江苏省常州市武进区2013届高三上学期期中考试数学理试卷

江苏省常州市武进区2013届高三上学期期中考试数学理试卷

武进区教育学会 2012～2013 学年度第一学期期中 高三理科数学试题 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷 相应的位置上） 1．已知全集 ， ，则 ▲ . 2 ． 已 知 向 量 ， 则 向 量 与 的 夹 角 为 ▲ ． 3．公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 ▲ ． 4．不等式 的解集是 ▲ ． 5．函数 ， 单调增区间是 ▲ ． 6．若实数 满足 ，则 = ▲ ． 7．已知向量 满足 ， .若 与 垂直，则 ▲ ． 8．已知函数 的图象与函数 的图象没有交点，则实数 的取值范围是 ▲ ． 9．等差数列 中，已知 ， ，则 的取值范围是 ▲ ． 10 ． 已 知 A 、 B 、 C 是 直 线 l 上 的 三 点 ， 向 量 满 足 ，则函数 的表达式为 ▲ . 11．已知 ，若实数 满足 则 的最小值为 ▲ . 12．已知函数 若 ，使得 成立，则实 数 的取值范围是 ▲ . { }1,2,3,4,5,6,7U = { }2,4,5A = UC A = (cos35 ,sin35 ), (cos65 ,sin 65 )a b= ° ° = ° °  a b 2 { }na 4 10 16a a = 10a = ( ) 21 2 3 0x x x− − − ≥ xxxy sincos −= (0,2 )x π∈ x 2coslog 2 =+ θx 28 ++− xx ,a b  | | 5,| | 13a b= =  65cos , 65a b< >=  ka b+  3a b−  k = 2 1= 1 xy x − − = 2y kx + k { }na 2 7a ≤ 6 9a ≥ 10a , ,OA OB OC   ( )[ 2 '(1) ] lnOA f x f x OB x OC= + − ⋅   ( )y f x= 3( ) log ( 3)f x x= − ,m n ( ) (3 ) 2,f m f n+ = m n+ 2 , 1,( ) 1, 1, x ax xf x ax x − + ≤=  + > 2 1 2 1 2, ,x x R x x∃ ∈ ≠ 1 2( ) ( )f x f x= a 13．给出以下命题： （1）在△ABC 中， 是 的必要不充分条件； （2）在△ABC 中，若 ，则△ABC 一定为锐角三角形； （3）函数 与函数 是同一个函数； （4）函数 的图象可以由函数 的图象按向量 平移得到. 则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）． 14．数列 满足 ，则 的前 项和为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明 过程或演算步骤） 15．（本题满分 14 分） 设函数 . 图像的一条对称轴是直线 ． （1）求函数 的解析式； （2）若 ，试求 的值. 16．（本题满分 14 分） 如图，点 在 内， ，记 ． （1）试用 表示 的长； （2）求四边形 的面积的最大值，并写出此时 的值． sin sinA B> A B> tan tan tan 0A B C+ + > 1 1y x x= − + − { }sin , 1y x xπ= ∈ (2 1)y f x= − (2 )y f x= (1,0)a = { }na 1 ( 1)n n na a n+ + − = { }na 40 )0π()2sin()( <<−+= ϕϕxxf ( )y f x= 8 π=x ( )f x 3( ) , (0, )2 5f α α π= ∈ 5( )8f πα + P ABC∆ 2 3AB CP BC= = =, , πP B∠ + ∠ = B α∠ = α AP ABCP α α A B C P （第 16 题图） 17．（本题满分 14 分） 已知 ，其中 是自然常数， (1)当 时，求 的单调性和极值； (2)若 恒成立，求 的取值范围. 18．（本题满分 16 分） 各项均为正数的数列 中，前 项和 . (1)求数列 的通项公式； （2）若 恒成立，求 k 的取值范围； (3)对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前 项和 . ( ) ( ]ln , 0,f x ax x x e= − ∈ e .a R∈ 1a = ( )f x ( ) 3f x ≥ a { }na n 21 2 n n aS + =    { }na 1 2 2 3 1 1 1 1 n n ka a a a a a + + + + < *m N∈ { }na 2(2 ,2 )m m mb { }mb m mS 19．