高中数学必修4教案：2_3_1平面向量基本定理

高中数学必修4教案：2_3_1平面向量基本定理

‎2. 3.1 平面向量基本定理 学习目标 ‎1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.‎ ‎2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.‎ ‎3.了解向量的夹角与垂直的概念。‎ 重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义。‎ 教学难点:平面向量基本定理的运用.‎ 教学过程 引子：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？‎ 问题：如图，设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与、之间的关系.‎ 请完成：‎ ① 给定平面内任意两个不共线的非零向量、，请你作出向量=3+2、=-2.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ② 由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量、来表示向量,那么 ‎ 平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示呢? ‎ ‎【由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量、表示出来.当、确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.】‎ 由此可得:‎ ‎【平面向量基本定理】: ‎ 如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使=λ1+λ2.‎ ‎【定理说明】:‎ ‎(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;‎ ‎(2)基底不唯一,关键是不共线;‎ ‎(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;‎ ‎(4)基底给定时,分解形式唯一.‎ 提出问题 ① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？‎ ‎ ‎ 已知两个非零向量和 (如图),作=,=,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角.‎ ‎ 显然,当θ=0°时, 与同向;当θ=180°时, 与反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.‎ ‎ 如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作⊥.‎ ‎②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？‎ 例1、已知向量、 (如图),求作向量-2.5+3. ‎ ‎ 练习：‎ ‎1.设、是同一平面内的两个向量，则有( )‎ A. 、一定平行 B. 、的模相等 C.同一平面内的任一向量都有 ＝λ+μ (λ、μ∈R)‎ D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有=λ+u (λ、u∈R)‎ ‎2.已知向量 ＝-2， ＝2+，其中、不共线，则+与 ＝6-2的关系（　）‎ A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 ‎３.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且＝λ1+λ2，则与 ，与 ．(填“共线”或“不共线”).‎ ‎4.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎5.设与是两个不共线向量, =3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.‎ ‎6.【能力提升题】已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.‎ 课堂小结 ‎1.回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,‎ ‎ 2.总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.‎ 作业布置 已知向量、 (如图),求作向量（1）+2.（2）-+3‎ ‎ ‎