数学卷·2017届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（文科）（5）（解析版）

数学卷·2017届云南师大附中高三上学期适应性月考数学试卷（文科）（5）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性月考数学试卷（文科）（5）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C． D．（0，4）‎ ‎2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（　　）‎ A．28 B．23 C．18 D．13‎ ‎4．已知x，y满足，则目标函数z=3x+y的最小值是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎5．下列说法正确的是（　　）‎ A．“x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件 B．命题“∀x＞0，2x＞1”的否定是“”‎ C．命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题 D．命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题．‎ ‎6．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0，1，2，…，n，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（　　）‎ A．248 B．258 C．268 D．278‎ ‎7．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（　　）‎ A．f（x）的图象关于直线x=对称 B．f（x）的周期为π C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z） D．f（x）在区间[，]上单调递减 ‎8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8 B． C． D．4‎ ‎10．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，0），点P（a，b）表示的平面区域为D，若函数y=logm（x+2）（m＞0，m≠1）的图象经过区域D，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．‎ ‎11．椭圆，F1，F2‎ 为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）‎ A．64π B．65π C．66π D．128π ‎　‎ 二、填空题已知函数f（x）=ex+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是　　．‎ ‎14．点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是　　．‎ ‎15．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，，则该数列的前20项和为　　．‎ ‎16．抛物线x2=2py（p＞0）上一 点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）证明：△ABC为钝角三角形；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求b的值．‎ ‎18．（12分）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20﹣40岁 大于40岁 合计 ‎（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．‎ 附：．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，．‎ ‎（1）证明：EF∥平面ABC；‎ ‎（2）若∠BAC=60°，求点P到平面BCD的距离．‎ ‎20．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），圆M：（x﹣2）2+y2=4，圆心M到抛物线准线的距离为3，点P（x0，y0）（x0≥‎ ‎5）是抛物线在第一象限上的点，过点P作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求△PAB面积的最小值．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）若曲线y=f（x）在点x=0处的切线斜率为1，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（1）求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）设，若对∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南师大附中高三（上）适应性月考数学试卷（文科）（5）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．集合A={x|x2﹣a≤0}，B={x|x＜2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C． D．（0，4）‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】分类讨论，利用集合的包含关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：a=0时，A={0}，满足题意；‎ 当a＜0时，集合A=∅，满足题意；‎ 当a＞0时，，若A⊆B，则，∴0＜a＜4，‎ ‎∴a∈（﹣∞，4），‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查集合的关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出，再求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵ =，‎ ‎∴，‎ 则其共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：（，﹣），位于第三象限．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1﹣60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（　　）‎ A．28 B．23 C．18 D．13‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号．‎ ‎【解答】解：抽样间隔为15，故另一个学生的编号为3+15=18，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．‎ ‎　‎ ‎4．已知x，y满足，则目标函数z=3x+y的最小值是（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】画出可行域，求出A，B坐标，利用角点法求解即可．‎ ‎【解答】解：画出可行域如图1所示，当目标函数y=﹣3x+z经过点A（1，3）时，z的值为6；当目标函数y=﹣3x+z经过点B（2，2）时，z的值为8，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查线性规划的简单应用，角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用，考查数形结合思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎5．下列说法正确的是（　　）‎ A．