数学卷·2018届江苏省泰州二中高二上学期期中数学试卷（解析版）

数学卷·2018届江苏省泰州二中高二上学期期中数学试卷（解析版）

‎2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是　　．‎ ‎2．已知函数f（x）=x2+ex，则f'（1）=　　．‎ ‎3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的　　条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）‎ ‎4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为　　‎ ‎5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为　　．‎ ‎6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=　　．‎ ‎7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为　　．‎ ‎8．双曲线x2﹣=1的离心率是　　，渐近线方程是　　．‎ ‎9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为　　．‎ ‎10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．‎ ‎12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．‎ ‎13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．‎ ‎14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求直线l的方程．‎ ‎（2）求线段AB长．‎ ‎16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣3x，‎ ‎（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．‎ ‎19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．‎ ‎21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．‎ ‎（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；‎ ‎（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省泰州二中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）‎ ‎1．命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是　∀x＜﹣1，x2＜1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x＜﹣1，x2≥1”的否定是∀x＜﹣1，x2＜1；‎ 故答案为：∀x＜﹣1，x2＜1．‎ ‎　‎ ‎2．已知函数f（x）=x2+ex，则f'（1）=　2+e　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求函数的导数，结合函数的导数公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数f′（x）=2x+ex，‎ 则f′（1）=2+e，‎ 故答案为：2+e．‎ ‎　‎ ‎3．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的　充分不必要　条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义，先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论．由a与b都是偶数我们可以得到a+b是偶数，但是由a+b是偶数，a与b都是偶数不一定成立，根据定义不难得到结论．‎ ‎【解答】解：∵a与b都是偶数⇒a+b是偶数为真命题，‎ 但a+b是偶数时，a与b都是偶数不一定成立，‎ 故a+b是偶数⇒a与b都是偶数为假命题 故“a与b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎　‎ ‎4．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f（4）+f′（4）的值为　5.5　‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】先从图中求出切线过的点，利用导数在切点处的导数值为斜率得到切线的斜率，最后结合导数的几何意义求出f′（4）的值．‎ ‎【解答】解：如图可知f（4）=5，f'（4）的几何意义是表示在x=4处切线的斜率，故，‎ 故f（4）+f'（4）=5.5．‎ 故答案为：5.5‎ ‎　‎ ‎5．抛物线x2+y=0的焦点坐标为　（0，﹣）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 x2=﹣2py 的焦点坐标为（0，﹣），求出抛物线x2+y=0的焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线x2+y=0，即x2=﹣y，∴p=， =，‎ ‎∴焦点坐标是 （0，﹣），‎ 故答案为：（0，﹣）．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=　1　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2‎ ‎，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．‎ ‎【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，‎ 因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，‎ 则c==2，解得k=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎7．已知曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为　6x﹣6y+3﹣π=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数的导数，可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线斜率，求出切点，由点斜式方程可得切线的方程．‎ ‎【解答】解：曲线y=x+sinx的导数为y′=cosx+，‎ 可得曲线y=x+sinx，在x=处的切线斜率为=1，‎ 切点为（，），‎ 可得曲线y=x+sinx，则此曲线在x=处的切线方程为y﹣=x﹣，‎ 即为6x﹣6y+3﹣π=0，‎ 故答案为：6x﹣6y+3﹣π=0．‎ ‎　‎ ‎8．双曲线x2﹣=1的离心率是　2　，渐近线方程是　y=　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】双曲线x2﹣=1中，a=1，b=‎ ‎，c=2，即可求出双曲线的离心率与渐近线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，‎ ‎∴e==2，渐近线方程是y=±x．‎ 故答案为：2，y=．‎ ‎　‎ ‎9．