（本题满分 16 分）定义在实数集上的函数 满足下列条件：① 是偶函数； ②对任意非负实数 、 ，都有 ；③当 时，恒有 ． （1）求 的值； （2）证明： 在 上是单调增函数； （3）若 ，解关于 的不等式 ． 20．（本题满分 16 分） 设函数 是奇函数，且当 时， 取得极小值 . （1）求函数 的解析式； （2）求使得方程 仅有整数根的所有正实数 的值； （3）设 ，（ ），求 的最大值 ． ( )f x ( )f x x y ( ) 2 ( ) ( )f x y f x f y+ = 0x > 1( ) 2f x > ( )0f ( )f x [ )0 + ∞， ( )3 2f = a ( )2 2 9 8f a a ≤− − 3 2( )f x ax bx cx d= + + + 3 3x = − ( )f x 2 3 9 − ( )f x 1 1( ) 4 03 3f x nx n′− − + + = n ( ) | ( ) (3 1) |g x f x t x= + − [ 1,1]x∈ − ( )g x ( )F t 武进区 2012～2013 学年度第一学期期中调研测试 高三理科数学试题评分标准 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分） 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13．（2）、（3） 14．420 二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分） 15．（本小题满分 14 分） 解：（1）∵ 是函数 的图象的对称轴， ∴ ，∴ ，………………2 分 ∵－ ，∴ ， ………………4 分 故 ………………6 分 （2）因为 ， 所以 ， ………………8 分 故 ＝ ………………11 分 而 ＝ . 所以， . ………………14 分 16．（本题满分 14 分） 解：（1）△ 与△ 中，由余弦定理得， ， ① ………………2 分 { }1,3,6,7 30° 32 { }3 1x x x≥ = −或 ( ,2 )π π 10 19 [ ]4, 1− − [ )11,+∞ ( ) 2ln 13 xf x x= − + 2 3 4+ ( ) ( ),1 2,−∞ +∞ 8 π=x ( )y f x= 1)82sin( ±=+× ϕπ Zkk ∈+=+ ,24 ππϕπ 0<< ϕπ 4 3πϕ −= 3( ) sin(2 ) 4f x x π= − 3( ) , (0, )2 5f α α π= ∈ 3 3sin( )4 5 πα − = 3 4cos( )4 5 πα − = 3 3 3 3 3 3sin sin[( ) ] sin( ) cos cos( ) sin4 4 4 4 4 4 π π π π π πα α α α= − + = − ⋅ + − ⋅ 2 4 3 2( )2 5 5 10 − = 5 5 3( ) sin[2( ) ] sin(2 ) cos28 8 4 2f π π π πα α α α+ = + − = + = 2 22 241 2sin 1 2( )10 25 α− = − = 5 24( )8 25f πα + = ABC APC 2 2 22 3 2 2 3cos AC α= + − × × ，② ………………4 分 由①②得 ， 解得 ； ………………7 分 （2） ………………10 分 由（1）得 ………………12 分 所以当 时， ． ………………14 分 17．（本题满分 14 分） 解：(1) …………………………2 分 ∴当 时， ，此时 为单调递减； 当 时， ，此时 为单调递增. ………………4 分 ∴当 的极小值为 ， 无极大值………………………………6 分 （2）法一：∵ ， ∴ 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，………………8 分 令 ， ， ∴ ………………10 分 令 ，则 ， 当 时， ，此时 为单调递增， 当 时， ，此时 为单调递减， ………………12 分 ∴ ， ∴ . ………………14 分 法二：由条件： 在 上恒成立 令 ， ， ， ………………8 分 时， 恒成立，∴ 在 上递减， ∴ ； ( )2 2 22 2 2cosAC AP AP α= + − × × π − ( )2 4 cos 12cos 9 0 0 AP AP α α α+ + − = ∈ π， ， 3 4cosAP α= − ( ) ( )1 12 3sin 2 sin 0 2 2ABC APCS S S APα α α∆ ∆= − = × × − × × π − ∈ π, ， 4sin cosS α α= ⋅ 2sin2 α= ， ( )0 α ∈ π， 4 α π= max 2S = ( ) ' 1 1ln ( ) 1 xf x x x f x x x −= − = − = 0 1x< < ( )' 0f x < ( )f x 1 x e< < ( )' 0f x > ( )f x ( )f x ( )1 1f = ( )f x ( ) ( ]ln , 0,f x ax x x e= − ∈ ln 3ax x− ≥ ( ]0,x e∈ 3 ln xa x x ≥ + ( ]0,x e∈ 3 ln( ) xg x x x = + ( ]0,x e∈ ' 2 2 2 3 1 ln 2 ln( ) x xg x x x x − += − + = − ' ( ) 0g x = 2 1x e = 2 10 x e < < ( )' 0f x > ( )f x 2 1 x ee < < ( )' 0f x < ( )f x 2 2 2 max 2 1( ) ( ) 3 2g x g e e ee = = − = 2a e≥ ln 3 0ax x− − ≥ ( ]0,x e∈ ( ) ln 3g x ax x= − − ( ]0,x e∈ ' 1 1( ) axg x a x x −= − = 11 a e ≤ ' ( ) 0g x ≤ ( )g x ( ]0,e min( ) ( ) 4g x g e ae= = − 由条件知 ∴ 与 矛盾. ………………10 分 时，令 ，∴ 当 时， ，此时 为单调递增， 当 时， ，此时 为单调递减， ， ∴ ………………12 分 即 . ………………14 分 18．（本题满分 16 分） 解：(1) ， ， 两式相减得 ， ………………2 分 整理得 ， 数列 的各项均为正数， ， 是公差为 的等差数列， ………………4 分 又 得 ， . ………………5 分 （2）由题意得 ， ， ………………8 分 ………………10 分 (3)对任意 ， ，则 ， 4 0ae − ≥ 4a e ≥ 1a e < 12 a e > ' ( ) 0g x = 1x a = 10 x a < < ( )' 0f x < ( )f x 1 x ea < < ( )' 0f x > ( )f x max 1( ) ( ) ln 2g x g aa = = − ln 2 0,a − ≥ 2a e≥ 21 2 n n aS + =    2 -1 -1 1 , 22 n n aS n + ∴ = ≥   2 2 -11 1 , 22 2 n n n a aa n + +   = − ≥       ( )( )-1 -1 2 0n n n na a a a+ − − =  { }na -1 2, 2n na a n∴ − = ≥ { }na∴ 2 2 1 1 1 2 aS + =    1 1a = ∴ 2 1na n= − 1 2 2 3 1 max 1 1 1 n n k a a a a a a +  > + + +    ( )( )1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1n na a n n n n+  = = − − + − +  1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1n na a a a a a n n+       ∴ + + + = − + − + + −      − +        1 1 112 2 1 2n  = − < +  ∴ 1 2k ≥ m N+∈ 22 2 1 2m mn< − < 1 2 11 12 22 2 m mn− −+ < < + 而 ，由题意可知 ， ………………12 分 于是 ， 即 . ………………16 分 19．（本题满分 16 分） 解：（1）解：令 ， 则 ， ， . ………………4 分 （2） 当 时，恒有 ，又 是偶函数， 当 时， ， 又 ， 恒成立. ………………6 分 设 ，则 ， ， ， ………………9 分 在 上是单调增函数. ………………10 分 （3）令 ，则 ，………………12 分 ， 由 在 上是单调增函数， 得 ， ………………14 分 即 ，解得 ， 或 . ………………16 分 20．