闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学（文）试题

闽粤赣三省十二校2020届高三下学期联考数学（文）试题

2020 （ 一、选择题（本大题共 12 小题 有一项是符合题目要求的） 1.已知集合  2A x R x x     A． 1,0,1 B． 2.已知  izi 43   为虚数单位i A.第一象限 B.第二象限 3. 4.0 4 ,4,4.0log  pnm A. pnm  B. m 4.工厂利用随机数表对生产的 别为 001，002，…，599，600 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 A.522 B.324 5.函数   ln xf x x 的图象大致为 A． B． 6.阿基米德（公元前 287 年— 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 的对称轴，焦点在 轴上 （） A. 1169 22  yx B. 3 x 7.已知 A. B. 8. 如图所示， 中，点 则 （） C y cos( ) siπ n6a a   1 2 2 ABC AC   1 2020 届“三省十二校”联考 数学（文科）试题 （考试时间：150 分钟总分：150 分） ： 第 I 卷（选择题共 60 分） 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中 ） 2 2 0A x R x x     ，  1,0,1B ，则 A B  （）  1,0 C． 0,1 D． 为虚数单位 ,则复数 z 在复平面上所对应的点在（） 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.04.0 ，则（ ） npm  C. nmp  D. n 工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号 600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04[来源 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号 B.324 C.535 D. 578 的图象大致为（ ） C． D． —公元前 212 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家 得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积 轴上，且椭圆 的离心率为 ，面积为 ，则椭圆 143 22  y C. 13218 22  yx D. 4 2x ，则 的值为（） C. D. 点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 C 7 4 12 4 3 5na a   7πsin( )6a  3 2 4 5  D BC E AD ： 在每小题给出的四个选项中，只  0 第四象限 mpn  个零件进行编号，编号分 如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 来源: 个样本编号（ ） D. 578 也是著名的数学家， 得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆 则椭圆 的方程为 1364 22  y 的三等分点， C 1 2 A 2020.2.19 2 A B. C. D. （8 题图）（9 题图） 9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 在正视图上的对应点为 P ，点 CBA 、、 在俯视图上的对应点为 CBA 、、 ，则 PA 与 BC 所成角的余弦值为（） A. 5 5 B. 2 5 C. 2 2 D. 5 10 10.已知 , ,A B C 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b    上的三个点， AB 经过原点O ， AC 经过 右焦点 F ，若 BF AC 且 2 AF CF ，则该双曲线的离心率是（） A. 3 5 B. 3 17 C. 2 17 D. 4 9 11．已知奇函数             0,2cossin3  xxxf 对任意 Rx 都有   02       xfxf ，现将  xf 图象向右平移 3  个单位长度得到  xg 图象，则下列判断 错误的是（ ） A．函数 ( )g x 在区间 ,12 2       上单调递增 B． ( )g x 图象关于直线 7 12x  对称 C．函数 ( )g x 在区间 ,6 3      上单调递减 D． ( )g x 图象关于点 ,03      对称 12.已知定义在 R 上的可导函数  xf 的导函数为  xf ' ，满足    xfxf ' ，  1 xfy 是偶函数，   220 ef  ，则不等式   xexf 2 的解集为（） A. 2, B. 0, C. ,0 D.  ,2 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置） 4 3 AD BE   5 3 AD BE   4 1 3 2AD BE   5 1 3 2AD BE   13.