2020高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题强化训练 新人教A版选修2-1

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2020高中数学 第三章 空间向量与立体几何专题强化训练 新人教A版选修2-1

第三章 空间向量与立体几何 专题强化训练(三)‎ ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.如图38,在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边上的中点,则下列各式中成立的是(  )‎ 图38‎ A.+++=0‎ B.+++=0‎ C.+++=0‎ D.-++=0‎ B [+=+=,+=,易证四边形EFGH为平行四边形,故+=0,故选B.]‎ ‎2.已知a=(1,2,3),b=(2,1,2),c=(1,1,2),且向量p∥c,则当(p-a)·(p-b)取得最小值时,向量p的坐标为(  )‎ A.   B. C. D. C [设p=λc,则p-a=λc-a=(λ-1,λ-2,2λ-3),p-b=λc-b=(λ-2,λ-1,2λ-2),所以(p-a)·(p-b)=2(3λ2-8λ+5)=2,所以当λ=时,(p-a)·(p-b)取得最小值,此时p=λc=,故选C.]‎ ‎3.已知平面α,β是两个不重合的平面,其法向量分别为n1,n2,给出下列结论:‎ 7‎ ‎①若n1∥n2,则α∥β;‎ ‎②若n1∥n2,则α⊥β;‎ ‎③若n1·n2=0,则α⊥β;‎ ‎④若n1·n2=0,则α∥β.‎ 其中正确的是(  )‎ A.①③ B.①④‎ C.②③ D.②④‎ A [由平面的法向量的定义知,①③正确.]‎ ‎4.已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为(  )‎ A.   B. C.   D. B [y轴的一个方向向量s=(0,1,0),cos〈n,s〉==-,即y轴与平面α所成角的正弦值是,故其所成的角的大小是.]‎ ‎5.如图39,已知E是正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱BC的中点,设α为二面角D1AED的平面角,则cos α=(  ) ‎ ‎【导学号:46342186】‎ 图39‎ A.  B.   C.   D. A [以A为坐标原点,,,的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),令正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为2,则A(0,0,0),E(2,1,0),D1(0,2,2),A1(0,0,2),所以=(2,1,0),=(0,2,2),设平面AED1的法向量为m=(x,y,z),则由,得,令x=1,则y=-2,z=2,故m=(1,-2,2).又=(0,0,2)为平面AED的一个法向量,α为二面角D1AED 7‎ 的平面角,所以cos α==,故选A.]‎ 二、填空题 ‎6.已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y=________.‎ ‎1或-3 [由a=(2,4,x)且|a|=6,得6=,x=±4,由a⊥b,得4+4y+2x=0,得或,则x+y=1或-3.]‎ ‎7.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,),则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________.‎  [设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),=(1,3, ),所以cos〈n,〉==,因为〈n,〉∈[0,π],所以sin〈n,〉==.]‎ ‎8.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为________. ‎ ‎【导学号:46342187】‎  [设H(x,y,z),则=(x,y,z),=(x,y-1,z-1),=(-1,1,0).因为BH⊥OA,所以·=0,即-x+y-1=0 ①,又点H在直线OA上,所以=λ,即 ②,联立①②解得 所以点H的坐标为.]‎ 三、解答题 ‎9.如图310,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,E是棱DD1的中点.在棱C1D1上是否存在一点F,使B‎1F∥平面A1BE?证明你的结论.‎ 图310‎ ‎[解] 在棱C1D1上存在点F,当F为C1D1的中点时,B‎1F∥平面A1BE.证明如下:‎ 7‎ 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设正方体的棱长为2,则B(2,0,0),E(0,2,1),A1(0,0,2),B1(2,0,2),∴=(-2,2,1),=(-2,0,2).‎ 设平面A1BE的法向量为m=(x,y,z),‎ 则m·=-2x+2y+z=0,且m·=-2x+2z=0,取x=1,则z=1,y=,‎ ‎∴m=是平面A1BE的一个法向量.‎ 假设在棱C1D1上存在一点F,使B‎1F∥平面A1BE,‎ 设F(x0,2,2)(0≤x0≤2),则=(x0-2,2,0),‎ 则m·=x0-2+×2+1×0=0,解得x0=1,‎ ‎∴当F为C1D1的中点时,B‎1F∥平面A1BE.‎ ‎10.如图311,正三棱柱ABCA1B‎1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.‎ 图311‎ ‎(1)求证:AB1⊥平面A1BD;‎ ‎(2)求二面角AA1DB的余弦值的大小. ‎ ‎【导学号:46342188】‎ ‎[解] (1)取BC的中点O,连接AO.‎ ‎∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC.‎ ‎∵在正三棱柱ABCA1B‎1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,‎ ‎∴AO⊥平面BCC1B1.‎ 取B‎1C1的中点O1,以O为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z 7‎ 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).‎ ‎∴=(1,2,-),=(-2,1,0),=(-1,2,).‎ ‎∵·=-2+2+0=0,·=-1+4-3=0,‎ ‎∴⊥,⊥,∴AB1⊥平面A1BD.‎ ‎(2)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z),‎ ‎∵=(-1,1,-),=(0,2,0),‎ ‎∴,即,‎ 令z=1,得n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.‎ 由(1)知AB1⊥平面A1BD,∴为平面A1BD的一个法向量.‎ cos〈n,〉===-,‎ ‎∴二面角AA1DB的余弦值为.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.在空间四边形ABCD中,若向量=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为(  )‎ A.(2,3,3)     B.(-2,-3,-3)‎ C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1)‎ B [取AC中点M,连接ME,MF(图略),则==,==, 所以=-=(-2,-3,-3),故选B.]‎ ‎2.如图312,正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是(  )‎ 7‎ 图312‎ A.30°    B.45°‎ C.60° D.75°‎ A [如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(‎2a,0,0),=,=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos〈,n〉===,所以〈,n〉=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.]‎ ‎3.已知向量e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=________. ‎ ‎【导学号:46342189】‎ ‎1 [因为a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,则11e1+5e2+λe3=(‎2m-n)e1+(-m+4n)e2+(m-2n)e3,则,解得.]‎ ‎4.已知平面α经过点A(0,0,2),且平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则x轴与平面α的交点坐标是________.‎ ‎(-2,0,0) [设交点为M(x,0,0), 则=(x,0,-2),平面α的一个法向量n=(1,-1,-1),则n·=0,解得x=-2,故x轴与平面α的交点坐标是(-2,0,0).]‎ ‎5.如图313,在三棱锥ABCD中,侧面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=,BD=CD=1,另一个侧面ABC是等边三角形.‎ 图313‎ 7‎ ‎(1)求证:AD⊥BC.‎ ‎(2)在线段AC上是否存在一点E,使直线ED与平面BCD的夹角为30°?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)作AH⊥平面BCD于点H,连接BH,CH,DH,则四边形BHCD是正方形,且AH=1.‎ 以D为坐标原点,DB所在直线为x轴,DC所在直线为y轴建立空间直角坐标系,如图.‎ 则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1),‎ ‎∴=(-1,1,0),=(1,1,1),‎ ‎∴·=0,则AD⊥BC.‎ ‎(2)存在满足条件的点E,点E到点C的距离为1.‎ 设E(x,y,z),则x=z>0,y=1.‎ 又平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),=(x,1,x),若ED与平面BCD的夹角为30°,则与n的夹角为60°,‎ ‎∴cos〈,n〉===cos 60°=,‎ 则2x=,解得x=或x=-(舍去),即E.‎ 又||=1,故线段AC上存在满足条件的点E,点E到点C的距离为1.‎ 7‎
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