北京市丰台区2020届高三上学期期末练习 数学试题

北京市丰台区2020届高三上学期期末练习 数学试题

丰台区2019—2020学年度第一学期期末练习 ‎ 高三数学 2020.01‎ 第一部分 （选择题 共40分） ‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．若集合，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2． 命题“”的否定是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3． 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，‎ 则此四面体在坐标平面上的正投影图形的面积为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D） ‎ ‎5．已知菱形边长为1，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．双曲线的离心率为 ‎·14·‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D） ‎ ‎7．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8. 在的展开式中，常数项是 ‎（A）‎ ‎（B） ‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为（单位：），鲑鱼的耗氧量的单位数为. 科学研究发现与成正比. 当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为. 当时，其耗氧量的单位数为 ‎（A）‎ ‎（B） ‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎10. 在边长为的等边三角形中，点分别是边上的点，满足且，将△沿直线折到△的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是 ‎ （A）在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面 ‎ ‎（B）存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面 ‎（C）若，当二面角为直二面角时， ‎ ‎（D）在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎·14·‎ ‎11. 复数的实部为 ．‎ ‎12. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成 种重卦．（用数字作答）‎ ‎13. 已知分别为△内角的对边，且，则 ．‎ ‎14. 我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件：‎ ‎①所有的奇数项满足，所有的偶数项满足；‎ ‎②任意相邻的两项，满足.‎ 根据上面的信息完成下面的问题：‎ ‎（i）数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）；‎ ‎（ⅱ）若，则数列 “有趣数列”（填“是”或者“不是”）.‎ ‎15．已知抛物线的焦点为，则的坐标为 ；过点的直线交抛物线于两点，若，则△的面积为 ．‎ ‎16．定义域为的函数同时满足以下两条性质：‎ ‎①存在,使得；‎ ‎②对于任意，有.‎ 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数.‎ ‎（i）若是增函数，则 ；‎ ‎（ⅱ）若不是单调函数，则 .‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎·14·‎ ‎17.（本小题共13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最大值.‎ ‎18.（本小题共14分）‎ 如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为. ‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求 出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎19.（本小题共13分）‎ 目前，中国有三分之二的城市面临“垃圾围城”的窘境. 我国的垃圾处理多采用填埋的方式，占用上万亩土地，并且严重污染环境. 垃圾分类把不易降解的物质分出来，减轻了土地的严重侵蚀，减少了土地流失. ‎2020年5月1日起，北京市将实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类 .生活垃圾中有30%~40%可以回收利用，分出可回收垃圾既环保，又节约资源. 如：回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，可以挽救17棵大树，少用纯碱‎240千克，降低造纸的污染排放75％，节省造纸能源消耗40％～50％.‎ 现调查了北京市5个小区12‎ ‎·14·‎ 月份的生活垃圾投放情况，其中可回收物中废纸和塑料品的投放量如下表：‎ A小区 B小区 C小区 D小区 E小区 废纸投放量（吨）‎ ‎5‎ ‎5.1‎ ‎5.2‎ ‎4.8‎ ‎4.9‎ 塑料品投放量（吨）‎ ‎3.5‎ ‎3.6‎ ‎3.7‎ ‎3.4‎ ‎3.3‎ ‎（Ⅰ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取1个小区，求该小区12月份的可回收物中，废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨的概率；‎ ‎（Ⅱ）从A，B，C，D，E这5个小区中任取2个小区，记X为12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区个数，求X的分布列及期望．‎ ‎20.（本小题共13分）‎ 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.‎ ‎21.（本小题共14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数的取值范围.‎ ‎·14·‎ ‎22.