专题14+不等式（二）-2019高考数学（文）二轮复习单元过关测试
2019高考数学（文）二轮单元复习过关测试
单元测试14 不等式（二）
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B B．A≥B
C．A＜B D．A＞B
【答案】B
【解析】由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B．
2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
【答案】B
3．若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】C
【解析】因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
4．设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋>b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】因为a＋－＝，若a>b>1，显然a＋－＝>0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋>b＋成立，但a>b
>1不成立，所以必要性不成立．
5．不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】平面区域如图所示．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝．
所以S△ABC＝××1＝．
【答案】8
【解析】y1＋y＝2x1＋22x2≥2＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n.
(1)证明{an}是等差数列．
(2)若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，试证明Tn＜.
【答案】见解析
【解析】[证明] (1)因为Sn＝2n2－n.
所以a1＝S1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－2(n－1)2＋(n－1)＝4n－3.
对n＝1也成立．所以an＝4n－3.
an＋1－an＝4(n＋1)－3－4n＋3＝4，是常数．
所以数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列．
(2)由(1)得bn＝
＝
所以Tn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝＜.
18．(12分(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设0
0，
∴＋≥2 ＝4，
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－．
(2)∵00，
∴y＝＝·≤ ·＝，
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为．
19．(12分)已知f(x)＝x2＋ax＋B．
(1)求f(1)＋f(3)－2f(2)．
(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
【答案】（1）f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.
（2）见解析
20．(12分) 已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R．
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
【答案】（1）x＝1时，y＝的最小值为－2；
（2）
【解析】(1)依题意得y＝＝＝x＋－4．
因为x>0，所以x＋≥2．
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2．
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2．
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在 [0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥．
则a的取值范围为．
21．(12分)给定数列a1，a2，…，an.对i＝1,2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项(ai＋1，ai＋2，…，an)的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.
(1)设数列{an}为3,4,7,1，写出d1，d2，d3的值．
(2)设a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0，证明：d1，d2，…，dn－1是等比数列．
【答案】（1）d1＝2，d2＝3，d3＝6.
（2）见解析
【解析】 (1)d1＝A1－B1＝3－1＝2，d2＝A2－B2＝4－1＝3，d3＝A3－B3＝7－1＝6.
(2)由a1，a2，…，an(n≥4)是公比大于1的等比数列，且a1＞0，可得{an}的通项为an＝a1·qn－1且为单调递增数列．
于是当k＝2,3，…，n－1时，＝＝＝q为定值．
因此d1，d2，…，dn－1构成首项d1＝a1－a2，公比为q的等比数列．
22．(12分)据市场分析，某绿色蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．
(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x(吨)的函数解析式．
(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获得最大利润．
(3)若x∈[10，c](10＜c≤25)，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？
【答案】（1）y＝x2－3x＋40，x∈[10,25]．
（2）月产量为23吨时，可获最大利润；
（3）当20≤c≤25时，月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低为1万元；
当10＜c＜20时，月产量为c吨时，每吨平均成本最低，最低为万元．
【解析】 (1)由题意，设y＝a(x－15)2＋17.5(a＞0)，
把x＝10，y＝20代入，得25a＝20－17.5，a＝，所以y＝(x－15)2＋17.5＝x2－3x＋40，x∈[10,25]．
(2)设月利润为g(x)，则
g(x)＝1.6x－
＝－(x2－46x＋400)
＝－(x－23)2＋12.9，
因为x∈[10,25]，所以当x＝23时，g(x)max＝12.9.
即当月产量为23吨时，可获最大利润．
(3)每吨平均成本为
＝x＋－3≥2－3＝1.
当且仅当＝，即x＝20时“＝”成立．
因为x∈[10，c]，10＜c≤25，
所以①当20≤c≤25时，x＝20时，每吨平均成本最低，最低为1万元．
