【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)1【附详细答案和解析_可编辑】

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【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)1【附详细答案和解析_可编辑】

‎【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷(理科)1【附详细答案和解析_可编辑】‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 4 小题 ,每题 5 分 ,共计20分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知p:x‎‎3‎x; ②“‎|a|=1‎”是“a=1‎”的必要不充分条件; ③若命题p∨q是真命题,则‎¬p是真命题; ④函数y=2cos(2x+π‎3‎)+1‎的一个对称中心是‎(‎7π‎12‎,1)‎. ‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 ‎ 二、 填空题 (本题共计 14 小题 ,每题 4 分 ,共计56分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎5. 若关于x的不等式‎|x+1|<6-|x-m|‎的解集为‎⌀‎,则实数m的取值范围是________. ‎ ‎ ‎ ‎6. 设实数x>0‎,若x+i‎2‎是纯虚数(其中i为虚数单位),则x=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎7. 两条直线‎3x-4y-1=0‎与‎6x-8y+3=0‎间的距离是________. ‎ ‎ ‎ ‎8. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则xy‎=‎        . ‎ ‎ ‎ ‎9. 函数f(x)=‎log‎3‎x‎1‎‎2‎‎1‎,则f‎-1‎‎(0)=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎10. 如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且‎∠DAB=‎‎60‎‎∘‎,边长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面AC所成的角为θ,则θ=‎________. e ‎ ‎ ‎ ‎11. 若cos2α=2cos(α+π‎4‎)‎,α∈(0, π)‎,则sin2α=‎________,tanα=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎12. 在‎(x-‎‎2‎‎3‎x‎)‎‎6‎的二项展开式中,含x‎2‎项的系数等于________. ‎ ‎ ‎ ‎13. ‎△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,‎且满足‎(b+c)(b-c)=a(b-a)‎,则内角C等于________. ‎ ‎ ‎ ‎14. 设函数f(x)=‎‎3-2xx+1‎,g(x)=xex,若对任意x‎1‎‎∈(-∞,-1)‎,x‎2‎‎∈(-∞,0)‎,不等式m‎2‎f(x‎1‎)≤2eg(x‎2‎)‎恒成立,则实数m的取值范围是________. ‎ ‎ ‎ ‎15. 无穷数列‎{an}‎由k个不同的数组成,Sn为‎{an}‎的前n项和.若对任意n∈‎N‎*‎,Sn‎∈{2, 3}‎,则k的最大值为________. ‎ ‎ ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎16. 如图所示,在同一个平面内,向量OA‎→‎,OB‎→‎,OC‎→‎的模分别为‎1,1,‎‎2‎,OA‎→‎与OC‎→‎的夹角为α,且tanα=7,‎OB‎→‎与OC‎→‎的夹角为‎45‎‎∘‎.若OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎m,n∈R,则m+n=‎________. ‎ ‎ ‎ ‎17. 在‎△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a‎2cosA‎=b‎3cosB=‎c‎6cosC,则cosAcosBcosC=________‎. ‎ ‎ ‎ ‎18. 