已知函数        ,22 xf xf x 14.若实数 yx, 满足约束条件 15. 在 锐 角 ABC 中    ACac 3sinsin  16.如图，在直角梯形 ABCD E 为 BC 中点，现将 CDE 设 M 为CE 中点，动点 P 在平面 形成的轨迹长度为。 三、解答题（本大题共 6 小题 17.（本小题满分 12 分） 已知数列 为等差数列， （1）求数列 的通项公式 （2）设 1 1   nn n aab ，求数列 18.（本小题满分 12 分） 某校高三学年统计学生的最近 成绩如下列茎叶图所示: （1）根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数 完整; （2）根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度 给出结论即可); （3）现从甲、乙两位同学的不低于 个成绩分别属于不同的同学  na  na 3    0,3 0, x x ，则   2020f 。 满足约束条件       2 03 02 yx yx yx ，则 y-xz 32= 的最小值为 中 ， 内 角 CBA ,, 所 对 的 边 为 cba ,,  Bbc sin3  ，则bc 的最大值为。 ABCD 中， BCAD // , 22 1  BCAD ,  90ABC CDE 沿 DE 折起，使得平面 CDE 平面 ABED , 在平面CBE 和平面CDE 上运动，且始终满足 AM 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ， ，且 依次成等比数列. 的通项公式； 求数列 nb 的前 n 项和 nS . 某校高三学年统计学生的最近 20 次数学周测成绩(满分 150 分),现有甲、乙两位同学的 乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充 乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值 乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出 2 个成绩,设事件 个成绩分别属于不同的同学”,求事件 A 发生的概率. 7 2 10a a  1 6 21a a a， ， ． c ， 2a ， 90 ，  45C ， ,连接 BCAC、 , MPAM  ,则点 P 证明过程或演算步骤。） . 乙两位同学的 20 次 并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充 不要求计算出具体值, 设事件 A 为“其中 2 19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S ABCD 中 点． （1）求证： / /SD 平面 ACE （2）若平面 ABS  平面 ABCD 20.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2: 2  ppxyC 且 2FA ，过点 F 作斜率为 （1）求抛物线C 的方程； （2）求 APQ 面积的取值范围 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 2) ( 2)xf x a x e b x    （1）若函数 ( )f x 在 (0, (0))f （2）若 1a  ，b R ，求函数 请考生在 22、23 题中任选一题作答 号。 22．（本小题满分 10 分）选修 在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （1）若 2   ，求曲线C 的直角坐标方程以及直线 （2）设点  1,2 P ，曲线C 23．(本小题满分 10 分)选修 已知函数 （1）当 2a  时，解不等式 （2）设不等式 1 3x f x x     1 3f x x a a   4 S ABCD 中， ABS△ 是正三角形，四边形 ABCD 是菱形， ACE ； ABCD ， 2AB  ， 120ABC   ，求三棱锥 E ASD 0 ，点 F 为抛物线C 的焦点，点   0,1 mmA 作斜率为       22 1 kk 的直线l 与抛物线C 交于 QP、 面积的取值范围。 2( ) ( 2) ( 2)xf x a x e b x    . (0, (0))f 处的切线方程为5 2 0x y   ，求 a ，b 的值 求函数 ( )f x 的零点的个数. 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 4-4:坐标系与参数方程 的极坐标方程为 6cos  .以极点为原点，极轴为 的参数方程为 2 cos 1 sin x t y t         (t 为参数). 的直角坐标方程以及直线 l 的极坐标方程; C 与直线 l 交于 BA、 两点，求 2 2PA PB 的最小值 选修 4－5：不等式选讲 ． 解不等式  1 13x f x   ；  x f x x   的解集为 M ，若 1 1,3 2 M     ，求实数  f x x a a  R ，点 E 是 BS 的中 E ASD 的体积. 0 在抛物线C 上， Q 两点. b 的值； 。作答时请写清题 极轴为 x 轴的正半轴建 的最小值. 求实数 a 的取值范围． 