“x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件 B．命题“∀x＞0，2x＞1”的否定是“”‎ C．命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题为真命题 D．命题“若a+b≠5，则a≠2或b≠3”为真命题．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对每个选项，分别利用充要条件，命题的否定，四种命题的逆否关系，判断正误即可．‎ ‎【解答】解：选项A：log2（x+1）＜1可得﹣1＜x＜1，所以“x＜1”是其必要不充分条件；‎ 选项B：“∀x＞0，2x＞1”的否定是“”，不满足命题的否定形式；‎ 选项C：命题“若a≤b，则ac2≤bc2”的逆命题是“若ac2≤bc2，则a≤b”，‎ 当c=0时，不成立；‎ 选项D：其逆否命题为“若a=2且b=3，则a+b=5”为真命题，故原命题为真．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎6．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0，1，2，…，n，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（　　）‎ A．248 B．258 C．268 D．278‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解．‎ ‎【解答】解：该程序框图是计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值，‎ 而f（2）=258，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=|sinx|•cosx，则下列说法正确的是（　　）‎ A．f（x）的图象关于直线x=对称 B．f（x）的周期为π C．若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+2kπ（k∈Z） D．f（x）在区间[，]上单调递减 ‎【考点】命题的真假判断与应用；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】f（x）=|sinx|•cosx=，进而逐一分析各个答案的正误，可得结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=|sinx|•cosx=，‎ 故函数的图象关于直线x=kπ，k∈Z对称，故A错误；‎ f（x）的周期为2π中，故B错误；‎ 函数|f（x）|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z），故C错误；‎ f（x）在区间[，]上单调递减，故D正确；‎ 故选：D ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．‎ ‎　‎ ‎8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中任取一点M，满足∠AMB＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，以体积为测度，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中任取一点M，满足∠AMB＞90°的区域的面积为半径为1的球体的，体积为=，‎ ‎∴所求概率为=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查几何概型的概率计算，关键是确定满足条件的区域，利用体积比值求解．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．8 B． C． D．4‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，画出几何体的直观图，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分，如图所示，‎ 所以剩余部分体积为，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查的知识点棱锥的体积和表面积，棱柱的体积和表面积，空间几何体的三视图．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，0），点P（a，b）表示的平面区域为D，若函数y=logm（x+2）（m＞0，m≠1）的图象经过区域D，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（3，+∞） B．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，利用函数的极值以及函数的零点列出约束条件，利用线性规划通过目标函数的最优解，求解m的范围．‎ ‎【解答】解：由f'（x）=2x2+2ax﹣（a﹣b），故f'（x）=0的两根分别为x1，x2，‎ 由二次方程根的分布得，‎ 即画出该不等式组所表示的平面区域D，‎ 当函数y=logm（x+2）的图象经过点（1，1）时，m=3，‎ 因此当1＜m＜3时函数图象经过区域D，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆，F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P为椭圆上一点，，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据两点之间的距离公式求得，利用椭圆的定义及等比数列的性质，求得，利用两点之间的距离公式，即可求得a与c的关系，求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），则，‎ 由椭圆定义：|PF1|+丨PF2丨=2a，|PF1|2+2|PF1|丨PF2丨+丨PF2丨2=4a2，‎ 又∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，‎ ‎∴|PF1|•|PF2|=，，‎ ‎∴（x+c）2+y2+（x﹣c）2+y2+8c2=4a2，整理得x2+y2+5c2=2a2，‎ 即+5c2=2a2，整理得： =，‎ ‎∴椭圆的离心率e==，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的定义，等比数列的性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，且平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（　　）‎ A．64π B．65π C．66π D．128π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】求出△ABC外接圆的半径，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：由于PB=PC，取BC的中点为O'，则PO'⊥BC，‎ 由于平面ABC⊥平面PBC，‎ 即有PO'⊥平面ABC，‎ ‎∵PA=8，BC=4，PB=PC=AB=AC，‎ ‎∴PB=6，PO'=4，‎ ‎△ABC中，AB=AC=6，BC=4，‎ ‎∴sin∠ABC==，‎ ‎∴2r=，‎ 设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，‎ 则（）2+h2=（4﹣h）2+（4﹣）2=R2，‎ 解得R=．