已知a‎→‎‎,‎b‎→‎是两个相互垂直的单位向量,‎|c‎→‎|=13‎,c‎→‎‎⋅a‎→‎=3,c‎→‎⋅b‎→‎=4‎,则对于任意t‎1‎、t‎2‎‎∈R,当‎|c‎→‎-t‎1‎a‎→‎-t‎2‎b‎→‎|‎取最小值时,函数f(x)=t‎1‎sinx+t‎2‎cosx(0≤x≤π‎2‎)‎的值域是________. ‎ ‎ 三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 14 分 ,共计70分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎19. 如图,在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AB=2‎,AD=1‎,A‎1‎A=1‎. ‎ ‎(1)求异面直线BC‎1‎与CD‎1‎所成的角;‎ ‎ ‎ ‎(2)求三棱锥B-D‎1‎AC的体积. ‎ ‎ ‎ ‎20. 有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河,收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是,菜地分别为两个区域S‎1‎和S‎2‎,其中S‎1‎中的蔬菜运到河边较近,S‎2‎中的蔬菜运到F点较近,而菜地内S‎1‎和S‎2‎的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点O为EF的中点,点F的坐标为‎(1, 0)‎,如图 ‎ ‎(1)‎求菜地内的分界线C的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎菜农从蔬菜运量估计出S‎1‎面积是S‎2‎面积的两倍,由此得到S‎1‎面积的经验值为‎8‎‎3‎.设M是C上纵坐标为‎1‎的点,请计算以EH为一边,另一边过点M的矩形的面积,及五边形EOMGH的面积,并判断哪一个更接近于S‎1‎面积的“经验值”.‎ ‎ ‎ ‎21. 已知双曲线C以F‎1‎‎(-2, 0)‎,F‎2‎‎(2, 0)‎为焦点,且过点P(7, 12)‎. ‎ ‎(1)‎求双曲线C与其渐近线的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若斜率为‎1‎的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎(O为坐标原点),求直线l的方程.‎ ‎ ‎ ‎22. 已知a∈R,函数f(x)=log‎2‎(‎1‎x+a)‎. ‎ ‎(1)‎当a=5‎时,解不等式f(x)>0‎;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎若关于x的方程f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎的解集中恰好有一个元素,求a的取值范围;‎ ‎ ‎ ‎(3)‎设a>0‎,若对任意t∈[‎1‎‎2‎, 1]‎,函数f(x)‎在区间‎[t, t+1]‎上的最大值与最小值的差不超过‎1‎,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎23. 设对于任意实数x、y,函数f(x)‎、g(x)‎满足f(x+1)=‎1‎‎3‎f(x)‎,且f(0)=3‎,g(x+y)=g(x)+2y,g(5)=13‎,n∈‎N‎*‎. ‎(I)‎求数列‎{f(n)}‎、‎{g(n)}‎的通项公式; ‎(II)‎设cn‎=g[n‎2‎f(n)]‎,求数列‎{cn}‎的前n项和Sn; ‎(III)‎已知limn‎→‎‎​‎‎ ‎∞‎‎2n+3‎‎3‎n-1‎‎=0‎,设F(n)=Sn-3n,是否存在整数m和M,使得对任意正整数n不等式m‎‎3‎x,正确; ②‎|a|=1‎,则a=±1‎;a=1‎,则‎|a|=1‎,故“‎|a|=1‎”是“a=1‎”的必要不充分条件,正确; ③p∨q为真命题,则p真q假或p假q真,若p真q假,则‎¬p为假命题,错误; ④‎2x+π‎3‎=π‎2‎+kπ,即x=π‎12‎+‎kπ‎2‎,当k=1‎时,x=‎‎7π‎12‎, 故函数y=2cos(2x+π‎3‎)+1‎的一个对称中心是‎(‎7π‎12‎,1)‎,正确. 故正确的有‎3‎个. 故选C.‎ 二、 填空题 (本题共计 14 小题 ,每题 4 分 ,共计56分 ) ‎ ‎5.