2019-2020 学年第二学期三省十校联考 高三文科数学答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D A A C B D B C A 二、填空题: 13、 4 7 14、 6 15、 348 16、 3 52 三、解答题: 17. （1） 32  nan （2） 2510  n nSn 解：（1）设等差数列 na 的公差为 d 由 1027  aa 得   106 11  dada 即 2,105  dd ……………………………………（2 分） 由 2161 ,, aaa 成等比数列，得 211 2 6 aaa  ……………………………………（3 分） 即   4010 11 2 1  aaa ，解得 51 a ……………………………………（4 分）   32215  nnan ……………………………………（6 分） （2）   5232 11 1   nnaab nn n =       52 1 32 1 2 1 nn …………………（8 分）                     52 1 32 1...9 1 7 1 7 1 5 1 2 1 nnSn       52 1 5 1 2 1 n 2510  n n ……………………………………（12 分） 18.（1）甲的成绩的中位数是 119,乙的成绩的中位数是 128, …………………………（4 分） （2）从茎叶图可以看出 学的成绩更稳定集中.…………………………………… （3）甲同学的不低于 140 3 个,设为 edc 、、 ,现从甲乙两位同学的不低于         beadacaba ,,,,,,,,, 同同学的情况有:   aca ,,,   5 3 10 6 AP .…………………………………… 19．（1）证明见解析；（2） （1）连接 BD ，设 AC BD O 因为四边形 ABCD 是菱形， 所以点O 是 BD 的中点.………………………………………………………… 又因为 E 是 BS 的中点，所以 所以 / /SD OE ，…………………………………………………………………… 又因为 SD  平面 ACE ，OE 所以 / /SD 平面 ACE .………………………………………………………… （2）因为四边形 ABCD 是菱形 所以 1 602ABD ABC    又因为 AB AD ，所以三角形 取 AB 的中点 F ，连接 SF 又平面 ABS  平面 ABCD ， DF  平面 ABCD ， 平面 ABS 平面 ABCD AB 所以 DF  平面 ABS .………………………………………… 在等边三角形 ABD 中， sin 2sin 60 3DF BD ABD    所以 1 3E ADS D AES ASEV V S DF     20.（1） ；（2） 解：（1）点A 到准线距离为 2 4y x    从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同 ……………………………………（4 分） 140 分的成绩有 2 个,设为 ba、 乙同学的不低于 现从甲乙两位同学的不低于 140 分的成绩中任意选出           edecdcebdbc ,,,,,,,,,,, 共 10 种,其中         ebdbcbead ,,,,,,,,, 共 6 种,因此事件 ……………………………………（4 分） ） 1 2 . AC BD O ，连接OE .…………………………（1 分 ， …………………………………………………………（ 所以OE 是三角形 BDS 的中位线， …………………………………………………………………… ACE OE 平面 ACE ， …………………………………………………………（ ABCD 是菱形，且 120ABC  ∠ ， 60     . 所以三角形 ABD 是正三角形.……………………………（ SF ，则 DF AB .…………………………………（ ABCD ， ABCD AB ， …………………………………………（9 分） sin 2sin 60 3    .而 ASE 的面 1 3sin2 2ASES SA SE ASE      1 3E ADS D AES ASEV V S DF     1 3 133 2 2    .…………………………… 到准线距离为： ，到焦点距离 ，……………… 5,8 5   12 p  2FA  乙同学的成绩比甲同 乙同学的不低于 140 分的成绩有 分的成绩中任意选出 2 个成绩有: 其中 2 个成绩分属不 因此事件 A 发生的概率 分） （2 分） ……………………………………………………………………（3 分） （5 分） （6 分） （7 分） 1 3sin2 2S SA SE ASE     . ……………………………（12 分） ………………（2 分） 所以 ， ， ………………（4 分） （2）将 代入抛物线， ， 设直线 ，设 ，联立方程： …………（6 分） 恒成立[来源:学_科_网 Z_X_X_K] ………………………………………………（8 分） 连接 AF，则 ……………… …………………（10 分） 当 时， 有最小值为 当 时， 有最大值为 所以答案 [来源:………………………………（12 分）学科网] 21.