- 2021-06-19 发布 |
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文档介绍
高考数学专题复习练习:6_1 数列的概念与简单表示法
1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an+1__>__an 其中n∈N* 递减数列 an+1__<__an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 【知识拓展】 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an, 则an= 2.在数列{an}中,若an最大,则 若an最小,则 3.数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数, 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( × ) (4)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( × ) (5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( √ ) 1.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示). 则第7个三角形数是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 答案 B 解析 由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 2.已知数列,,,…,,…,下列各数中是此数列中的项的是( ) A. B. C. D. 答案 B 3.(教材改编)在数列{an}中,a1=1,an=1+(n≥2),则a5等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 a2=1+=2,a3=1+=,a4=1+=3,a5=1+=. 4.数列{an}中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是________. 答案 30 解析 an=-n2+11n=-(n-)2+, ∵n∈N*,∴当n=5或n=6时,an取最大值30. 5.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________. 答案 解析 当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1, 故an= 题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例1 (1)(2016·太原模拟)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ) A.an=n2-(n-1) B.an=n2-1 C.an= D.an= (2)数列{an}的前4项是,1,,,则这个数列的一个通项公式是an=________. 答案 (1)C (2) 解析 (1)观察数列1,3,6,10,…可以发现 1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, … 第n项为1+2+3+4+…+n=. ∴an=. (2)数列{an}的前4项可变形为,,,,故an=. 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法. (2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1,k∈N*处理. 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…; (3),,-,,-,,…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(-1)n表示,从第2项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)数列变为,,,…, 故an=. (3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为-, 原数列化为-,,-,,…, 故an=(-1)n. 题型二 由an与Sn的关系求通项公式 例2 (1)(2017·南昌月考)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=________. 答案 (-2)n-1 解析 由Sn=an+,得当n≥2时,Sn-1=an-1+,两式相减,整理得an=-2an-1,又当n=1时,S1=a1=a1+,∴a1=1,∴{an}是首项为1,公比为-2的等比数列, 故an=(-2)n-1. (2)已知下列数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式. ①Sn=2n2-3n;②Sn=3n+b. 解 ①a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5. ②a1=S1=3+b, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b) =2·3n-1. 当b=-1时,a1适合此等式; 当b≠-1时,a1不适合此等式. ∴当b=-1时,an=2·3n-1; 当b≠-1时,an= 思维升华 已知Sn,求an的步骤 (1)当n=1时,a1=S1;(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1;(3)对n=1时的情况进行检验,若适合n≥2的通项则可以合并;若不适合则写成分段函数形式. (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________________. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于( ) A.2n-1 B.()n-1 C.()n D. 答案 (1)an= (2)B 解析 (1)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时, an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当n=1时,不满足上式. 故数列的通项公式为an= (2)由an+1=Sn+1-Sn,得Sn=Sn+1-Sn, 即Sn+1=Sn(n≥1),又S1=a1=1, 所以数列{Sn}是首项为1,公比为的等比数列, 所以Sn=()n-1,故选B. 题型三 由数列的递推关系求通项公式 例3 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=2,an+1=an+ln(1+); (2)a1=1,an+1=2nan; (3)a1=1,an+1=3an+2. 解 (1)∵an+1=an+ln(1+), ∴an-an-1=ln(1+)=ln (n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln+ln+…+ln +ln 2+2 =2+ln(··…··2) =2+ln n(n≥2). 又a1=2适合上式,故an=2+ln n(n∈N*). (2)∵an+1=2nan,∴=2n-1 (n≥2), ∴an=··…··a1 =2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=. 又a1=1适合上式,故an=. (3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2, 故数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列, ∴an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1. 思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an=an-1+m时,构造等差数列;(2)当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;(3)当出现an=an-1+f(n)时,用累加法求解;(4)当出现=f(n)时,用累乘法求解. (1)已知数列{an}满足a1=1,an=·an-1(n≥2且n∈N*),则an=________. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5等于( ) A.-16 B.16 C.31 D.32 答案 (1) (2)B 解析 (1)∵an=an-1 (n≥2), ∴an-1=an-2,…,a2=a1. 以上(n-1)个式子相乘得 an=a1···…·==. 当n=1时也满足此等式,∴an=. (2)当n=1时,S1=2a1-1,∴a1=1. 当n≥2时,Sn-1=2an-1-1, ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1. ∴{an}是等比数列且a1=1,q=2, 故a5=a1×q4=24=16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性 例4 已知an=,那么数列{an}是( ) A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列 答案 B 解析 an=1-,将an看作关于n的函数,n∈N*,易知{an}是递增数列. 命题点2 数列的周期性 例5 数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=____________________________. 答案 解析 ∵an+1=, ∴an+1=== ==1- =1-=1-(1-an-2)=an-2,n≥3, ∴周期T=(n+1)-(n-2)=3. ∴a8=a3×2+2=a2=2. 而a2=,∴a1=. 命题点3 数列的最值 例6 数列{an}的通项an=,则数列{an}中的最大项是( ) A.3 B.19 C. D. 答案 C 解析 令f(x)=x+(x>0),运用基本不等式得f(x)≥2,当且仅当x=3时等号成立.因为an=,所以≤,由于n∈N*,不难发现当n=9或n=10时,an=最大. 思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列. ②用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断. ③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解. (1)(2016·哈尔滨模拟)数列{an}满足an+1=a1=,则数列的第2 015项为________. (2)设an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是( ) A. B. C.4 D.0 答案 (1) (2)D 解析 (1)由已知可得,a2=2×-1=, a3=2×=, a4=2×=, a5=2×-1=, ∴{an}为周期数列且T=4, ∴a2 015=a503×4+3=a3=. (2)∵an=-32+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0. 12.解决数列问题的函数思想 典例 (1)数列{an}的通项公式是an=(n+1)·()n,则此数列的最大项是第________项. (2)若an=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是__________. 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵an+1-an =(n+2)()n+1-(n+1)()n =()n×, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1查看更多