【答案】‎ ‎(-∞, -7]∪[5, +∞)‎ ‎【解答】‎ 解:由于关于x的不等式‎|x+1|+|x-m|<6‎的解集为‎⌀‎, 而‎|x+1|+|x-m|‎表示数轴上的x对应点到‎-1‎、m对应点的距离之和,它的最小值为‎|m+1|‎, 故有‎|m+1|≥6‎,∴ m+1≥6‎,或bm+1≤-6‎,求得m≤-7‎,或m≥5‎, 故答案为:‎(-∞, -7]∪[5, +∞)‎.‎ ‎6.【答案】‎ ‎1‎ ‎【解答】‎ 解:∵ ‎(x+i‎)‎‎2‎=x‎2‎-1+2xi是纯虚数, ∴ x‎2‎‎-1=0,‎‎2x≠0,‎解得x=±1‎. 又x>0‎,∴ x=1‎. 故答案为:‎1‎.‎ ‎7.【答案】‎ ‎1‎‎2‎ ‎【解答】‎ 解:两条直线‎3x-4y-1=0‎与‎6x-8y+3=0‎间的距离是:‎|‎3‎‎2‎+1|‎‎3‎‎2‎‎+(-4‎‎)‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎. 故答案为:‎1‎‎2‎.‎ ‎8.【答案】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎2‎‎9‎ ‎【解答】‎ 解:因为乙的中位数为‎21+23‎‎2‎‎=22‎, 所以x=2‎. 又因为他们的平均数相同, 即‎18+22+29‎‎3‎‎=‎‎21+23+29+10+y‎4‎, 所以 y=9‎, 故xy‎=‎‎2‎‎9‎. 故答案为:‎2‎‎9‎.‎ ‎9.【答案】‎ ‎9‎ ‎【解答】‎ 解:f(x)=log‎3‎x‎1‎‎2‎‎1‎=log‎3‎x-2‎, 由log‎3‎x-2=0‎,解得x=9‎. 则f‎-1‎‎(0)=9‎. 故答案为:‎9‎.‎ ‎10.【答案】‎ ‎45‎‎∘‎ ‎【解答】‎ 解:如图,取AD的中点G,连结PG、BG、BD, ∵ ‎△PAD 是等边三角形, PG⊥AD. ∵ 平面PAD⊥‎平面ABCD, 平面PAD∩‎平面ABCD=AD,PG⊂‎ 平面PAD, ∴ PG⊥‎平面ABCD, ∴ ‎∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ. 在‎△PBG中,PG⊥BG,BG=PG, ∴ ‎∠PBG=‎‎45‎‎∘‎,即θ=‎‎45‎‎∘‎, 故答案为:‎45‎‎∘‎. ‎ ‎11.【答案】‎ ‎1‎‎,‎‎1‎ ‎【解答】‎ 解:若cos2α=2cos(α+π‎4‎)‎, 则cos‎2‎α-sin‎2‎α=2(cosαcosπ‎4‎-sinαsinπ‎4‎)‎, ∴ ‎(cosα+sinα)(cosα-sinα)=2(‎2‎‎2‎cosα-‎2‎‎2‎sinα)‎, 当sinα=cosα时,α=‎π‎4‎,sinα+cosα=‎‎2‎; 当sinα≠cosα时,sinα+cosα=‎‎2‎; 对sinα+cosα=‎‎2‎两边平方, 得sin‎2‎α+cos‎2‎α+2sinαcosα=2‎, 化简得‎2sinαcosα=1‎, 即sin2α=1‎; 由‎2sinαcosα=1‎, 得‎2sinαcosαsin‎2‎α‎+cos‎2‎α‎=1‎, 即‎2tanαtan‎2‎α+1‎‎=1‎, 整理得tan‎2‎α-2tanα+1=0‎, 解得tanα=1.‎ 故答案为:‎1;1‎. ‎ ‎12.【答案】‎ ‎-160‎ ‎【解答】‎ 解:二项式‎(x-‎‎2‎‎3‎x‎)‎‎6‎展开式的通项公式为Tr+1‎‎=(-2‎)‎rC‎6‎r⋅‎x‎6-‎‎4r‎3‎, 令‎6-‎4r‎3‎=2‎,解得r=3‎, 故‎(x-‎‎2‎‎3‎x‎)‎‎6‎的二项展开式中,含x‎2‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 项的系数等于‎-8×20=-160‎. 故答案为:‎-160‎.‎ ‎13.【答案】‎ π‎3‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 根据题意得b‎2‎‎-c‎2‎=ab-‎a‎2‎, 即b‎2‎‎+a‎2‎-c‎2‎=ab. ∵ cosC=‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab, ∴ cosC=ab‎2ab=‎‎1‎‎2‎, ∴ C=‎π‎3‎. 故答案为:π‎3‎. ‎ ‎14.【答案】‎ ‎(-∞,-1]∪[1,+∞)‎ ‎【解答】‎ 解:f(x)=‎-2(x+1)+5‎x+1‎=-2+‎‎5‎x+1‎,‎ 当x∈(-∞,-1)‎时,有f(x)<-2‎.‎ 因为g(x)=xex,所以g‎'‎‎(x)=ex+xex=(1+x)‎ex.