（本小题共13分）‎ ‎ 已知，给定个整点,其中.‎ ‎ （Ⅰ）当时,从上面的个整点中任取两个不同的整点，求的所有可能值；‎ ‎ （Ⅱ）从上面个整点中任取个不同的整点，.‎ ‎ （i）证明：存在互不相同的四个整点，满足,‎ ‎；‎ ‎（ii）证明：存在互不相同的四个整点，满足 ‎,‎ ‎（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）‎ 丰台区2019~2020学年度第一学期期末练习 高三数学 参考答案及评分参考 ‎ 2020．01‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C C B ‎ B A A B C D D 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎11． 12．15 13．‎ ‎14．是；是 15．； 16．；(答案不唯一)‎ 注：第14、15、16题第一空3分，第二空2分.‎ ‎·14·‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． ‎ ‎17.（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎. ……………….4分（Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ ‎ 因为，所以. ‎ ‎ 当，即时，‎ 取得最大值. ……………….13分 ‎ ‎ ‎18.（本小题共14分）‎ 证明：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.‎ 因为，所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以. ………….4分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，‎ ‎·14·‎ 如图，建立空间直角坐标系． ‎ 因为，‎ 所以，，，.‎ 因为平面，‎ 所以即为平面的一个法向量.‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎，， ‎ 则 即 ‎ 令，则.‎ 于是.‎ 所以.‎ 由题知二面角为锐角，所以其余弦值为.………….10分 ‎（Ⅲ）假设棱上存在点，使得平面.‎ 由，又，故.‎ ‎ 因为，为的中点，所以.‎ 所以.‎ 若平面，则，解得.‎ 又因为平面.‎ ‎·14·‎ ‎ 所以在棱上存在点，使得平面，且.……………….14分 ‎ ‎19．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）记“该小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过3.5吨”为事件. ‎ ‎ 由题意，有B，C两个小区12月份的可回收物中废纸投放量超过5吨且塑料品投放量超过 ‎3.5吨，‎ 所以. ……………….4分 ‎ ‎（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸，‎ ‎ 所以12月份投放的废纸可再造好纸超过4吨的小区有B，C，共2个小区.‎ ‎ 的所有可能取值为0，1，2.‎ ‎ ；‎ ‎；‎ ‎.‎ 所以的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎． ‎ ‎………….13分 ‎20.（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，‎ ‎ 所以半径等于原点到直线的距离，，即.‎ ‎·14·‎ ‎ 由离心率，可知，且，得.‎ 故椭圆的方程为. ……………….4分 ‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的方程可知.‎ 若直线的斜率不存在，则直线方程为，‎ 所以.‎ 则直线的方程为，直线的方程为.‎ ‎ 令，得，.‎ ‎ 所以两点的纵坐标之积为.‎ 若直线的斜率存在，设直线的方程为,‎ 由得，‎ 依题意恒成立.‎ 设， ‎ 则. ‎ 设，‎ 由题意三点共线可知，‎ 所以点的纵坐标为.‎ 同理得点的纵坐标为.‎ 所以.‎ ‎·14·‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 综上，两点的纵坐标之积为定值.‎ ‎ ……………….13分 ‎ ‎21．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）当时，因为 所以，.‎ 又因为，‎ 所以曲线在点处的切线方程为. ……………….4分 ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以.‎ 令，解得或.‎ 若，当即或时，函数单调递增；‎ ‎ 当即时，函数单调递减.‎ 若，则，‎ 当且仅当时取等号，函数是增函数.‎ 若，当即或时，函数单调递增.‎ 当即时，函数单调递减.‎ 综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； ‎ ‎·14·‎ 时，函数单调递增区间为；‎ 时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎…….9分 ‎（Ⅲ） 令，解得或.‎ 当时，随变化， 变化情况如下表：‎ 由表可知，此时 ，不符合题意.‎ 当时，随变化， 变化情况如下表： ‎ 由表可得 ，‎ 且，，‎ 所以只需 即 解得.‎ 当时，在恒成立，符合题意.‎ 当时，‎ ‎·14·‎ 只需 即 解得. ‎ 当时，，不符合题意.‎ 综上，实数的取值范围是. ……………….14分 ‎22．（本小题共13分）‎ 解:（Ⅰ）当时，4个整点分别为.‎ 所以的所有可能值. ……………….3分 ‎ （Ⅱ）（i）假设不存在互不相同的四个整点，‎ 满足.‎ 即在直线中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为.‎ 而，‎ 与已知矛盾.‎ 故存在互不相同的四个整点，满足.‎ ‎（ii）设直线上有个选定的点.‎ 若，设上的这个选定的点的横坐标为，且满足.‎ 由，‎ 知中任意不同两项之和至少有个不同的值，这对于也成立.‎ 由于中任意不同两项之和的不同的值恰有个，‎ ‎·14·‎ 而,‎ 可知存在四个不同的点，‎ 满足, ……………….13分 ‎（若用其他方法解题，请酌情给分）‎ ‎·14·‎