2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题

2017-2018学年江西省南昌市第二中学高二上学期期中考试数学（文）试题

南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试 高二数学（文）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）‎ A.150 B.120 C.60 D.30‎ ‎2.点的直角坐标为，则它的极坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.抛物线的准线方程为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.圆与圆的位置关系是（ ）‎ ‎ A.相离 B.相交 C.相切 D.内含 ‎ ‎5.圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6. 若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆长轴的端点为焦点，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 过两直线和的交点，并与原点的距离等于的直线有（ ）条 A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎8.若椭圆的弦被点（4，2）平分，则此弦所在的直线方程为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎9. 一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心的轨迹是( )‎ ‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线一支 ‎ ‎10. 、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是该椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知直线被椭圆截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为2017的有（ ）‎ ‎① ② ③ ④ ‎ ‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎ ‎12. 如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）‎ ‎13. 直线（为参数）的斜率为 .‎ ‎14. 已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 .‎ ‎15. 设为椭圆上的一个点，，为焦点，，则△ 的面积为 ．‎ ‎16. 已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，是坐标原点，是以为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线的离心率是 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17 .（本小题满分10分）‎ 已知过抛物线的焦点，且平行于直线的直线交抛物线于、（）两点,若，求该抛物线的方程.‎ ‎18 .（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为，圆与直线交于，两点，点的直角坐标为．‎ ‎（Ⅰ）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎19 .（本小题满分12分）‎ 中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. ‎ ‎（Ⅰ）求这两曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值. ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切，被直线截得的弦长为.‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若、满足圆的方程，求的取值范围.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知为坐标原点， 是椭圆上的点，设动点满足.‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线相交于， 两个不同点，求面积的最大值.‎ ‎22.(本小题满分12分) ‎ 已知椭圆过点，离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线交抛物线于、两点，为原点.‎ ‎①求证：；‎ ‎②设、分别与椭圆相交于、两点，过原点作直线的垂线，垂足为，证明:为定值.‎ 南昌二中2017—2018学年度上学期期中考试 高二数学（文）试卷参考答案 一、选择题 ‎1—5 BACBA 6—10 BCCDD 11—12 CB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：直线的方程是，与联立，从而有，所以，‎ 由抛物线定义得，∴，‎ 从而抛物线方程为．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由消去参数，得到直线的普通方程为．‎ 把，，代入，得：‎ 圆的直角坐标方程，即．………………6分 ‎（Ⅱ）把（为参数）代入，化简得：‎ ‎，由于，‎ 所以设，是该方程的两根．所以， ，所以，又直线过，所以 ‎．………12分 ‎19．解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎20．（Ⅰ）解：设圆的圆心为，半径为，则有：‎ ‎ ， 解得 所以圆的方程为.…………………………6分 ‎（Ⅱ），‎ 设，‎ 所以，因为，所以 所以，‎ 从而的取值范围为.…………………………12分 ‎21．解：解：（1）设点，,则由，得，即，，因为点在椭圆，所以，故 ，‎ 即动点的轨迹的方程为.‎ ‎（2）由曲线与直线联立得，‎ 消得，因为直线与曲线交于， 两点，‎ 所以，又，所以.‎ 设， ，则， ，‎ 因为点到直线： 的距离，‎ ‎ ，‎ 所以 ，‎ ‎，当且仅当，即时取等号，‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎22. 解：(1) ，所以 又，解得，，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）①证明：设、，依题意，直线一定有斜率， 的方程为，‎ 联立方程消去得 ，‎ ‎，又，，‎ ‎②证明：设、，直线的方程为 ‎，， ‎ 联立方程消去得 ，‎ ‎，，‎ 而 由 得 ‎，即 ‎. 所以为定值.‎