‎ 分析可知g(x)‎在‎(-∞,-1)‎上单调递减,在‎(-1,0)‎上单调递增,‎ 又g(-1)=-‎‎1‎e,‎ 所以当x∈(-∞,0)‎时,g(x)∈[-‎1‎e,0)‎.‎ 因为对任意x‎1‎‎∈(-∞,-1)‎,x‎2‎‎∈(-∞,0)‎, 不等式m‎2‎f(x‎1‎)≤2eg(x‎2‎)‎恒成立,‎ 所以‎-2m‎2‎≤2e×(-‎1‎e)‎,‎ 整理得m‎2‎‎-1≥0‎,解得m≥1‎或m≤-1‎.‎ 故答案为:‎(-∞,-1]∪[1,+∞)‎.‎ ‎15.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 解:依题意得,a‎1‎‎=S‎1‎∈{2,3}‎,Sn‎∈{2,3}‎且Sn+1‎‎∈{2,3}‎, 因此an+1‎‎=Sn+1‎-Sn∈{-1,0,1}(n∈N‎*‎)‎, 即数列‎{an}‎从第‎2‎项起的不同取值不超过‎3‎个, 进而可知数列‎{an}‎中的项的所有不同取值的个数k≤4‎, 且事实上,取数列‎{an}‎为‎2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯‎, 此时相应的k=4‎,Sn‎∈{2,3}‎. 因此k的最大值是‎4‎. 故答案为:‎4‎. ‎ ‎16.【答案】‎ ‎3‎ ‎【解答】‎ 解法一:由题意 OC‎→‎‎⋅OA‎→‎=mOA‎→‎⋅OA‎→‎+nOB‎→‎⋅‎OA‎→‎OC‎→‎‎⋅OB‎→‎=mOA‎→‎⋅OB‎→‎+nOB‎→‎⋅‎OB‎→‎‎(*) ‎而由tanα=7‎,得sinα=‎7‎‎5‎‎2‎,cosα=‎‎1‎‎5‎‎2‎, OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=1×1×cosα+‎π‎4‎=cosα⋅π‎4‎⋅cosπ‎4‎-sinα⋅sinπ‎4‎=-‎‎3‎‎5‎. 将‎(*)‎式化简为‎1‎‎5‎‎=m-‎3‎‎5‎n①‎‎1=-‎3‎‎5‎m+n②‎ 式①加式②,得m+n=3‎.故填‎3.‎ 解法二(坐标法):如图所示,以OA所在的直线为x轴,过O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系,由题意结合解法一可得A‎1,0‎,C‎1‎‎5‎‎,‎‎7‎‎5‎,B‎-‎3‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎,由OC‎→‎‎=mOA‎→‎+nOB‎→‎,得‎1‎‎5‎‎,‎‎7‎‎5‎‎=m‎1,0‎+n‎-‎3‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎, 即‎1‎‎5‎‎=m-‎3‎‎5‎n‎7‎‎5‎‎=‎4‎‎5‎n,解得m=‎‎5‎‎4‎n=‎‎7‎‎4‎, 故m+n=3‎.故填‎3.‎ 解法三(解三角形):由tanα=7‎,可得sinα=‎‎7‎‎2‎‎10‎,cosα=‎‎2‎‎10‎, 如图所示,根据向量的分解,易得 ncos‎45‎‎∘‎+mcosα=‎‎2‎nsin‎45‎‎∘‎-msinα=0‎,即‎2‎‎2‎n+‎2‎‎10‎m=‎‎2‎‎2‎‎2‎n-‎7‎‎2‎‎10‎m=0‎,即‎5n+m=10‎‎5n-7m=0‎, 解得m=‎5‎‎4‎,n=‎‎7‎‎4‎,所以m+n=3‎. ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎17.【答案】‎ ‎1‎‎10‎ ‎【解答】‎ 解:由正弦定理得a=2rsinA,b=2rsinB,c=2rsinC, ‎ 代入得tanA‎2‎‎=tanB‎3‎=‎tanC‎6‎,‎ tanB=‎3‎‎2‎tanA‎,tanC=3tanA,①‎ tan(A+B)=tanA+tanB‎1-tanAtanB=tan(π-C)=-tanC‎.②‎ 由①②可知tanA=‎‎11‎‎3‎,tanB=‎‎11‎‎2‎,tanC=‎‎11‎,③‎ 又∵ sinA‎2‎+cosA‎2‎=1‎,sinB‎2‎+cosB‎2‎=1‎,sinC‎2‎+cosC‎2‎=1‎,④‎ 可由③④得cosA=‎‎3‎‎5‎‎10‎,cosB=‎‎2‎‎15‎‎15‎,cosC=‎‎3‎‎6‎,‎ ‎∴ cosAcosBcosC=‎3‎‎5‎‎10‎×‎2‎‎15‎‎15‎×‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎10‎.‎ 故答案为:‎1‎‎10‎.‎ ‎18.