高考数学专题复习练习:6_1 数列的概念与简单表示法

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高考数学专题复习练习:6_1 数列的概念与简单表示法

‎1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.‎ ‎2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an+1__>__an 其中n∈N*‎ 递减数列 an+1__<__an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 ‎3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.‎ ‎4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,‎ 则an= ‎2.在数列{an}中,若an最大,则 若an最小,则 ‎3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,‎ 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × )‎ ‎(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ )‎ ‎(3)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( × )‎ ‎(4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × )‎ ‎(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( √ )‎ ‎1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示).‎ 则第7个三角形数是(  )‎ A.27 B.28‎ C.29 D.30‎ 答案 B 解析 由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.‎ ‎2.已知数列,,,…,,…,下列各数中是此数列中的项的是(  )‎ A. B. C. D. 答案 B ‎3.(教材改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=.‎ ‎4.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是________.‎ 答案 30‎ 解析 an=-n2+11n=-(n-)2+,‎ ‎∵n∈N*,∴当n=5或n=6时,an取最大值30.‎ ‎5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________.‎ 答案  解析 当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,‎ 故an= 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是(  )‎ A.an=n2-(n-1) B.an=n2-1‎ C.an= D.an= ‎(2)数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=________.‎ 答案 (1)C (2) 解析 (1)观察数列1,3,6,10,…可以发现 ‎1=1,‎ ‎3=1+2,‎ ‎6=1+2+3,‎ ‎10=1+2+3+4,‎ ‎ …‎ 第n项为1+2+3+4+…+n=.‎ ‎∴an=.‎ ‎(2)数列{an}的前4项可变形为,,,,故an=.‎ 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 ‎(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.‎ ‎(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理.‎ ‎ 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式.‎ ‎(1)-1,7,-13,19,…;‎ ‎(2)0.8,0.88,0.888,…;‎ ‎(3),,-,,-,,….‎ 解 (1)数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).‎ ‎(2)数列变为,,,…,‎ 故an=.‎ ‎(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.‎ 因此把第1项变为-,‎ 原数列化为-,,-,,…,‎ 故an=(-1)n.‎ 题型二 由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)(2017·南昌月考)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________.‎ 答案 (-2)n-1‎ 解析 由Sn=an+,得当n≥2时,Sn-1=an-1+,两式相减,整理得an=-2an-1,又当n=1时,S1=a1=a1+,∴a1=1,∴{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,‎ 故an=(-2)n-1.‎ ‎(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式.‎ ‎①Sn=2n2-3n;②Sn=3n+b.‎ 解 ①a1=S1=2-3=-1,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1‎ ‎=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,‎ 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.‎ ‎②a1=S1=3+b,‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)‎ ‎=2·3n-1.‎ 当b=-1时,a1适合此等式;‎ 当b≠-1时,a1不适合此等式.‎ ‎∴当b=-1时,an=2·3n-1;‎ 当b≠-1时,an= 思维升华 已知Sn,求an的步骤 ‎(1)当n=1时,a1=S1;(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1;(3)对n=1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式.‎ ‎ (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于(  )‎ A.2n-1 B.()n-1‎ C.()n D. 答案 (1)an= (2)B 解析 (1)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]‎ ‎=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.‎ 故数列的通项公式为an= ‎(2)由an+1=Sn+1-Sn,得Sn=Sn+1-Sn,‎ 即Sn+1=Sn(n≥1),又S1=a1=1,‎ 所以数列{Sn}是首项为1,公比为的等比数列,‎ 所以Sn=()n-1,故选B.‎ 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)a1=2,an+1=an+ln(1+);‎ ‎(2)a1=1,an+1=2nan;‎ ‎(3)a1=1,an+1=3an+2.‎ 解 (1)∵an+1=an+ln(1+),‎ ‎∴an-an-1=ln(1+)=ln (n≥2),‎ ‎∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1‎ ‎=ln+ln+…+ln +ln 2+2‎ ‎=2+ln(··…··2)‎ ‎=2+ln n(n≥2).‎ 又a1=2适合上式,故an=2+ln n(n∈N*).‎ ‎(2)∵an+1=2nan,∴=2n-1 (n≥2),‎ ‎∴an=··…··a1‎ ‎=2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=.‎ 又a1=1适合上式,故an=.‎ ‎(3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),‎ 又a1=1,∴a1+1=2,‎ 故数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列,‎ ‎∴an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1.‎ 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 ‎(1)当出现an=an-1+m时,构造等差数列;(2)当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;(3)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;(4)当出现=f(n)时,用累乘法求解.‎ ‎ (1)已知数列{an}满足a1=1,an=·an-1(n≥2且n∈N*),则an=________.‎ ‎(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5等于(  )‎ A.-16 B.16 C.31 D.32‎ 答案 (1) (2)B 解析 (1)∵an=an-1 (n≥2),‎ ‎∴an-1=an-2,…,a2=a1.‎ 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1···…·==.‎ 当n=1时也满足此等式,∴an=.‎ ‎(2)当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=1.‎ 当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,‎ ‎∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1.‎ ‎∴{an}是等比数列且a1=1,q=2,‎ 故a5=a1×q4=24=16.‎ 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知an=,那么数列{an}是(  )‎ A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 答案 B 解析 an=1-,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知{an}是递增数列.