已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为　3　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．‎ ‎【解答】解：由椭圆的第一定义得 点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，‎ 再由椭圆的第二定义得 ‎=e=，‎ ‎∴点P到右准线的距离d=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=x2﹣8lnx，若对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，则a的取值范围为　0≤a≤1　．‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由条件推出函数为减函数，先求出导函数，然后将函数f（x）是单调递减函数，转化成f′（x）=2x﹣≤0在（a，a+1）上恒成立，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：∵对∀x1，x2∈（a，a+1）均满足，∴f（x）在（a，a+1）单调递减函数，‎ ‎∵f（x）=x2﹣8lnx，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣‎ ‎∵函数f（x）是单调递减函数，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣≤0在（a，a+1）上恒成立 ‎∴（0，2]⊇（a，a+1）‎ ‎∴0≤a≤1，‎ 故答案为：0≤a≤1．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共11小题.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎11．求函数y=cos（2x﹣1）+的导数．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据函数的导数公式进行求导即可．‎ ‎【解答】解：函数的导数y′=﹣2sin（2x﹣1）﹣2•=﹣2sin（2x﹣1）﹣．‎ ‎　‎ ‎12．已知方程=1表示椭圆，求k的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆标准方程的形式可得，解可得k的取值范围，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，若方程=1表示椭圆，‎ 必有，解可得2＜k＜4且k≠3，‎ 即k的取值范围是（2，3）∪（3，4）；‎ 故k的取值范围是（2，3）∪（3，4）．‎ ‎　‎ ‎13．已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点到渐近线的距离为，并且以椭圆的焦点为顶点．求该双曲线的标准方程．‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】求出椭圆的焦点坐标，可得双曲线的顶点坐标，利用双曲线的焦点到渐近线的距离为，求出b，可得a，即可求该双曲线的标准方程．‎ ‎【解答】解：椭圆的焦点坐标为（±2，0），为双曲线的顶点，‎ 双曲线的焦点到渐近线的距离为，∴=b=，‎ ‎∴a==，‎ ‎∴该双曲线的标准方程为=1．‎ ‎　‎ ‎14．已知p：﹣2≤≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出命题p，q的等价形式，利用¬p是¬q的必要不充分条件，求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由：﹣2≤≤2得﹣6≤x﹣4≤6，即﹣2≤x≤10，‎ 由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，‎ 即1﹣m≤x≤1+m，m＞0，‎ 若￢p是￢q的必要不充分条件，‎ 即q是p的必要不充分条件，‎ 即，即，解得m≥9．‎ ‎　‎ ‎15．倾斜角的直线l过抛物线y2=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．‎ ‎（1）求直线l的方程．‎ ‎（2）求线段AB长．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式求出直线方程即可．‎ ‎（2）联立直线方程与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．‎ ‎【解答】解：（1）根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），‎ 直线AB的斜率为k=tan45°=1，‎ 由直线方程的点斜式方程，设AB：y=x﹣1，‎ ‎（2）将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，‎ 整理得：x2﹣6x+1=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=6，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=8．‎ ‎　‎ ‎16．已知a∈R，命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由于命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可得出当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a的取值范围．由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可知：命题p与命题q必然一真一假，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，令f（x）=x2﹣a，‎ 根据题意，只要x∈[1，2]时，f（x）min≥0即可，‎ 也就是1﹣a≥0，解得a≤1，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]； ‎ 命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1．‎ ‎∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，‎ ‎∴命题p与命题q必然一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假时，，∴﹣2＜a＜1，‎ 当命题p为假，命题q为真时，，∴a＞1，‎ 综上：a＞1或﹣2＜a＜1．‎ ‎　‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣3x，‎ ‎（1）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）﹣m=0有三个不同的实数根，求m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先设切点坐标为（t，t3﹣3t），利用导数求出在x=t处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎（2）把判断方程f（x）=m何时有三个不同的实数根的问题，转化为判断两个函数何时有三个不同交点的问题，数形结合，问题得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵f′（x）=3x2﹣3，‎ 设切点坐标为（t，t3﹣3t），‎ 则切线方程为y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），‎ ‎∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），‎ 化简得t3﹣3t2=0，∴t=0或t=3．