高中数学必修4教案：3_备课资料（1_2_1 任意角的三角函数）
备课资料
1 一、一个三角不等式的证明
已知θ∈(0,),求证:sinθ<θ
同时成立的α的取值范围是( )
A.(,) B.(0,)
C.(,2π) D.(0,)∪(,2π)
3.在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围是_______.
4.如图14,点B、C在x轴的负半轴上,且BC=CO,角α的顶点重合于坐标原点O,始边重合于x轴的正半轴,终边落在第二象限,点A在角α的终边上,且有∠BAC=45°,∠CAO=90°,求sinα,cosα,tanα.
图14
5.求函数y=+lg(25-x2)的定义域.
6.设0<β<α<,求证:α-β>sinα-sinβ.
7.当α∈［0,2π)时,试比较sinα与cosα的大小.
参考答案:
1.D 2.D
3.(,)
4.解:∵AB是∠CAO的外角的平分线,∴==.
在Rt△ACO中,设AC=a,则AO=2a,CO=,∴sin∠CAO==.
∵角α的终边与OA重合,而OA落在第二象限,
∴sinα=,cosα=,tanα=.
5.x∈(-5,］∪［,］∪［,5).
6.解:如图15,设单位圆与角α,β的终边分别交于P1,P2,作P1M1⊥x轴于M1,作P2M2⊥x轴于M2,
图15
作P2C⊥P1M于C,连结P1P2,则
sinα=M1P1,sinβ=M2P2,α-β=,
∴α-β=>P1P2>CP1=M1P1-M1C=M1P1-M2P2=sinα-sinβ,
即α-β>sinα-sinβ.
图16
7.解:如图16.
(1)当0≤α<时,设角α的终边与单位圆交于点P1(x1,y1),此时x1>y1,而sinα=y1,
cosα=x1,
∴cosα>sinα.
(2)当α=时,x1=y1,此时sinα=cosα.
(3)当<α≤时,设角α的终边与单位圆交于点P2(x2,y2),此时y2>x2,而sinα=y2,
cosα=x2,
∴sinα>cosα.
(4)当<α≤π时,sinα≥0,cosα<0,∴sinα>cosα.
(5)当π<α<时,设角α的终边与单位圆交于点P3(x3,y3),此时x3cosα.
(6)当α=时,有sinα=cosα.
(7)当<α≤时,设角α的终边与单位圆交于点P4(x4,y4),此时y4sinα.
综上所述,当α∈(,)时,sinα>cosα;
当α=或时,sinα=cosα;
当α∈［0,)∪(,2π)时,sinα
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