2020高考数学二轮复习练习：第一部分 小题分类练 小题分类练（六） 数学文化类含解析

2020高考数学二轮复习练习：第一部分 小题分类练 小题分类练（六） 数学文化类含解析

小题分类练(六)　数学文化类 一、选择题 ‎1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积术”．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积术”为S＝.若c2sin A＝4sin C，B＝，则用“三斜求积术”求得△ABC的面积为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎2．(2019·怀化模拟)《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1 200个．若在这座楼阁的灯球中，随机选取1个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎3．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为P＝24 423－1，第19个梅森素数为Q＝24 253－1，则下列各数中与最接近的数为(　　)‎ ‎(参考数据，lg 2≈0.3)‎ A．1045 B．1051 ‎ C．1056 D．1059‎ ‎4．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝1瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且该图表示的函数模型为f(x)＝则该人喝1瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)(　　)‎ 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100 mL)‎ 饮酒后驾车 ‎≥20，<80‎ 醉酒后驾车 ‎≥80‎ A．5 h B．6 h C．7 h D．8 h ‎5．(2019·漳州质检)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有(　　)‎ A.(87－8)人 B.(89－8)人 C.人 D.人 ‎6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种质量单位)在这个问题中，戊所得为(　　)‎ A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 ‎7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．(2019·合肥质量检测)我国古代名著《张丘建算经》中记载：今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问亭方几何？大致意思：有一个正四棱锥下底边长为二丈，‎ 高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)(　　)‎ A．1 946立方尺 B．3 892立方尺 C．7 784立方尺 D．11 676立方尺 ‎9．(2019·郑州模拟)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点B(－1，0)，C(0，2)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为(　　)‎ A．2x－4y－3＝0 B．2x＋4y＋3＝0‎ C．4x－2y－3＝0 D．2x＋4y－3＝0‎ ‎10．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m个(m为正整数)，若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎11．(多选)(2019·四川资阳模拟)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：‎ AQI指数值 ‎0～50‎ ‎51～100‎ ‎101～150‎ ‎151～200‎ ‎201～300‎ ‎＞300‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市10月1日～20日AQI指数变化趋势：‎ 下列叙述正确的是(　　)‎ A．这20天中AQI指数值的中位数略高于100‎ B．这20天中的中度污染及以上的天数占 C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好 D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎12．(多选)(2019·湖北八校联考)太极图是一种优美的对称图形．如果一个函数的图象能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”．下列命题中错误的命题为(　　)‎ A．对于任意一个圆，其对应的“太极函数”不唯一 B．如果一个函数是两个圆的“太极函数”，那么这两个圆为同心圆 C．圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的一个“太极函数”为f(x)＝x3－3x2＋3x D．圆的“太极函数”的图象均是中心对称图形 ‎13．(多选)如图1，直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合)，下面说法不正确的是(　　)‎ A．存在某一位置，使得CD∥平面ABFE B．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE C．在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立 D．在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF恒成立 二、填空题 ‎14．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．‎ 加油时间 加油量(升)‎ 加油时累计 里程(千米)‎ ‎2018年10月1日 ‎12‎ ‎35 000‎ ‎2018年10月15日 ‎60‎ ‎35 600‎ ‎(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．‎ ‎15．魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”．刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为________．‎ ‎16．小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝ 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：‎ ‎①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；‎ ‎②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；‎ ‎③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.‎ 其中正确结论的序号有________．