（本题满分 16 分） 解：（1） 为奇函数， ， ………………2 分 *Nn ∈ 2 1 12 2m m mb − −= − 1 3 2 1 0 1 1 1 2 2 2 2 (2 2 2 )m m m mS b b b − −= + + + = + + + − + + +   ( )2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 12 11 2 1 2 3 3 m m m m m m + + +− − − − ⋅ += − = − − =− − 2 12 3 2 1 3 m m mS + − ⋅ += 0 1x y= =， ( )1 2 (0) (1)f f f= ⋅ ( ) 11 2f > 1(0) 2f∴ =  0x > 1( ) 2f x > ( )f x ∴ 0x < ( ) 1( ) 2f x f x= − > 1(0) 2f = ( ) 0f x > 1 20 x x≤ < 2 1 0x x− > ( )2 1 1 2f x x− > ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 12f x f x f x x f x∴ = − > ∴ ( )f x [ )0 + ∞， 3x y= = ( ) ( )26 2 3 8f f= = ( ) ( ) ( )2 22 9 2 9 6f a a f a a f≤∴ − − = − − ( )f x [ )0 + ∞， 2 2 9 6a a− − ≤ 2 2 2 9 6 2 9 6 a a a a  − − ≥ −  − − ≤ 1 3 3 5 a a a ≤ − ≥  − ≤ ≤ 或 3 1a∴− ≤ ≤ − 3 5a≤ ≤ ( )f x 0b d∴ = = 又由 及 ，得 ， ； ………………4 分 当 时， ，当 时 ， 在 时取得极小值， 为所求 ………………5 分 （2）方程 化简得： ， 因为方程仅有整数解，故 为整数， 又由 及 知， . ………………7 分 又 ，故 为 16 的正约数， ………………9 分 所以 ，进而得到 . ………………10 分 （3）因为 是偶函数，所以只要求出 在 上的最大值即 可.记 ， ， （1） 时， ， 在 上单调增且 . ∴ ，故 ； ………………12 分 （2） 时，由 得， 和 ， ①当 即 时， 在[0，1]上单调减， ∴ ，故 ， ； ………………14 分 ②当 即 时， 在 单调减， 单调增， （Ⅰ）当 ，即 时， ，∴ ， （Ⅱ）当 ，即 时， ，∴ ， 3( ) 03f ′ − = 3 2 3( )3 9f − = − 1, 1a c= − = 3( )f x x x∴ = − + 3 3x < − ( ) 0f x′ < 3 3 3 3x− < < ( ) 0f x′ > ( )f x∴ 3 3x = − 3( )f x x x∴ = − + 1 1( ) 4 03 3f x nx n′− − + + = 2 4 0x nx n− + = n 2 ( 4)x n x= − 0n > 4 0x − > 2 16( 4) 84 ( 4) xn xx x = = − + +− − 4x − 4 1,2,4,8,16x − = 16,18,25n = 3( ) | 3 |, [ 1,1]g x x tx x= − ∈ − ( )g x [0,1] 3( ) 3h x x tx= −  2 2( ) 3 3 3( )h x x t x t′ = − = − 0t ≤ ( ) 0h x′ ≥ ( )h x [0,1] ( ) (0) 0h x h≥ = ( ) ( )g x h x= ( ) (1) 1 3F t h t= = − 0t > ( ) 0h x′ = ,x t= x t= − 1t ≥ 1t ≥ ( )h x ( ) (0) 0h x h≤ = ( ) ( )g x h x= − ( ) (1) 3 1F t h t= − = − 1t < 0 1t< < ( )h x (0, )t ( ,1)t 1 2t t< ≤ 1 14 t≤ < | ( ) | | (1) |h t h> ( ) ( ) 2F t h t t t= − = 2 1t < 10 4t< < (1) 2h t t> ( ) (1) 1 3F t h t= = − 综上可知， . ………………16 分 11 3 , 4 1( ) 2 , 14 3 1, 1 t t F t t t t t t  − < = ≤ <  − ≥ 