数学理卷·2018届吉林省长春市第十一高中、东北师大附中、吉林一中,重庆一中等五校高三1月联合模拟考试(2018

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数学理卷·2018届吉林省长春市第十一高中、东北师大附中、吉林一中,重庆一中等五校高三1月联合模拟考试(2018

‎2018届高三联合模拟考试 数学(理科)试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数,则的共轭复数所对应点在( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.以下有关命题的说法错误的是( )‎ A.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”‎ B.“”是“”成立的必要不充分条件 C.对于命题,使得,则,均有 D.若为真命题,则与至少有一个为真命题 ‎4.下列函数中既是偶函数又在上单调递减的函数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( )‎ A.多1斤 B.少1斤 C. 多斤 D.少斤 ‎6.执行下面的程序框图,如果输入的,,那么输出的的值为( )‎ A.3 B.4 C. 5 D.6‎ ‎7.将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则函数的图象的一个对称中心是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.设,为空间两条不同的直线,,为空间两个不同的平面,给出下列命题:‎ ‎①若,,则; ②若,,则;‎ ‎③若,且,,则; ④若,且,则.‎ 其中所有正确命题的序号是( )‎ A.①② B.②③ C. ③④ D.①④‎ ‎9.已知实数满足,则的最大值为( )‎ A.-4 B. C. -2 D.-1‎ ‎10.下列命题:①在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率,越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量平均减少0.5个单位;④对分类变量与,它们的随机变量的观测值来说,‎ 越小,“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是( )‎ A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个 ‎11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线的右支与抛物线交于两点,是抛物线的焦点,是坐标原点,且,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若的展开式的常数项是 .‎ ‎14.直线与圆相交于两点,若,则 .‎ ‎15.已知数列满足,则数列的通项公式 .‎ ‎16.已知函数满足,且当时.若在区间内,函数有三个不同零点,则的范围为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递减区间;‎ ‎(Ⅱ)在中,,,分别是角,,的对边,若,,的面积为,求边的长.‎ ‎18.为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度,某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中,各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查(满分100分),被抽取的观众的评分结果如图所示.‎ ‎(Ⅰ)计算:①甲地被抽取的观众评分的中位数;②乙地被抽取的观众评分的极差;‎ ‎(Ⅱ)用频率估计概率,若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查,记抽取的4人评分不低于90分的人数为,求的分布列与期望;‎ ‎(Ⅲ)从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下,求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.‎ ‎19.如图,已知,,,平面平面,,,为中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆的短轴长为,离心率为,点,是上的动点,为的左焦点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若点在轴的右侧,以为底边的等腰的顶点在轴上,求四边形面积的最小值.‎ ‎21.已知函数与函数的图像关于直线对称,函数.‎ ‎(Ⅰ)若,且关于的方程有且仅有一个解,求实数的值;‎ ‎(Ⅱ)当时,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的方程是,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求直线和曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)射线(其中)与曲线交于,两点,与直线交于点,求的取值范围.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数()‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式的解集;‎ ‎(Ⅱ)设函数,当时,函数的最小值为,且(),求的最小值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:AADBC 6-10: BDDCC 11、12:DA 二、填空题 ‎13. 5 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解:(Ⅰ)‎ 所以的最小正周期 令,解得 所以的单调递减区间是 ‎(Ⅱ)∵,‎ ‎∴,又∵∴‎ ‎∵,的面积为∴‎ ‎∴‎ ‎18.(Ⅰ)由茎叶图可知,甲地被抽取的观众评分的中位数是83,乙地被抽取的观众评分的极差是 ‎(Ⅱ)记“从乙地抽取1人进行评分调查,其评分不低于90分”为事件,则 随机变量的所有可能取值为,,且 所以,‎ 所以的分布列为 ‎∴‎ ‎(Ⅲ)由茎叶图可得,甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分,乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分,设事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,两人中至少一人评分不低于90分”,事件为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人,乙地观众评分低于90分”,‎ 所以 ‎ 根据条件概率公式,得.‎ 所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下,乙地被抽取的观众评分低于90分的概率为.‎ ‎19.(Ⅰ)证明:设中点为,连 ‎∵为中点,∴‎ 又由题意, ∴,且 ‎∴四边形为平等四边形,∴‎ ‎∵ ∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面.‎ 又平面,∴,∴又∴∴‎ ‎∵,平面,平面,∴平面.‎ ‎(Ⅱ)以点为原点,以方向为轴,以方向为轴,以方向为轴,建立如图所示坐标系,,,,,设平面的法向量,则∴取,‎ ‎∴‎ 设直线与平面所成角为,则,∴‎ 即直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.解:(Ⅰ)依题意得解得 ‎∴椭圆的方程是 ‎(Ⅱ)设 设线段中点为 ∵ ∴中点,直线斜率为 由是以为底边的等腰三角形∴‎ ‎∴直线的垂直平分线方程为 令 得 ∵ ∴‎ 由 ∴四边形面积 当且仅当即时等号成立,四边形面积的最小值为.‎ ‎21.解:∵函数与函数的图像关于直线对称,∴,‎ ‎∴‎ ‎(Ⅰ)令,则,即 令,则,‎ 令,则.‎ 因为,所以 所以在上是减函数,‎ 又,所以当时,,当时,.‎ 所以在上单调递增,在上单调递减,所以,‎ 又,,‎ 所以当函数有且仅有一个零点时,,∴.‎ ‎(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,‎ 易知,当时,恒成立,等价于.‎ 因为,令得,或 又,所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,即是的极大值点.‎ ‎∵‎ ‎∴,即为所求.‎ ‎22.解:(Ⅰ)∵,∴直线的极坐标方程是 由消参数得 ‎∴曲线的极坐标方程是 ‎(Ⅱ)将分别带入,得,‎ ‎∴‎ ‎∵,∴ ∴‎ ‎∴的取值范围是 ‎23.解:(Ⅰ)当时,化为 当时,不等式化为,解得 当时,不等式化为,解得 当时,不等式化为,解得 综上不等式的解集是 ‎(Ⅱ)当时,‎ 当且仅当时,即时,等号成立 所以,函数的最小值 所以,‎ 当且仅当,即时等号成立 所以的最小值是
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