【答案】‎ ‎[3, 5]‎ ‎【解答】‎ 解:‎|c‎→‎-t‎1‎a‎→‎-t‎2‎b‎→‎‎|‎‎2‎=c‎→‎‎2‎+(t‎1‎a‎→‎‎)‎‎2‎+(t‎2‎b‎→‎‎)‎‎2‎-2c‎→‎⋅a‎→‎t‎1‎-2c‎→‎⋅b‎→‎t‎2‎+2t‎1‎t‎2‎a‎→‎⋅‎b‎→‎ ∵ a‎→‎‎,‎b‎→‎是两个相互垂直的单位向量,‎|c‎→‎|=13‎,c‎→‎‎⋅a‎→‎=3,c‎→‎⋅b‎→‎=4‎, ∴ ‎|c‎→‎-t‎1‎a‎→‎-t‎2‎b‎→‎‎|‎‎2‎=169+t‎1‎‎2‎+t‎2‎‎2‎-6t‎1‎-8t‎2‎=(t‎1‎-3‎)‎‎2‎+(t‎2‎-4‎)‎‎2‎+144‎ 由此可得,当且仅当t‎1‎‎=3‎,t‎2‎‎=4‎时,‎|c‎→‎-t‎1‎a‎→‎-‎t‎2‎b‎→‎‎|‎‎2‎最小值为‎144‎ ∴ f(x)=3sinx+4cosx(0≤x≤π‎2‎)‎ ∴ f(x)=5sin(x+α)‎,其中cosα=‎‎3‎‎5‎,sinα=‎‎4‎‎5‎ ∵ ‎0≤x≤‎π‎2‎,∴ ‎3≤5sin(x+α)≤5‎, ∴ 函数的值域是‎[3, 5]‎ 故答案为:‎‎[3, 5]‎ 三、 解答题 (本题共计 5 小题 ,每题 14 分 ,共计70分 ) ‎ ‎19.【答案】‎ ‎∵ 在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AD‎1‎ // BC‎1‎, ∴ ‎∠AD‎1‎C是异面直线BC‎1‎与CD‎1‎所成的角或其补角. ∵ AB=2‎,AD=1‎,A‎1‎A=1‎. ∴ 在等腰‎△ACD‎1‎中,AC=‎5‎,CD‎1‎=‎5‎,AD‎1‎=‎‎2‎ ∴ cos∠CD‎1‎A=AD‎1‎‎2‎+CD‎1‎‎2‎-AC‎2‎‎2AD‎1‎*CD‎1‎=‎2+5-5‎‎2×‎2‎×‎‎5‎=‎‎10‎‎10‎, ∴ 异面直线BC‎1‎与CD‎1‎所成的角arccos‎10‎‎10‎.‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 VB-D‎1‎AC‎=VD‎1‎‎-ABC ‎‎=‎1‎‎3‎×S‎△ABC×DD‎1‎ =‎1‎‎3‎×(‎1‎‎2‎×1×2)×1=‎‎1‎‎3‎‎. ‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,AD‎1‎ // BC‎1‎, ∴ ‎∠AD‎1‎C是异面直线BC‎1‎与CD‎1‎所成的角或其补角. ∵ AB=2‎,AD=1‎,A‎1‎A=1‎. ∴ 在等腰‎△ACD‎1‎中,AC=‎5‎,CD‎1‎=‎5‎,AD‎1‎=‎‎2‎ ∴ cos∠CD‎1‎A=AD‎1‎‎2‎+CD‎1‎‎2‎-AC‎2‎‎2AD‎1‎*CD‎1‎=‎2+5-5‎‎2×‎2‎×‎‎5‎=‎‎10‎‎10‎, ∴ 异面直线BC‎1‎与CD‎1‎所成的角arccos‎10‎‎10‎.‎ VB-D‎1‎AC‎=VD‎1‎‎-ABC ‎‎=‎1‎‎3‎×S‎△ABC×DD‎1‎ =‎1‎‎3‎×(‎1‎‎2‎×1×2)×1=‎‎1‎‎3‎‎. ‎ ‎20.【答案】‎ 解:‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎, 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎, 整理得:y‎2‎‎=4x,‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图,过M作MD⊥x轴, 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点, 设M(x‎0‎, 1)‎,则y‎0‎‎=1‎, ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎, ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎,则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎, 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎, 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎, S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎,S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎, ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎设分界线上任意一点为‎(x, y)‎, 由题意得‎|x+1|=‎‎(x-1‎)‎‎2‎+‎y‎2‎, 整理得:y‎2‎‎=4x,‎(0≤x≤1)‎.