高中数学人教a版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评5 word版含答案

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高中数学人教a版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评5 word版含答案

学业分层测评(五) (建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.圆台 OO′的母线长为 6,两底面半径分别为 2,7,则圆台 OO′ 的侧面积是( ) A.54π B.8π C.4π D.16π 【解析】 S 圆台侧=π(r+r′)l=π(7+2)×6=54π. 【答案】 A 2.(2015·烟台高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4π,那么圆柱的体积等于( ) A.π B.2π C.4π D.8π 【解析】 设轴截面正方形的边长为 a, 由题意知 S 侧=πa·a=πa2. 又∵S 侧=4π,∴a=2. ∴V 圆柱=π×2=2π. 【答案】 B 3.如图 137,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方 形,且体积为1 2 ,则该几何体的俯视图可以是( ) 图 137 【解析】 由三视图的概念可知,此几何体高为 1,其体积 V=Sh =S=1 2 ,即底面积 S=1 2 ,结合选项可知,俯视图为三角形. 【答案】 C 4.(2016·天津高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方 形,其正(主)视图如图 138 所示,该四棱锥的侧面积和体积分别是 ( ) 图 138 A.4 5,8 B.4 5,8 3 C.4( 5+1),8 3 D.8,8 【解析】 由题图知,此棱锥高为 2,底面正方形的边长为 2,V = 1 3 ×2×2×2 = 8 3 , 侧 面 三 角 形 的 高 h = 22+12 = 5 , S 侧 = 4× 1 2 ×2× 5 =4 5. 【答案】 B 5.(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图 139 所示,则该四 面体的表面积是( ) 图 139 A.1+ 3 B.2+ 3 C.1+2 2 D.2 2 【解析】 根据三视图还原几何体如图所示,其中侧面 ABD⊥底面 BCD,另 两个侧面 ABC,ACD 为等边三角形,则有 S 表 面 积 =2×1 2 ×2×1+ 2× 3 4 ×( 2)2=2+ 3.故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别 为 6 cm,4 cm,则该棱柱的侧面积为________cm2. 【导学号:09960026】 【解析】 棱柱的侧面积 S 侧=3×6×4=72(cm2). 【答案】 72 7.(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图 1310 所示(单位: m),则该几何体的体积为________m3. 图 1310 【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆 柱构成,其中圆锥的底面半径和高均为 1,圆柱的底面半径为 1 且其高 为 2,故所求几何体的体积为 V=1 3π×12×1×2+π×12×2=8 3π. 【答案】 8 3π 三、解答题 8.一个三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形,侧棱垂直于底面, 它的三视图如图 1311 所示,AA1=3. (1)请画出它的直观图; (2)求这个三棱柱的表面积和体积. 图 1311 【解】 (1)直观图如图所示. (2)由题意可知, S△ABC=1 2 ×3×3 3 2 =9 3 4 . S 侧=3×AC×AA1=3×3×3=27. 故这个三棱柱的表面积为 27+2×9 3 4 =27+9 3 2 . 这个三棱柱的体积为9 3 4 ×3=27 3 4 . 9.已知圆台的高为 3,在轴截面中,母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积. 【导学号:09960027】 【解】 如图所示,作轴截面 A1ABB1,设圆台的上、下底面半径 和母线长分别为 r、R,l,高为 h. 作 A1D⊥AB 于点 D,则 A1D=3. 又∵∠A1AB=60°,∴AD= A1D tan 60° , 即 R-r=3× 3 3 ,∴R-r= 3. 又∵∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°. ∴BD=A1D·tan 60°,即 R+r=3× 3, ∴R+r=3 3,∴R=2 3,r= 3,而 h=3, ∴V 圆台=1 3πh(R2+Rr+r2) =1 3π×3×[(2 3)2+2 3× 3+( 3)2] =21π. 所以圆台的体积为 21π. [自我挑战] 10.(2016·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、 半径为 2 的扇形,则圆锥的表面积是________. 【导学号:09960028】 【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为 120°、半径为 2 的 扇形, 所以圆锥的侧面积等于扇形的面积=120×π×22 360 =4 3π, 设圆锥的底面圆的半径为 r, 因为扇形的弧长为2π 3 ×2=4 3π, 所以 2πr=4 3π,所以 r=2 3 , 所以底面圆的面积为4 9π.所以圆锥的表面积为16 9 π. 【答案】 16 9 π 11.若 E,F 是三棱柱 ABCA1B1C1 侧棱 BB1 和 CC1 上的点,且 B1E =CF,三棱柱的体积为 m,求四棱锥 ABEFC 的体积. 【解】 如图所示, 连接 AB1,AC1. ∵B1E=CF, ∴梯形 BEFC 的面积等于梯形 B1EFC1 的面积. 又四棱锥 ABEFC 的高与四棱锥 AB1EFC1 的高相等, ∴VABEFC=VAB1EFC1=1 2VABB1C1C, 又 VAA1B1C1=1 3S△A1B1C1·h, VABCA1B1C1=S△A1B1C1·h=m, ∴VAA1B1C1=m 3 , ∴VABB1C1C=VABCA1B1C1-VAA1B1C1=2 3m, ∴VABEFC=1 2 ×2 3m=m 3. 即四棱锥 ABEFC 的体积是m 3.
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