2017-2018学年吉林省长春市十一高中高二上学期期末考试数学(文)试题 解析版

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2017-2018学年吉林省长春市十一高中高二上学期期末考试数学(文)试题 解析版

绝密★启用前 吉林省长春市十一高中2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.已知复数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 的实部为,虚部为,‎ 故选 ‎2.若原命题为:“若为共轭复数,则”,则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为( )‎ A. 真真真 B. 真真假 C. 假假真 D. 假假假 ‎【答案】C ‎【解析】设,则,则,所以原命题为真命题,故其逆否命题为真命题 原命题的否命题为“若不互为共轭复数,则”,因为和 不互为共轭复数,但,所以否命题为假命题,故原命题的逆命题为假命题 故选 ‎3.下列命题为特称命题的是 ( )‎ A. 任意一个三角形的内角和为 B. 棱锥仅有一个底面 C. 偶函数的图象关于轴垂直 D. 存在大于1的实数,使 ‎【答案】D ‎【解析】 对于选项A、B、C都为全称命题,选项D中,根据特称命题的概念,可得命题“存在大于的实数,使”中含有存在量词,所以D为特称命题,故选D.‎ ‎4.“”是“方程表示圆”的( ).‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】时,方程等价于无意义,‎ 但若表示圆,则.‎ ‎∴“”是“”表示圆的必要不充分条件.‎ 故选:B ‎5.设双曲线的离心率是,则其渐近线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的离心率是,‎ 可得,即,可得 则其渐近线的方程为 故选 ‎6.已知点,点与点关于平面对称,点与点关于轴对称,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得:‎ 故选 ‎7.椭圆中,以点为中点的弦所在直线斜率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 代入椭圆得,‎ 两式相减得,‎ 即,‎ 即,又 即,‎ 即,‎ ‎∴弦所在的直线的斜率为,‎ 故选:C.‎ ‎8.若,,,则3个数,,的值( )‎ A. 至多有一个不大于1 B. 至少有一个不大于1 C. 都大于1 D. 都小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 则,,‎ 故选 ‎9.点在椭圆上,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点在椭圆上,‎ ‎,‎ 不妨令,则 原式 则最大值为,‎ 故选 ‎10.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,‎ 函数的定义域是 ‎,,得 函数在区间上单调递减,‎ ‎,解得 故选 ‎11.在中, ,若一个椭圆经过两点,它的一个焦点为点,另一个焦点在边上,则这个椭圆的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设另一焦点为 中, , ‎ 又, ‎ 在中焦距 则 故选 点睛:本题主要考查了椭圆的简单性质。设另一焦点为,则可在中,根据勾股定理求得,进而根据椭圆的定义知,求得的值,再利用求得,最后在中根据勾股定理求得,得到焦距,进一步求得离心率。‎ ‎12.已知函数,若对任意,恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 函数,对任意,恒成立,‎ ‎∴恒成立,‎ 即>(a−1)x恒成立;‎ 设g(x)=,h(x)=(a−1)x,x∈R;‎ 在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图所示;‎ 则满足不等式恒成立的是h(x)的图象在g(x)图象下方,‎ 求g(x)的导数g′(x)=−,‎ 且过g(x)图象上点(x0,y0)的切线方程为 ‎,‎ 且该切线方程过原点(0,0),‎ 则=⋅x0,‎ 即=−⋅x0,‎ 解得x0=−1;‎ ‎∴切线斜率为k=−=−e,‎ ‎∴应满足a−1>−e,‎ 即a>1−e;‎ 又a−1⩽0,‎ ‎∴a⩽1,‎ ‎∴实数a的取值范围是(1−e,1].‎ 故选:A.‎ 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:‎ ‎(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;‎ ‎(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立,转化为;‎ ‎(3)若恒成立,可转化为(需在同一点处取到最值).‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎,即 则该圆的直角坐标方程为 即:‎ 表示以为圆心半径等于的圆 故可取 该圆的圆心的极坐标为 ‎14.观察下列各式: , , ,则的末四位数字为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】, , ‎ 观察可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的,‎ 的末四位数字与的后四位数相同 故答案为 ‎15.函数在区间上的值域为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时,‎ 是上的增函数 的最大值在处取得,‎ 的最小值在处取得,‎ 函数的值域为 ‎16.