解析:（1） ( )f x 的导数为 ( ) ( 1) 2 ( 2)xf x a x e b x     ，…………………（1 分） (0) 4 5f a b     ， (0) 2 4 2f a b     ，解得 1a b   ………………（4 分） （2） ( ) ( 2) ( 2)xf x x e b x      ，易得 ( )f x 有一个零点为 2x  ………………（5 分） 令 ( ) ( 2)xg x e b x   ， （Ⅰ）若 0b  ，则 ( ) 0xg x e  ，无零点，所以函数 ( )f x 只有一个零点；………（6 分） （Ⅱ）若 0b  ，则   bexg x ' 1 22 p   2p  2 4y x (1, )( 0)A m m  2m  : ( 1)l y k x  1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 4 ( 1) y x y k x       2 2( 1) 4k x x   2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    2 2 4(2 4) 4 0k k     2 1 2 2 1 2 2 4 1 kx x k x x      2 1 2 1 1 12 ( 1) 2 (1 )2 2APQ AFP AFQS S S x x x x              2 APQS   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 (2 4) 4 1( ) ( ) 4 4 (2 ) 4( 2)2 kx x x x x x kk k            2k  APQS 5 1 2k  APQS 8 5 为 5,8 5   ① 0b  ，则 ( ) 0g x  所以 ( )g x 单调递增，而 11( ) 1 2 0bg e bb       ， 2(2) 0g e  ， 所以 ( )g x 有一个零点，所以 ( )f x 有两个零点；………………………………………（8 分） ② 0b  ，由 ( ) 0xg x e b    ，知 xe b  ， ln( )x b  ，所以 ( )g x 在 ,ln( )b  单 调递减， 在 (ln( ), )b  单调递增；所以函数 ( )g x 的最小值为  min( ) (ln( )) ln( ) 3g x g b b b     …（9 分） （ⅰ）当ln( ) 3 0b   即 3 0e b   时，  min( ) (ln( )) ln( ) 3 0g x g b b b      ，所以 ( )g x 无零点，所以 ( )f x 函数只有一个零点 （ⅱ）当ln( ) 3 0b   时，即 3eb  ，所以 ( )g x 有一个零点，所以函数 ( )f x 有两个零点 （ⅲ）当ln( ) 3 0b   时，即 3eb  时， min( ) 0g x  ，所以 ( )g x 有两个零点，所以函数 ( )f x 有三个零点………………………………………………………………（11 分） 综上，当 0b  或 3 0e b   时，函数 ( )f x 只有一个零点；当 0b  或 3b e  时，函数 ( )f x 有两个零点；当 3b e  时，函数 ( )f x 有三个点………………………………（12 分） （利用函数图像的交点个数讨论酌情给分） 22.（1）曲线 C: 2 6 cos   ，将 cos , sinx y     .代入得 x2+y2-6x＝0 即曲线 C 的直角坐标方程为(x-3)2+y2＝9. 直线 l: 2 1 x y t      ，(t 为参数)，所以 x＝2，故直线 l 的极坐标方程为 cos 2   ……5 分 （2）联立直线 l 与曲线 C 的方程得    91sin1cos 22   tt 即 2 2 (cos sin ) 7 0t t      设点 BA、 对应的参数分别为 t1，t2，则 1 2 1 22(cos sin ), 7t t t t      因为 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 4(cos sin ) 14 4sin 2 18 14PA PB t t t t t t               当sin 2 1   时取等号，所以 2 2PA PB 的最小值为 14.-----------------10 分 23．解：（1）当 2a  时，原不等式可化为 3 1 2 3x x    ， …………………1 分 ①当 1 3x  时，1 3 2 3x x    ，解得 0x  ，所以 0x  ； ……………………2 分 ②当 1 23 x  时，3 1 2 3x x    ，解得 1x  ，所以1 2x  ； …………3 分 ③当 2x  时，3 1 2 3x x    ，解得 3 2x  ，所以 2x  ． ………………4 分 综上所述，当 2a  时，不等式的解集为 | 0 1x x x 或 ． …………………5 分 （2）不等式  1 3x f x x   可化为 3 1 3x x a x    ， 依题意不等式 3 1 3x x a x    在 1 1,3 2x      上恒成立，……………6 分 所以3 1 3x x a x    ，即 1x a  ，即 1 1a x a    ， ……………8 分 所以 11 3 11 2 a a       ，解得 1 4 2 3a   ， 故所求实数a 的取值范围是 1 4,2 3     ． ………………………………………10 分