‎ 球O的表面积为4πR2=65π，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的性质定理和球的截面的性质的运用，熟记这些定理是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（2016秋•五华区校级月考）已知函数f（x）=ex+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），则实数x的取值范围是　（1，2）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，判断导函数的符号，判断单调性，转化不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：因为函数f（x）=ex+x3，可得f′（x）=ex+3x2＞0，所以函数f（x）为增函数，‎ 所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等价于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，‎ 故答案为：（1，2）．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，不等式的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．点P是圆（x+3）2+（y﹣1）2=2上的动点，点Q（2，2），O为坐标原点，则△OPQ面积的最小值是　2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】求出圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值，即可求出△OPQ面积的最小值．‎ ‎【解答】解：因为圆（x+3）2+（y﹣1）2=2，直线OQ的方程为y=x，‎ 所以圆心（﹣3，1）到直线OQ的距离为，‎ 所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为，‎ 所以△OPQ面积的最小值为．‎ 故答案为2．‎ ‎【点评】本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，，则该数列的前20项和为　1033　．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】求出数列的关系式，利用奇数项与偶数项的和，求解即可．‎ ‎【解答】解：当n为奇数时，，可得an+2=2an，‎ 故奇数项是以a1=1为首项，公比为2的等比数列，‎ 所以前20项中的奇数项和为；‎ 当n为偶数时，，可得，‎ 前20项中的偶数项和为S偶=10，‎ 所以S20=1023+10=1033．‎ 故答案为：1033．‎ ‎【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．抛物线x2=2py（p＞0）上一 点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为　　．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．‎ ‎【解答】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，‎ 解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2016秋•五华区校级月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．‎ ‎（1）证明：△ABC为钝角三角形；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求b的值．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．‎ ‎（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进而可求b的值．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：由正弦定理：，‎ ‎∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，‎ ‎∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．‎ 又∵sin（A+B）=sinC，‎ ‎∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，‎ 所以，所以，‎ 所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形． …（6分）‎ ‎（2）解：因为，‎ ‎∴．‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴bc=24．‎ 又，‎ 所以，‎ ‎∴b=4． …（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017春•北市区校级月考）某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20﹣40岁 大于40岁 合计 ‎（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．‎ 附：．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）根据题意，填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论；‎ ‎（2）按分层抽样方法，购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，利用列举法得出基本事件数，求出对应的概率值．‎ ‎【解答】解：（1）由茎叶图可得：‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20～40岁 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 大于40岁 ‎10‎ ‎12‎ ‎22‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由列联表可得：．‎ 所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． …（6分）‎ ‎（2）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，‎ 所以年龄在20～40岁的抽取了2人，记为a，b，‎ 年龄大于40岁的抽取了3人，记为A，B，C，‎ 从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，‎ 其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，所以概率为． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查了对立性检验与分层抽样方法和列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•五华区校级月考）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中点，E是CD的中点，点F在PB上，．‎ ‎（1）证明：EF∥平面ABC；‎ ‎（2）若∠BAC=60°，求点P到平面BCD的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）法一：过点F作FM∥PA交AB于点M，取AC的中点N，连接MN，EN．证明四边形MFEN为平行四边形，推出EF∥MN，然后证明EF∥平面ABC．‎ 法二：取AD中点G，连接GE，GF，推出GE∥AC，GF∥AB，证明平面GEF∥平面ABC，然后证明EF∥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB．求出．记点P到平面BCD的距离为d，通过VP﹣BCD=VC﹣PBD，转化求解点P到平面BCD的距离即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：法一：如图，过点F作FM∥PA交AB于点M，‎ 取AC的中点N，连接MN，EN．