高考数学专题复习练习第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

高考数学专题复习练习第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课下练兵场 命 题 报 告 ‎ 难度及题号 知识点 容易题 ‎(题号)‎ 中等题 ‎(题号)‎ 稍难题 ‎(题号)‎ 两角和与差的公式 ‎1、2‎ ‎3、5、8、9‎ 角的变换 ‎4、7‎ ‎6、10‎ ‎11、12‎ 一、选择题 ‎1.定义运算ab＝a2－ab－b2，则sincos＝ (　　)‎ A.－＋　　　　　 B.－－ C.1＋ D.1－ 解析：sincos＝sin2－sincos－cos2 ‎＝－－.‎ 答案：B ‎2.sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos[90°－(x－20°)]‎ ‎＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)sin(x－20°)‎ ‎＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.‎ 答案：B ‎3.若点P(cosα，sinα)在直线y＝－2x上，则sin2α＋2cos2α的值是 (　　)‎ A.－ B.－ C.－2 D. 解析：∵点P在y＝－2x上，∴sinα＝－2cosα，‎ ‎∴sin2α＋2cos2α＝2sinαcosα＋2(2cos2α－1)‎ ‎＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.‎ 答案：C ‎4.已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos(α－β)的值等于 (　　)‎ A.－ B. C.－ D. 解析：∵α∈(0，)，∴2α∈(0，π).∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.‎ 答案：D ‎5.若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝ (　　)‎ A.　　　　　　　 B‎.2 C.－ D.－2‎ 解析：将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，则(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.‎ 答案：B ‎6.的值是 (　　)‎ A. B. C. D. 解析：原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案：C 二、填空题 ‎7.在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是　　　　.‎ 解析：法一：∵△ABC为锐角三角形，‎ ‎∴A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，‎ 即cosAcosB－sinAsinB＜0，‎ ‎∴cosAcosB＜sinAsinB，即y＜x.‎ 法二：特殊值法：‎ 令A＝60°，B＝45°‎ x＝×＝，y＝×＝，∴x＞y.‎ 答案：y＜x ‎8.设f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)的最大值为＋3，则常数a＝　　　　.‎ 解析：f(x)＝＋sinx＋a2sin(x＋)‎ ‎＝cosx＋sinx＋a2sin(x＋)‎ ‎＝sin(x＋)＋a2sin(x＋)‎ ‎＝(＋a2)sin(x＋).‎ 依题意有＋a2＝＋3，∴a＝±.‎ 答案：± ‎9.已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈(，π)，若a·b＝，则tan(α＋)的值为　　　　.‎ 解析：由a·b＝，得cos2α＋sinα(2sinα－1)＝，‎ 即1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝，即sinα＝.‎ 又α∈(，π)，∴cosα＝－，∴tanα＝－，∴tan(α＋)＝＝＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎10.(2010·长沙调研)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，)，sin(β－)＝，β∈(，).‎ ‎(1)求sin2α和tan2α的值；‎ ‎(2)求cos(α＋2β)的值.‎ 解：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝，‎ 即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.‎ 又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.‎ ‎(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，‎ 于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.‎ 又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.‎ 又2β∈(，π)，∴sin2β＝.‎ 又cos2α＝＝，‎ ‎∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，)).‎ ‎∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β ‎＝×(－)－×＝－.‎ ‎11.(2010·株州模拟)已知函数f(x)＝－1＋2sinxcosx＋2cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标.‎ 解：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，‎ ‎(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得 kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴f(x)的单调减区间为(k∈Z)，‎ ‎(2)由sin(2x＋)＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，‎ 即x＝－(k∈Z).‎ ‎∴f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标是(－，0).‎ ‎12.已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点M(，).‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)已知α，β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值.‎ 解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1.‎ ‎∵f(x)的图象经过点M(，)，∴sin(＋φ)＝.‎ ‎∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝sin(x＋)＝cosx.‎ ‎(2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝.‎ 已知α，β∈(0，)，所以sinα＝ ＝，‎ sinβ＝ ＝.‎ 故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ‎＝×＋×＝.‎