2020版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式测评 新人教A版选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列不等式中一定成立的是( )
A.(ax+by)2≥(a2+b2)(x2+y2)
B.|ax+by|≥
C.(a2+b2)(x2+y2)≥(ay+bx)2
D.(a2+b2)(x2+y2)≥(ab+xy)2
解析由柯西不等式可知,只有C项正确.
答案C
2.设xy>0,则的最小值为( )
A.-9 B.9 C.10 D.0
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解析=9.
答案B
3.设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+…+anb1,T=a1c1+a2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是( )
A.S≤T≤K B.K≤T≤S
C.T≤K≤S D.K≤S≤T
解析根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则S≤T≤K.
答案A
4.若3x+2y+z=,则x2+y2+z2的最小值是( )
A. B. C. D.2
解析由柯西不等式可得(32+22+12)(x2+y2+z2)≥(3x+2y+z)2,即14(x2+y2+z2)≥()2=7,于是x2+y2+z2≥,当且仅当=z,即x=,y=,z=时,等号成立,故x2+y2+z2的最小值是.
答案A
5.用柯西不等式求函数y=的最大值为( )
A. B.3 C.4 D.5
解析由柯西不等式,得函数y==4,
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当且仅当时,等号成立,
故函数y的最大值为4.故选C.
答案C
6.已知=1(a>b>0),设A=a2+b2,B=(x+y)2,则A,B间的大小关系为( )
A.A
B C.A≤B D.A≥B
解析A=a2+b2=1·(a2+b2)=(a2+b2)≥=(x+y)2=B,即A≥B,当且仅当时,等号成立.
答案D
7.已知a>0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是( )
A.M≥N B.M>N C.M≤N D.MN.
答案B
8.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是( )
A.5 B.6 C.8 D.9
解析由柯西不等式可得
x+
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≥=9,
当且仅当x=3,y=6,z=9时,等号成立,故x+的最小值是9.
答案D
9.已知a,b是给定的正数,则的最小值为( )
A.2a2+b2 B.2ab C.(2a+b)2 D.4ab
解析=(sin2α+cos2α)
≥=(2a+b)2,
当且仅当sin α=cos α时,等号成立.
故的最小值为(2a+b)2.
答案C
10.已知正数x,y,z满足x+2y+3z=1,则的最小值为( )
A.1 B.9 C.36 D.18
解析由柯西不等式可得(x+2y+2y+3z+3z+x)·≥(1+2+3)2,
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∵x+2y+3z=1,
∴2≥36,
∴≥18,
∴当且仅当x+2y=,即x=,y=0,z=时,的最小值为18.
答案D
11.在锐角三角形ABC中,设p=,q=acos C+bcos B+ccos A,则p,q的大小关系是( )
A.p≥q B.p=q
C.p≤q D.无法确定
解析不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C.
则由排序不等式可得q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A, ①
acos C+bcos B+ccos A≥acos C+bcos A+ccos B, ②
由①+②得2(acos C+bcos B+ccos A)≥acos B+bcos A+bcos C+ccos B+ccos A+acos C,
即2(acos C+bcos B+ccos A)≥2R(sin Acos B+cos Asin B)+2R(sin Bcos C+cos Bsin C)+2R(sin Ccos A+cos Csin A),
整理,得acos C+bcos B+ccos A≥R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]
=R(sin A+sin B+sin C)
==p.
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答案C
12.导学号26394060设P为△ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂足,如图.若△ABC的周长为l,面积为S,则的最小值为( )
A. B. C. D.
解析设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.
∵(a3b3+a2b2+a1b1)≥=(a3+a2+a1)2=l2,∴,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.
答案A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若=2,=3,则x1y1+x2y2+x3y3的最大值为 .
解析由柯西不等式可得()()≥(x1y1+x2y2+x3y3)2,即(x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所以x1y1+x2y2+x3y3≤,故x1y1+x2y2+x3y3的最大值为.
答案
14.若a,b,c>0,则 a+b+c.
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解析不妨设a≥b≥c>0,则ab≥ac≥bc>0,>0,则由排序不等式可得≥ab·+ac·+bc·=a+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).
答案≥
15.设正实数a1,a2,…,a100的任意一个排列为b1,b2,…,b100,则+…+的最小值为 .
解析不妨设00,所以s≤t.
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答案s≤t
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证≤2.
证明由柯西不等式可得()2=(·1+·1)2≤[()2+()2](12+12),
因此()2≤2(2a+2b+2)=8,
故≤2当且仅当a=b=时,等号成立.
18.(本小题满分12分)已知a,b,c都是非零实数,求证≥a2+b2+c2.
证明由柯西不等式可得(b2+c2+a2)
=(b2+c2+a2)
≥=(a2+b2+c2)2,
又因为a2+b2+c2>0,
所以≥a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时,等号成立).
19.(本小题满分12分)设x2+4y2=1,求u=2x+y的最值以及取得最值时,实数x,y的值.
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解u=2x+y=2·x+·2y.
由柯西不等式可得[x2+(2y)2]
≥,
即(2x+y)2≤×1,
所以u2≤,故-≤u≤,当且仅当4y=x,且x2+4y2=1时,等号成立,解得x=±,y=±.
所以u的最大值是,此时x=,y=;
u的最小值是-,此时x=-,y=-.
20.(本小题满分12分)设a,b,c∈(0,+∞),利用排序不等式证明a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b.
证明不妨设a≥b≥c>0,则lg a≥lg b≥lg c,
由排序不等式可得alg a+blg b+clg c≥blg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg c≥clg a+alg b+blg c,
以上两式相加可得2alg a+2blg b+2clg c≥(b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,
即lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg(ab+c·ba+c·ca+b),
故a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b(当且仅当a=b=c时,等号成立).
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21.导学号26394061(本小题满分12分)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.
(1)求a+b+c的值;
(2)求a2+b2+c2的最小值.
解(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c
≥|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,
当且仅当-a≤x≤b时,等号成立.
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+c.
又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.
(2)由(1)知a+b+c=4,
由柯西不等式,得(4+9+1)
≥=(a+b+c)2=16,
即a2+b2+c2≥.
当且仅当,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.
22.导学号26394062(本小题满分12分)
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如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1,在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时P的位置.
解分别取OA,OB所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
则AB的方程为x+y=1,记点P坐标为P(xP,yP),
则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S=(1-xP-yP)2,
所以2S=+(1-xP-yP)2.
由柯西不等式,得[+(1-xP-yP)2](12+12+12)≥(xP+yP+1-xP-yP)2,
即6S≥1,所以S≥,当且仅当,即xP=yP=时,等号成立.
故当xP=yP=时,面积和S最小,且最小值为,
此时点P坐标为.
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