‎ ‎【解析】【分析】（1）通过设圆心坐标，列出等式可以求出圆的方程。 （2）由圆的切线性质和已知点可以求出切线方程。‎ ‎21.【答案】（1）解：x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）y+16m4+9=0 （2）解： （3）解：设圆心的坐标为（x,y）,则 ‎ - 12 -‎ m=x-3代入 得 因为 ，即轨迹为抛物线的一段 所以圆心的轨迹方程为 ，（ ） ‎ ‎【考点】圆的标准方程，轨迹方程，二元二次方程表示圆的条件 ‎ ‎【解析】【分析】(1)将圆的方程化为标准方程得到表示圆的条件; (2)将圆的半径表示为m的函数式,求范围; (3)将圆心坐标表示为参数方程化为普通方程即可.‎ ‎22.【答案】（1）解：当直线 与圆 相切，则有  ，解得 （2）解：过圆心 作 于 ，则根据题意和圆的性质，  ， ，解得 或 ，故所求直线方程为 或 . ‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据题目中所给的条件的特点，利用直线l与圆C相切时，圆心与切线的距离与半径的关系列出方程，即可求出a； （2）过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质列出关于a的方程，解之，即可求直线l的方程．几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．      ①相交：d＜r      ②相切：d=r      ③相离：d＞r ‎23.【答案】解：（Ⅰ）依题意，点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离， ∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线． ∴曲线C的方程为y2=4x． （Ⅱ）设点P（x0 ， y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n）， 直线PM方程为： ， 化简得，（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0． ∵△PMN的内切圆方程为x2+y2=1， ∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即 ． 故 ． ‎ - 12 -‎ 易知x0＞1，上式化简得， ． 同理，有 ． ∴m，n是关于t的方程 的两根． ∴ ， ． ∴ ． ∵ ， ， ∴ = ． 直线PF的斜率 ，则 ． ∴ ∵函数 在（1，+∞）上单调递增，∴ ． ∴ ．∴ ． ∴ ．∴ 的取值范围为 ‎ ‎【考点】轨迹方程，圆的切线方程，直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合 ‎ ‎【解析】【分析】（Ⅰ）利用已知条件，结合抛物线的定义，即可求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）设点P（x0 ， y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），写出直线PM方程，化简得，（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0．利用△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，得到圆心（0，0）到直线PM的距离为1，求出 ， ，求出|MN|．化简 利用函数的单调性求解范围即可．‎ - 12 -‎