(注：请写出所有正确结论的序号)‎ ‎17.我国古代数学著作《算法统宗》第八卷“商功”第五章撰述：“刍荛(chú ráo)：倍下长，加上长，以广乘之，又以高乘，用六归之．如屋脊：上斜下平．”刘徽注曰：止斩方亭两边，合之即“刍甍”之形也．即将方台的两边切下来合在一起就是“刍甍”，是一种五面体(如图)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为________，体积为________．‎ ‎ ‎ 小题分类练(六)　数学文化类 ‎1．解析：选A.根据正弦定理，由c2sin A＝4sin C，可得ac＝4.结合B＝，可得a2＋c2－b2＝4，则S△ABC＝＝，故选A.‎ ‎2．解析：选B.设大灯下缀2个小灯有x个，大灯下缀4个小灯有y个，根据题意可得解得x＝120，y＝240，则灯球的总数为x＋y＝360，故这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为＝，故选B.‎ ‎3．解析：选B.由题知＝≈2170，令2170＝k，则lg 2170＝lg k．所以170lg 2＝lg k．又lg 2≈0.3，所以51＝lg k，即k＝1051，所以与最接近的数为1051.故选B.‎ ‎4．解析：选B.由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时，故选B.‎ ‎5．解析：选D.‎ 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共8＋84＋85＋86＋87＋88＝8＋＝8＋(89－84)(人)，故选D.‎ ‎6．解析：选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为(a－2d)钱，(a－d)钱，a钱，(a＋d)钱，(a＋2d)钱．由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，得a－2d＋a－d＝a＋a＋d＋a＋2d，即a＝－6d.又五人分五钱，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝5，所以a＝1，则a＋2d＝a＋2×(－)＝＝.故选B.‎ ‎7．解析：选D.从4个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种；4，6和2，8，所以能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P＝＝.故选D.‎ ‎8．解析：选B.由题意可知正四棱锥的高为30，所截得正四棱台的下底面边长为20，上底面边长为6.设棱台的高OO1＝h，由△PA1O1∽△PAO可得＝，解得h＝21，可得正四棱台体积V＝×21×(62＋202＋6×20)＝3 892(立方尺)，故选B.‎ ‎9．解析：选D.因为B(－1，0)，C(0，2)，所以线段BC的中点坐标为(－，1)，线段BC所在直线的斜率kBC＝2，则线段BC的垂直平分线的方程为y－1＝－×(x＋)，即2x＋4y－3＝0，因为AB＝AC，所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，所以△ABC的欧拉线方程为2x＋4y－3＝0.故选D.‎ ‎10．解析：选B.由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成公差为m的等差数列，设“男”分得的橘子个数为a1，其前n项和为Sn，则S5＝5a1＋m＝80，即a1＋2m＝16，且a1，m均为正整数，若a1＝2，则m＝7，此时a5＝30，若a1＝4，m＝6，此时a5＝28，若a1＝6，m＝5，此时a5＝26，若a1＝8，m＝4，此时a5＝24，若a1＝10，m＝3，此时a5＝22，若a1＝12，m＝2，此时a5＝20，若a1＝14，m＝1，此时a5＝18，所以“公”恰好分得30个橘子的概率为.故选B.‎ ‎11．解析：选ABD.对于A，20天中AQI指数值有10个低于100，10个高于100，其中位数略高于100，正确；‎ 对于B，20天中AQI指数值高于150的天数为5，即占总天数的，正确；‎ 对于C，该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天，‎ 空气质量越来越差，错误；‎ 对于D，总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D正确．‎ ‎12．解析：选BD.对于A，圆的对称轴有无数条，因此它对应的“太极函数”也有无数个，故A正确；‎ 对于B，当两圆的圆心在同一条直线上时，该直线对应的函数为这两个圆的“太极函数”，故B错误；‎ 对于C，因为f(x)＝x3－3x2＋3x＝(x－1)3＋1，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)成中心对称，又圆(x－1)2＋(y－1)2＝4关于点(1，1)成中心对称，故函数f(x)＝x3－3x2＋3x是圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的一个“太极函数”，故C正确；‎ 对于D，如图，过圆心C的“太极函数”的图象不是中心对称图形，故D错误．‎ ‎13．解析：选ABD.在A中，因为四边形DEFC是梯形，DE∥CF，所以CD与EF相交，所以CD与平面ABFE相交，故A错误；‎ 在B中，因为四边形DEFC是梯形，DE⊥CD，所以DE与EF不垂直，所以不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故B错误；‎ 在C中，因为四边形ABFE是梯形，AE∥BF，BF⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，所以在翻折的过程中，BF∥平面ADE恒成立，故C正确；‎ 在D中，因为四边形ABFE是梯形，AB⊥BF，所以BF与FE不垂直，在翻折的过程中，BF⊥平面CDEF不成立，故D错误．‎ ‎14．解析：因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝10(升)．‎ 答案：10‎ ‎15．解析：若正方体的棱长为2，则内切球的半径r＝1，所以正方体的内切球的体积V球＝π×13＝π.又已知＝，所以V牟合方盖＝×π＝.‎ 答案： ‎16．解析：由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故①正确；当1，故③错误．‎ 答案：①②‎ ‎17．解析：由题意知该五面体的表面积S＝S矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2××2×＋2××(2＋4)×＝8＋8.‎ 过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，取BC的中点P，连接PF，过F作FQ⊥AB，垂足为Q，连接OQ.‎ 因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，所以OP＝(AB－EF)＝1，PF＝＝，OQ＝BC＝1，所以OF＝＝，‎ 采用分割的方法，分别过点F，E作与平面ABCD垂直的平面，这两个平面把几何体分割成三部分，‎ 如图，包含一个三棱柱EMNFQH，两个全等的四棱锥：EAMND，FQBCH，‎ 所以这个几何体的体积V＝VEMNFQH＋2VFQBCH＝S△QFH×MQ＋2×S矩形QBCH×FO＝×2××2＋2××1×2×＝.‎ 答案：8＋8