设分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线在第一象限上的一点,若,则内切圆的面积为______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的 由双曲线的定义可得 ‎,解得 ‎ 则边上的高为,运用等面积法得 即,故内切圆的面积为 点睛:本题考查了双曲线的简单性质,考查了三角形的内切圆的面积,注意运用等积法,属于中档题。主要考查了学生的方程思想,定义法以及圆锥曲线的定义,性质与方程知识点的掌握。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.已知极点为直角坐标系的原点,极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线,直线(为参数).‎ ‎(1)求曲线上的点到直线距离的最小值;‎ ‎(2)若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线.设,直线与曲线交于两点,求.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由极坐标和直角坐标的转化,参数方程和直角坐标的转化关系,可求出结果,然后再根据直线和圆的位置关系,即可求出结果;‎ 伸缩变换为,得到,联立和得.因为,,利用韦达定理即可求出结果。‎ 解析:(1),圆心为,半径为;‎ 圆心到直线距离 ‎ 所以上的点到的最小距离为.‎ ‎(2)伸缩变换为,所以 ‎ 将和联立,得.因为 ‎18.如图,在四棱锥中, 底面为菱形,平面,点在棱上.‎ ‎(1)求证:直线平面;‎ ‎(2)是否存在点,使得四面体的体积等于四面体的体积的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析.(2)存在,.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)推导出PC⊥BD,BD⊥AC,由此能证明BD⊥平面PAC;‎ ‎(2)在△PAC中过点E作EF∥PC,交AC于点F,由ABCD是菱形可知S△ABD=S△BDC,由此利用,能求出结果.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)因为平面,所以,‎ 因为底面是菱形,所以,因为,所以平面.‎ ‎(2)在中过点作∥,交于点,‎ 因为平面,所以平面.‎ 由是菱形可知,‎ 设存在点,使得四面体的体积等于四面体的体积的,即,则,所以在中,,所以.‎ ‎19.已知.‎ ‎(1)若,求的单调区间;‎ ‎(2)当时,若在上恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增区间为,减区间为;(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:先求出函数的定义域,再求导,根据得到的单调区间;‎ 根据函数的单调性求出函数的最值,再由在上恒成立,得到的取值范围。‎ 解析:(1)当时,,则,‎ 令,解得,令,解得,‎ 所以增区间为,减区间为.‎ ‎(2)由,,当时,‎ 故在上为增函数,若,则只需,即:,综上有:‎ ‎20.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,焦距为,且长轴长是短轴长的倍.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程; ‎ ‎(2)设,过椭圆左焦点作斜率直线交于两点,若,求直线的方程.‎ ‎【答案】(1);(2):‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设椭圆方程,由即可求得的值,进而得到椭圆的标准方程;‎ 设点坐标,三角形面积转化为,联立直线与椭圆方程求得,代入即可解得结果 解析:(1)依题意,,解得,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 设直线:,代入椭圆消去得:,‎ 设,则 所以:,即:,‎ 即:,解得:,即,所以:‎ 点睛:本题考查了直线与椭圆的位置关系,并求出三角形的面积,在求三角形面积的题目里方法较多,如计算底和高或者分割三角形等,本题采用分割三角形计算三角形面积,联立直线与椭圆方程转化根的求解即可。‎ ‎21.已知抛物线:,过焦点的动直线与抛物线交于两点,线段的中点为.‎ ‎(1)当直线的倾斜角为时,.求抛物线的方程;‎ ‎(2)对于(1)问中的抛物线,设定点,求证:为定值.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:求得抛物线的焦点坐标,设直线的方程代入抛物线的方程,设,运用韦达定理,弦长公式,解方程可得,进而得到所求方程;‎ 运用中点坐标公式,求得,由两点的距离公式,可得,进而得到 的定值。‎ 解析:(1)由题意知,设直线的方程为,‎ 由 得:,所以:‎ 又由,所以,所以:抛物线的方程为 ‎(2)由(1)抛物线的方程为,此时设 消去得:,设,‎ 则:‎ 所以:‎ ‎ ,即 ‎ 所以: ‎ ‎22.已知.‎ ‎(1)若,求的单调区间;‎ ‎(2)若有三个零点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 上单调递减,上单调递增.(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先求出导函数,再根据导数和函数的单调性的关系即可求出单调性区间, (2)=0有3个解,即x3+2x2−4x =-a,有3个非0的解,求函数图象 ‎,求解即可.‎ 试题解析:‎ ‎, 则,‎ 令,解得,且有时,,时,,‎ 所以在上单调递减,在上单调递增.‎ ‎(2),即,令,‎ 则,解得,所以有两个极值,‎ ‎,所以,即.‎ ‎ 又.‎
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