‎ ‎∴切线的方程：3x+y=0或24x﹣y﹣54=0．‎ ‎（2）由f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0，得x=1或x=﹣1．‎ 当x＜﹣1或x＞1时，f'（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）‎ 上f（x）单调递增，在[﹣1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（﹣1）=2，‎ 在R上f（x）的极小值为f（1）=﹣2．‎ 函数方程f（x）=m在R上有三个不同的实数根，即直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点，‎ 由f（x）的大致图象可知，当m＜﹣2或m＞2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象没有交点；‎ 当m=﹣2或m=2时，y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有两个交点；‎ 当﹣2＜m＜2时，直线y=m与函数f（x）=﹣3x+x3的图象有三个交点．‎ 因此实数m的取值范围是﹣2＜m＜2．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，过点P作两条互相垂直的直线l1，l2‎ 与椭圆C分别交于另两点M，N．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l1的斜率为﹣1，求△PMN的面积．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意推导出=1，且c2=2b2，再由a，b，c之间的关系，能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）由于直线l1的斜率已确定，则可由其与椭圆联立方程组，求出点M的坐标，因两直线垂直，当k≠0时，用代替k，进而求出点N的坐标，得M（﹣2，0），N（1，1），再由两点意距离公式能求出△PMN的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点P（﹣1，﹣1），c为椭圆的半焦距，且c=b，‎ 过点P作两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N，‎ ‎∴，解得b2=，a2=4．‎ ‎∴椭圆方程为： =1．‎ ‎（2）设l1方程为y+1=k（x+1），‎ 联立，‎ 消去y得（1+3k2）x2+6k（k﹣1）x+3（k﹣1）2﹣4=0．‎ ‎∵P（﹣1，1），解得M（，）．‎ 当k≠0时，用﹣代替k，得N（，），‎ 将k=1代入，得M（﹣2，0），N（1，1），‎ ‎∵P（﹣1，﹣1），∴PM=，PN=2，‎ ‎∴△PMN的面积为=2．‎ ‎　‎ ‎19．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】首先分析题目求长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大．故可设容器的高为x，体积为V，求出v关于x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值．‎ ‎【解答】解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，‎ 则有V=（90﹣2x）（48﹣2x）x=4x3﹣276x2+4320x，（0＜x＜24）‎ 求导可得到：V′=12x2﹣552x+4320‎ 由V′=12x2﹣552x+4320=0得x1=10，x2=36．‎ 所以当x＜10时，V′＞0，‎ 当10＜x＜36时，V′＜0，‎ 当x＞36时，V′＞0，‎ 所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，‎ 所以当x=10，V有最大值V（10）=19600‎ 故答案为当高为10，最大容积为19600．‎ ‎　‎ ‎20．若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A，B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为2，又OA⊥OB，求a，b的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．由韦达定理得M（，）．由kOM=2，得a=2b，由OA⊥OB，得a+b=2．由此能求出a，b．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．‎ 联立，得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．‎ ‎∴=， =1﹣=．‎ ‎∴M（，）．‎ ‎∵kOM=2，∴a=2b．①‎ ‎∵OA⊥OB，∴=﹣1．‎ ‎∴x1x2+y1y2=0．‎ ‎∵x1x2=，y1y2=（1﹣x1）（1﹣x2），‎ ‎∴y1y2=1﹣（x1+x2）+x1x2‎ ‎=1﹣+=．‎ ‎∴=0．‎ ‎∴a+b=2．②‎ 由①②得a=，b=．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．‎ ‎（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；‎ ‎（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可； ‎ ‎（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及可知[g（x）]max=g（e）=e+1．‎ 利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，‎ ‎∴，其定义域为（0，+∞），‎ ‎∴． ‎ ‎∵x=1是函数h（x）的极值点，‎ ‎∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．‎ ‎∵a＞0，∴． ‎ 经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，‎ ‎∴；‎ ‎（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于 对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．‎ 当x∈[1，e]时，．‎ ‎∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．‎ ‎∴[g（x）]max=g（e）=e+1．‎ ‎∵，且x∈[1，e]，a＞0．‎ ‎①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，‎ ‎∴函数在[1，e]上是增函数，‎ ‎∴．‎ 由1+a2≥e+1，得a≥，‎ 又0＜a＜1，∴a不合题意；‎ ‎②当1≤a≤e时，‎ 若1≤x＜a，则，‎ 若a＜x≤e，则．‎ ‎∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．‎ ‎∴[f（x）]min=f（a）=2a．‎ 由2a≥e+1，得a≥，‎ 又1≤a≤e，∴≤a≤e；‎ ‎③当a＞e且x∈[1，e]时，，‎ ‎∴函数在[1，e]上是减函数．‎ ‎∴．‎ 由≥e+1，得a≥，‎ 又a＞e，∴a＞e；‎ 综上所述：a的取值范围为．‎