‎ ‎(2)‎如图,过M作MD⊥x轴, 因为M是C上纵坐标为‎1‎的点, 设M(x‎0‎, y‎0‎)‎,则y‎0‎‎=1‎, ∴ x‎0‎‎=y‎0‎‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎, ∴ 设所表述的矩形面积为S‎3‎,则S‎3‎‎=2×(‎1‎‎4‎+1)=2×‎5‎‎4‎=‎‎5‎‎2‎, 设五边形EMOGH的面积为S‎4‎, 则S‎4‎‎=S‎3‎-S‎△OMP+S‎△MGN=‎5‎‎2‎-‎1‎‎2‎×‎1‎‎4‎×1+‎1‎‎2‎×‎3‎‎4‎×1=‎‎11‎‎4‎, S‎1‎‎-S‎3‎=‎8‎‎3‎-‎5‎‎2‎=‎‎1‎‎6‎,S‎4‎‎-S‎1‎=‎11‎‎4‎-‎8‎‎3‎=‎1‎‎12‎<‎‎1‎‎6‎, ∴ 五边形EMOGH的面积更接近S‎1‎的面积.‎ ‎21.【答案】‎ 解:‎(1)‎设双曲线C的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎,半焦距为c, 则c=2‎, ‎2a=||PF‎1‎|-|PF‎2‎|| =|‎9‎‎2‎‎+‎‎12‎‎2‎-‎5‎‎2‎‎+‎‎12‎‎2‎|=2‎,a=1‎, 所以b‎2‎‎=c‎2‎-a‎2‎=3‎, 故双曲线C的方程为x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎.   ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 双曲线C的渐近线方程为y=±‎3‎x.  ‎ ‎(2)‎设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎, 可得‎2x‎2‎-2tx-t‎2‎-3=0(*)‎  Δ=4t‎2‎+8(t‎2‎+3)=12t‎2‎+24>0‎, 若设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎, 则x‎1‎,x‎2‎是方程‎(*)‎的两个根, 所以x‎1‎‎+x‎2‎=t,x‎1‎x‎2‎=-‎t‎2‎‎+3‎‎2‎, 又由OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,可知x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎, 即x‎1‎x‎2‎‎+(x‎1‎+t)(x‎2‎+t)=0‎, 可得‎2x‎1‎x‎2‎+t(x‎1‎+x‎2‎)+t‎2‎=0‎, 故‎-(t‎2‎+3)+t‎2‎+t‎2‎=0‎,解得t=±‎‎3‎, 所以直线l方程为y=x±‎‎3‎.      ‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎设双曲线C的方程为x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎,半焦距为c, 则c=2‎, ‎2a=||PF‎1‎|-|PF‎2‎|| =|‎9‎‎2‎‎+‎‎12‎‎2‎-‎5‎‎2‎‎+‎‎12‎‎2‎|=2‎,a=1‎, 所以b‎2‎‎=c‎2‎-a‎2‎=3‎, 故双曲线C的方程为x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎.   双曲线C的渐近线方程为y=±‎3‎x.  ‎ ‎(2)‎设直线l的方程为y=x+t,将其代入方程x‎2‎‎-y‎2‎‎3‎=1‎, 可得‎2x‎2‎-2tx-t‎2‎-3=0(*)‎  Δ=4t‎2‎+8(t‎2‎+3)=12t‎2‎+24>0‎, 若设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎, 则x‎1‎,x‎2‎是方程‎(*)‎的两个根, 所以x‎1‎‎+x‎2‎=t,x‎1‎x‎2‎=-‎t‎2‎‎+3‎‎2‎, 又由OA‎→‎‎⊥‎OB‎→‎,可知x‎1‎x‎2‎‎+y‎1‎y‎2‎=0‎, 即x‎1‎x‎2‎‎+(x‎1‎+t)(x‎2‎+t)=0‎, 可得‎2x‎1‎x‎2‎+t(x‎1‎+x‎2‎)+t‎2‎=0‎, 故‎-(t‎2‎+3)+t‎2‎+t‎2‎=0‎,解得t=±‎‎3‎, 所以直线l方程为y=x±‎‎3‎.      ‎ ‎22.【答案】‎ 解:‎(1)‎当a=5‎时,f(x)=log‎2‎(‎1‎x+5)‎, 由f(x)>0‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎, 即‎1‎x‎+5>1‎,则‎1‎x‎>-4‎,则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎, 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎, 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎.‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎, 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎. 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎, 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎,① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎, 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎,② 当a=4‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a=3‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a≠4‎且a≠3‎时,方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎, 若x=-1‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=a-1>0‎,即a>1‎, 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎,即a>2‎, 则要使方程①有且仅有一个解,则‎10‎得log‎2‎‎(‎1‎x+5)>0‎, 即‎1‎x‎+5>1‎,则‎1‎x‎>-4‎,则‎1‎x‎+4=‎4x+1‎x>0‎, 则x>0‎或x<-‎‎1‎‎4‎, 即不等式的解集为‎{x|x>0或x<-‎1‎‎4‎}‎.‎ ‎(2)‎由f(x)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎, 得log‎2‎‎(‎1‎x+a)-log‎2‎[(a-4)x+2a-5]=0‎. 即log‎2‎‎(‎1‎x+a)=log‎2‎[(a-4)x+2a-5]‎, 即‎1‎x‎+a=(a-4)x+2a-5>0‎,① 则‎(a-4)x‎2‎+(a-5)x-1=0‎, 即‎(x+1)[(a-4)x-1]=0‎,② 当a=4‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a=3‎时,方程②的解为x=-1‎,代入①,成立, 当a≠4‎且a≠3‎时,方程②的解为x=-1‎或x=‎‎1‎a-4‎, 若x=-1‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=a-1>0‎,即a>1‎, 若x=‎‎1‎a-4‎是方程①的解,则‎1‎x‎+a=2a-4>0‎,即a>2‎, 则要使方程①有且仅有一个解,则‎10‎ ∴ F(n)‎为增函数,故F(n‎)‎min=F(1)=1‎. ∵ limn→∞‎‎2n+3‎‎3‎n-1‎‎=0‎,∴ limn→∞‎F(n)=‎‎9‎‎4‎,又‎2n+3‎‎4‎‎⋅(‎1‎‎3‎‎)‎n-1‎>0‎,F(n)<‎‎9‎‎4‎. ∴ ‎1≤F(n)<‎‎9‎‎4‎. 因此,当m<1‎,且M≥‎‎9‎‎4‎时  m0‎ ∴ F(n)‎为增函数,故F(n‎)‎min=F(1)=1‎. ∵ limn→∞‎‎2n+3‎‎3‎n-1‎‎=0‎,∴ limn→∞‎F(n)=‎‎9‎‎4‎,又‎2n+3‎‎4‎‎⋅(‎1‎‎3‎‎)‎n-1‎>0‎,F(n)<‎‎9‎‎4‎. ∴ ‎1≤F(n)<‎‎9‎‎4‎. 因此,当m<1‎,且M≥‎‎9‎‎4‎时  m
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