江西省萍乡市莲花中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

江西省萍乡市莲花中学2019-2020学年高一下学期月考数学试题

数学试卷 满分150分，考试时间120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．‎ ‎ 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．‎ ‎3．考试中不能使用计算器．. ‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． ‎ ‎1．数列的一个通项公式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．执行下图所示的程序框图，若输出的，则输入的x为（ ）‎ A．0 B．1 C．0或1 D．0或e ‎4．在中，，，则的外接圆半径为（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎5．若各项为正数的等差数列的前n项和为，且，则（ ）‎ A．9 B．14 C．7 D．18‎ ‎6．在锐角中，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．中国数学家刘微在《九章算术注》中提出“割圆”之说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣.”意思是“圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的周长的极限是圆的周长，它的面积的极限是圆的面积”.如图，若在圆内任取一点，则此点取自其内接正六边形的边界及其内部的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知等比数列的前n项和为，若，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期n天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是（ ）‎ A． B．中位数为17‎ C．众数为17 D．日销售量不低于18的频率为0.5‎ ‎10．已知则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．《张丘建算经》中如下问题：“今有马行转迟，次日减半，疾五日，行四百六十五里，问日行几何?”根据此问题写出如下程序框图，若输出，则输入m的值为（ ）‎ A．240 B．220 C．280 D．260‎ ‎12．若，，则的最小值为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．‎ ‎13.围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．‎ ‎14．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.‎ ‎15．如图，在中，，，点D为BC的中点，设，.的值为___________.‎ ‎16．若不等式的解集为空集，则实数的能为___________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件花费的时间而作了次试验，得到的数据如下:‎ 零件的个数 (个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(Ⅰ)画出表中数据的散点图，并求关于的线性回归方程；‎ ‎(Ⅱ)试预测加工6个零件需要多少时间？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎ ,‎ ‎(18) （本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）已知，求证：；‎ ‎（Ⅱ）解关于的不等式：.‎ ‎(19)（本小题满分12分）‎ 某工厂36名工人的年龄数据如下表：‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎27‎ ‎28‎ ‎34‎ ‎2‎ ‎44‎ ‎11‎ ‎31‎ ‎20‎ ‎43‎ ‎29‎ ‎39‎ ‎3‎ ‎40‎ ‎12‎ ‎38‎ ‎21‎ ‎41‎ ‎30‎ ‎43‎ ‎4‎ ‎41‎ ‎13‎ ‎39‎ ‎22‎ ‎37‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎5‎ ‎33‎ ‎14‎ ‎43‎ ‎23‎ ‎34‎ ‎32‎ ‎42‎ ‎6‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎24‎ ‎42‎ ‎33‎ ‎53‎ ‎7‎ ‎45‎ ‎16‎ ‎39‎ ‎25‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎37‎ ‎8‎ ‎42‎ ‎17‎ ‎38‎ ‎26‎ ‎44‎ ‎35‎ ‎49‎ ‎9‎ ‎43‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎27‎ ‎42‎ ‎36‎ ‎39‎ ‎（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取一个容量为9的年龄样本，且在编号为第１～4号中用随机抽样法抽到的编号所对年龄数据为44，列出样本编号及样本的年龄数据；‎ ‎（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的平均值和方差；‎ ‎（Ⅲ）36名工人年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01）？‎ 附：．‎ ‎(20)（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）某学校成立了唱歌、跳舞、体育3个兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如右图所示．从参加兴趣小组的人中随机选取1个，求他至少参加了2个小组的概率；‎ ‎（Ⅱ）对某20个电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如下频率分布直方图(如右图).