‎ 命题点2 数列的周期性 例5 数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=____________________________.‎ 答案  解析 ∵an+1=,‎ ‎∴an+1=== ‎==1- ‎=1-=1-(1-an-2)=an-2,n≥3,‎ ‎∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.‎ ‎∴a8=a3×2+2=a2=2.‎ 而a2=,∴a1=.‎ 命题点3 数列的最值 例6 数列{an}的通项an=,则数列{an}中的最大项是(  )‎ A.3 B.19‎ C. D. 答案 C 解析 令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an=最大.‎ 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎①用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列.‎ ‎②用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.‎ ‎③结合相应函数的图象直观判断.‎ ‎(2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.‎ ‎(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.‎ ‎ (1)(2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2 015项为________.‎ ‎(2)设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是(  )‎ A. B. C.4 D.0‎ 答案 (1) (2)D 解析 (1)由已知可得,a2=2×-1=,‎ a3=2×=,‎ a4=2×=,‎ a5=2×-1=,‎ ‎∴{an}为周期数列且T=4,‎ ‎∴a2 015=a503×4+3=a3=.‎ ‎(2)∵an=-32+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0.‎ ‎12.解决数列问题的函数思想 典例 (1)数列{an}的通项公式是an=(n+1)·()n,则此数列的最大项是第________项.‎ ‎(2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是__________.‎ 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.‎ 解析 (1)∵an+1-an ‎=(n+2)()n+1-(n+1)()n ‎=()n×,‎ 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;‎ 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;‎ 当n>9时,an+1-an<0,即an+1an知该数列是一个递增数列,‎ 又因为通项公式an=n2+kn+4,‎ 所以(n+1)2+k(n+1)+4>n2+kn+4,‎ 即k>-1-2n,又n∈N*,所以k>-3.‎ 答案 (1)9或10 (2)(-3,+∞)‎ ‎1.数列,-,,-,…的第10项是(  )‎ A.- B.- C.- D.- 答案 C 解析 所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1)n+1·,故a10=-.‎ ‎2.已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则(  )‎ A.3不是数列{an}中的项 B.3只是数列{an}中的第2项 C.3只是数列{an}中的第6项 D.3是数列{an}中的第2项和第6项 答案 D 解析 令an=3,即n2-8n+15=3,整理得n2-8n+12=0,解得n=2或n=6.‎ ‎3.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是(  )‎ A.2n-1 B.()n-1‎ C.n2 D.n 答案 D 解析 ∵an=n(an+1-an),∴=,‎ ‎∴an=···…···a1‎ ‎=···…···1=n.‎ ‎4.若数列{an}满足a1=2,a2=3,an=(n≥3且n∈N*),则a2 018等于(  )‎ A.3 B.2‎ C. D. 答案 A 解析 由已知a3==,a4==,‎ a5==,a6==,‎ a7==2,a8==3,‎ ‎∴数列{an}具有周期性,T=6,‎ ‎∴a2 018=a336×6+2=a2=3.‎ ‎5.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),a2=2,若Sn是数列{an}的前n项和,则S21为(  )‎ A.5 B. C. D. 答案 B 解析 ∵an+an+1=,a2=2,‎ ‎∴an= ‎∴S21=11×+10×2=.故选B.‎ ‎6.(2016·开封一模)已知函数y=f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x,y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)= (n∈N*),则a2 015的值为(  )‎ A.4 029 B.3 029‎ C.2 249 D.2 209‎ 答案 A 解析 根据题意,不妨设f(x)=()x,则a1=f(0)=1,∵f(an+1)=,∴an+1=an+2,∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1,‎ ‎∴a2 015=4 029.‎ ‎7.数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则a7=________.‎ 答案 1‎ 解析 由已知an+1=an+an+2,a1=1,a2=2,‎ 能够计算出a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1.‎ ‎8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=________.‎ 答案 2n-1‎ 解析 当n=1时,S1=a1=2a1-1,得a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),‎ 即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),‎ ‎∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.‎ ‎9.已知数列{an}的通项公式an=(n+2)·()n,则数列{an}的项取最大项时,n=________.‎ 答案 4或5‎ 解析 假设第n项为最大项,则 即 解得 即4≤n≤5,‎ 又n∈N*,所以n=4或n=5,‎ 故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=.‎ ‎10.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019=________.‎ 答案 3‎ 解析 由题意可得,a2==-3,a3==-,a4==,a5==2=a1,‎ ‎∴数列{an}是以4为周期的数列,而2 019=4×504+3,a1a2a3a4=1,‎ ‎∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3=3.‎ ‎11.已知数列{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;‎ ‎(2)若Sn=3n+2n+1,求an.‎ 解 (1)因为a5+a6=S6-S4‎ ‎=(-6)-(-4)=-2,‎ 当n=1时,a1=S1=1,‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)‎ ‎=(-1)n+1·[n+(n-1)]‎ ‎=(-1)n+1·(2n-1),‎ 又a1也适合此式,‎ 所以an=(-1)n+1·(2n-1).‎ ‎(2)因为当n=1时,a1=S1=6;‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]‎ ‎=2×3n-1+2,‎ 由于a1不适合此式,‎ 所以an= ‎12.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N*).‎ ‎(1)求a1,a2,a3,a4的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 解 (1)由Sn=a+an (n∈N*)可得 a1=a+a1,解得a1=1,‎ S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2,‎ 同理,a3=3,a4=4.‎ ‎(2)Sn=+a,①‎ 当n≥2时,Sn-1=+a,②‎ ‎①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.‎ 由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,‎ 又由(1)知a1=1,‎ 故数列{an}为首项为1,公差为1的等差数列,‎ 故an=n.‎ ‎ *13.已知数列{an}中,an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0).‎ ‎(1)若a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;‎ ‎(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范围.‎ 解 (1)∵an=1+(n∈N*,a∈R且a≠0),‎ 又a=-7,∴an=1+(n∈N*).‎ 结合函数f(x)=1+的单调性,‎ 可知1>a1>a2>a3>a4,‎ a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.‎ ‎(2)an=1+=1+,‎ 已知对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,‎ 结合函数f(x)=1+的单调性,‎ 可知5<<6,即-10<a<-8.‎
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