‎ ‎∵点E为CD的中点，∴EN．又PF=3FB，∴MF，∴FMEN，‎ 所以四边形MFEN为平行四边形，‎ ‎∴EF∥MN，∵EF⊄平面ABC，MN⊂平面ABC，‎ ‎∴EF∥平面ABC．…（6分）‎ 法二：如图，取AD中点G，连接GE，GF，则GE∥AC，GF∥AB，‎ 因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，‎ 所以EF∥平面ABC．…（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．‎ 又BC⊥AB，AB∩PA=A，‎ ‎∴BC⊥平面PAB．‎ 又∠BAC=60°，AC=2，∴，‎ ‎∴．‎ 记点P到平面BCD的距离为d，则VP﹣BCD=VC﹣PBD，∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 所以，点P到平面BCD的距离为． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•五华区校级月考）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），圆M：（x﹣2）2+y2=4，圆心M到抛物线准线的距离为3，点P（x0，y0）（x0≥5）是抛物线在第一象限上的点，过点P作圆M的两条切线，分别与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）求△PAB面积的最小值．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题知，即可得到抛物线方程；‎ ‎（2）设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），可得切线与x轴的交点为，‎ 圆心（2，0）到切线的距离为2，得：．‎ 设两条切线的斜率分别为k1，k2，则，‎ ‎∴=‎ ‎．‎ 根据x0≥5可求得△PAB面积的最小值为．‎ ‎【解答】解：（　　）由题知，‎ 所以抛物线方程为：y2=4x． …（4分）‎ ‎（2）设切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），令y=0，解得，‎ 所以切线与x轴的交点为，‎ 圆心（2，0）到切线的距离为，‎ ‎∴，‎ 整理得：．‎ 设两条切线的斜率分别为k1，k2，‎ 则，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎．‎ 记t=x0﹣1∈，推出t（x）在（0，ln2]上单调递增，然后求解即可．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）∵f'（x）=ex﹣x﹣a，∴f'（0）=1﹣a=1，∴a=0，‎ ‎∴f'（x）=ex﹣x，记g（x）=ex﹣x，∴g'（x）=ex﹣1，‎ 当x＜0时，g'（x）＜0，g（x）单减；‎ 当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单增，‎ ‎∴g（x）min=g（0）=1＞0，‎ 故f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增． …（4分）‎ ‎（2）∵f'（x）=ex﹣x﹣a，令g（x）=ex﹣x﹣a，∴g'（x）=ex﹣1，‎ 当x≥0时，g'（x）≥0，∴g（x）在，‎ ‎∴t'（x）=ex﹣1＞0，∴t（x）在（0，ln2]上单调递增，‎ ‎∴t（x）≤t（ln2）=2﹣ln2，∴1＜a≤2﹣ln2．‎ 综上，． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想构造法以及多次导数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的关系，难度大．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．（10分）（2016秋•五华区校级月考）在直角坐标系xOy中，将曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1；以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C1的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点M（1，0），直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，与曲线C2的交点为Q，求△MPQ的面积．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）由题意求出曲线C1的参数方程，从而得到曲线C1的普通方程，由此能求出曲线C1的极坐标方程．‎ ‎（2）设点ρ，Q的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），由直线l的极坐标方程为，它与曲线C1的交点为O，P，分别求出O，P的极坐标，从而求出|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，再由M到直线l的距离为，能求出△MPQ的面积．‎ ‎【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】‎ 解：（1）∵曲线（t为参数）上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C1，‎ ‎∴由题意知，曲线C1的参数方程为（t为参数），‎ ‎∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，‎ ‎∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ． …（4分）‎ ‎（2）设点ρ，Q的极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），‎ 则由，得P的极坐标为P（1，），‎ 由，得Q的极坐标为Q（3，）．‎ ‎∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2，‎ 又M到直线l的距离为，‎ ‎∴△MPQ的面积．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎23．（2016秋•五华区校级月考）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|．‎ ‎（1）求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）设，若对∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），即可求f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）求出g（s）有最小值4﹣a，f（t）有最大值，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=|x+1|﹣2|x﹣1|=‎ ‎∴f（x）的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（，0），B（3，0），C（1，2），‎ ‎∴f（x）的图象与x轴围成的三角形面积S==．…‎ ‎（2）∵∀s∈（0，+∞）恒有g（s）=s+﹣a≥4﹣a，‎ ‎∴当且仅当s=2时，g（s）有最小值4﹣a．‎ 又由（Ⅰ）可知，对∀t∈（0，+∞），f（t）≤f（1）=2．‎ ‎∀s，t∈（0，+∞）恒有g（s）≥f（t）成立，‎ 等价于4﹣a≥2，即a≤2，‎ ‎∴实数a的取值范围是a≤2．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查绝对值不等式，考查三角形面积的计算，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