从中抽出的寿命在（）之间的元件中任取个,求恰好有一个寿命在（）之间且另一个寿命在（）之间的概率.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 在中，角所对的边分别为,已知.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小； ‎ ‎（Ⅱ）若，求使面积最大时的值.‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 已知数列是各项均不为0的等差数列,为它的前项和,且满足.数列 满足,为数列的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若, 有,求实数的取值范围．‎ 答案 一、 选择题（共60分）‎ 1- ‎-6 CDCABD 7--12 CDBBAD 二、 填空题（共20分）‎ ‎13. 14。. 15。 16。‎ 三、解答题：（共70分）‎ ‎17．（Ⅰ）：散点图：……………………………………………（2分）‎ ‎，，…………（4分）‎ ‎ ，，…………………………………………………………………（3分）‎ 于是可得：，…………………………………………………………（5分）‎ ‎．………………………………………………………………………………（6分）‎ 因此，所求回归直线方程为： ．………………………………………………（7分）‎ ‎ (Ⅱ)将代入回归直线方程得，(小时)，‎ ‎∴预测加工6个零件需要5.25小时． ………………………………………………………（10分）‎ ‎18．（Ⅰ）………………………………………………（1分）‎ ‎ ………………………………………………………………………（4分）‎ 当且仅当且，即时等号成立，……………………………………………（5分）‎ 所以.…………………………………………………………………………‎ ‎（6分）‎ ‎（Ⅱ）①当时，原不等式化为．……………………………………（7分）‎ 若，则．…………………………………………………………（8分）‎ 若，则．……………………………………………………………（9分）‎ ‎(2)当时，原不等式化为，……………………………………………（10分）‎ 因则.……………………………………………………………………………（11分）‎ 综上，当时，不等式解集；当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为．……………………………………………………（12分）‎ ‎19.（Ⅰ）由题意可知，所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34；………………（2分）‎ 对应样本的年龄数据依次是44,40,36,43,36,37,44,43,37．…………………………………（4分）‎ ‎（Ⅱ），…………………………………（6分）‎ ‎．……………………………………………………（8分）‎ ‎（Ⅲ）．……………………………………………………………………………………（9分）‎ ‎，，所以与之间共有23人， …………………………（11分）‎ 所占百分比63.89%. ‎ ‎∴ 年龄在与之间共有人，所占百分比为．……………………（12分）‎ ‎20．（Ⅰ）由图可知，3个兴趣小组都参加了的人的人数为人，……（1分）‎ 故3个兴趣小组的总人数为人．……………………………………………（2分）‎ 选取的1个成员只参加1人小组事件的概率，……………………（4分）‎ 所以，选取的1个成员至少参加了2人小组事件的概率…… (6分)‎ ‎（Ⅱ）根据题意 0.001×100+2×100+0.002×100+0.004×100=1，所以，y0=0.0015．…（7分）‎ 寿命在100~200间的元件有个，寿命在200~300间的元件有个．…………………………………………………………………………（8分）‎ 寿命在100~200之间的2个元件分别记，在200~300之间的3个分别记为，‎ 从中任取2个，其基本事件为：‎ ‎,,，共10个．（10分）‎ 恰好有一个寿命在100~200，另一个寿命在200~300的事件为 ‎ ，共有6个基本事件．……………………‎ ‎（11分）‎ 所以，恰好有一个寿命在100~200，另一个寿命在200~300的概率为．（12分）‎ ‎21.( Ⅰ)因为及由正弦定理，可得 ‎，………………………………………………………………………（2分）‎ 即 ……………………………………………………（3分）‎ ‎．………………………………………………………………………（4分）‎ ‎，从而．……………………………………………………（5分）‎ ‎．…………………………………………………………………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，得．……………………………（8分）‎ 由基本不等式，………………………………………………（9分）‎ ‎，当且仅当时等号成立．………………………………………………………（10分）‎ ‎，……………………………………………………………（11分）‎ ‎，面积最大值为，此时．…………………………………‎ ‎（12分）‎ ‎22．(Ⅰ)，∵. ………………………………………………………（1分）‎ ‎∵，‎ 设数列的公差为，∴，解得或2. ……………………………（2分）‎ 当时，不满足条件，舍去，∴. ……………………………………………（3分）‎ ‎∴数列的通项公式为. …………………………………………………………（4分）‎ ‎(Ⅱ)∵，……………………………………（6分）‎ ‎∴.……………………………………（7分）‎ ‎①当为偶数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可．………………………………………………………………………………………（8分）‎ ‎∵，等号在时取得，∴. ………………………………………………（9分）‎ ‎②当为奇数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可．……………………………………………………………………………………（10分）‎ ‎∵为增函数，∴时，取得最小值，∴. ………(11分）‎ 综上①②可得的取值范围是)．……………………………………………………（12分）‎