江苏省如皋中学2019～2020学年度第一学期高一期末数学模拟二

江苏省如皋中学2019～2020学年度第一学期高一期末数学模拟二

江苏省如皋中学 2019～2020 学年度第一学期高一期末 数学模拟练习（二） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求. 1.已知全集  1,2,3, 4U = ，集合  1, 4A = ，  2, 4B = ，则 ( )UAB=∩ （ ）． A.  2 B.  4 C.  1 D.  1, 2, 4 2.若幂函数 ( )fx的图象经过点 ( )3, 3 ，则 ( )4f = （ ）． A. 16 B. 2− C. 2 D. 2 3.函数 ( ) ( )lg 1 3f x x x= + + − 的定义域为（ ）． A. ( ,3− B. ( 1,3− C.  0,3 D. ( )1,3− 4.已知弧长为 π cm 的弧所对的圆心角为 π 4 ，则这条弧所在的扇形面积为（ ）cm2． A. B. 4π C. 2π D. 2π 5.已知向量 ( )4, 2a = ， ( )3, 1b =−，则向量 a 与b 的夹角为（ ）． A. B. 3π 4 C. 或 D. π 3 6.如图是函数 ( ) ( )sinf x A x=+（ 0A  ， 0 ， 2   ），在一个周期内的图象， 则其解析式是（ ）． A. ( ) π3sin 3 f x x=+ B. ( ) π3sin 2 3 f x x=+ C. ( ) π3sin 2 3 f x x=− D. ( ) π3sin 2 6 f x x=+ 7.若 tan 2 = ，则 22sin 3sin cos  −=（ ）． A. 10 B. 2 5  C. 2 D. 2 5 8.已知向量 ， 满足| | | | 2a b a b= = + = ，则 2ab+=（ ）． A. 27 B. 2 C. 23 D. 25 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题的四个选项中，有多项 符合项目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9. 下列判断中错误的是（ ） A．函数 12 += xy 是指数函数； B．函数 22 20192019 xxy −+−= 既是偶函数又是奇函数； C．函数 x y 1= 的单调递减区间是 ),0()0,( +−  ； D．   . 10.已知函数 ( ) 4sin 2 4 f x x =− ，则下列说法中正确的为（ ） A.函数 3 4 y f x =+ 为偶函数； B.要得到函数 g(x) = −4cos2x 的图象，只需将函数 y = f(x)的图象向右平移 8  个单位长度； C.函数 y = f(x)的图象关于直线 5 8 x =− 对称； D.函数 y = f(x)在[0，2π]内的增区间为 30, 8   和 7 11, 88   11.关于 x 的方程 02cossin2 2 =+− axx 有解，则整数 a 的取值可能为（ ） A . -2 B. -1 C.0 D. 1 12.已知函数 )(xf 的定义域是 R，对任意 ( ) ( ) 02, =−+ xfxfRx ，当  )1,1−x 时， xxf =)( .关于函数 给出下列四个命题，其中真命题为（ ） A. 函数 是奇函数； B. 函数 是周期函数； C. 函数 的全部零点为 Zkkx = ,2 ； D. 当  )3,3−x 时，函数 ( ) x xg 1= 的图像与函数 的图像有且只有三个公共点。 三、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分. 13.若 cos 2 2 3sin( ) 4 a a  = + ，sin cosaa= ______． 14.若 ( ) ( )21 1, 1 1 ,1 xx fx x x  − + =   ，且 23f a f a−（ ）＜（ ），则实数 a 的取值范围是______． 15.在 ABC△ 中，已知| | 2AB = ， 1AC = ，点 M 在边 BC 上，4 BM BC= ， 2AM CB=， 则 AB AC=______． 16.函数 2( ) 3 1| 4 3 1 1( 0)xxf x m m= − − − + 在 R 上有 4 个零点，则实数 m 的取值范围 是______． 四、解答题:本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 17. 设集合 2{ | 2 32 }A x y x log x= = − + −（ ），  | 2 2xB y y a x a a R= =   + ， ， ，全 集UR= ． （1）若 2a = ，求 UC B A（ ） ； （2）若 A B A=，求实数 a 的取值范围． 18.在 中，已知 (1,2)AB = ， (4, )( 0)AC m m=． （1）若 90ABC =  ，求 m 的值； （2）若| | 3 2BC = ，且 2BD DC= ，求cos ADC 的值． 19.如图，在平面直角坐标系中，角， 的始边均为 x 轴正半轴，终边分别与圆 O 交于 A， B 两点，若 7 12 （ ， ）， 12  = ，且点 A 的坐标为 1Am−（ ， ）． （1）若 42 3 tan  =− ，求实数 m 的值； （2）若 3 4 tan AOB = − ，若sin 2 的值． 20.已知奇函数 2 3() 22 xbfx x += + ，函数 2 21g t sin t cost= + −（ ） ， [] 3 tm ， ，m ，bR ． （1）求 b 的值； （2）判断函数 fx（ ）在[0 ]1，上的单调性，并证明； （3）当 ]1[0x ， 时，函数 gt（ ）的最小值恰为 的最大值，求 m 的取值范围． 21.如图，某城市拟在矩形区域 ABCD 内修建儿童乐园，已知 2AB = 百米， 4BC = 百米， 点 E，N 分别在 AD，BC 上，梯形 DENC 为水上乐园；将梯形 EABN 分成三个活动区域，M 在 AB 上，且点 B，E 关于 MN 对称．现需要修建两道栅栏 ME，MN 将三个活动区域隔开．设 BNM =，两道栅栏 的 总长度 ()L ME MN =+． （1）求 ()L  的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）求 的最小值及此时 的值. 22.已知向量 2 4 a sin x =+（ （ ）， 3− ）， 4 b sin x =+（ （ ）， 20cos x（ ））（ ＞ ），函数 ( ) 1f x a b=  − ， 的最小正周期为 ． （1）求 的单调增区间； （2）方程 2 1 0f x n− + =（ ） ；在 7[0 ] 12 ， 上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围； （3）是否存在实数 m 满足对任意 x1∈[-1，1]，都存在 x2∈R，使得 14x + 14 x− +m（ 12x - 12 x− ） +1＞f（x2）成立．若存在，求 m 的 取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.D 8.C 9.AC 10. 11.BC 12.BC 13. 4 9 14. 1 2 −（ ， ） 15. 3 2 16. ( )3, 4 17. 设集合 2{ | 2 32 }A x y x log x= = − + −（ ），  | 2 2xB y y a x a a R= =   + ， ， ，全 集UR= ． （1）若 2a = ，求 UC B A（ ） ； （2）若 A B A=，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） { | 2 4UC B A x x = （ ） ＜ 或16 32}x＜ ＜ ；（ 2）13a ＜ 【分析】 （1）求定义域得集合 A，求出 时集合 B，再根据集合的定义计算即可； （2）由 得出 BA ，由此列不等式求出实数 a 的取值范围． 【详解】（1）集合 2 20{ | 2 32 } { | } { | 2 32} 32 0 xA x y x log x x x x x −= = − + − = =  − （ ） ＜ ， 时， { | 2xB y y==，  2 4} | 4 16x y y  =   ， 又全集 ， { | 4UC B x x=＜ 或 16}x＞ ， { | 2 4UC B A x x（ ） ＜  =  或16 32}x＜ ＜ ； （2） A B A B A =  ， ， 又  2| 2 2aaB y y +=   ， { | 2 32}A x x=＜ ， 2 22 2 32 a a+    ， 解得实数 a 的取值范围是13a ＜ ． 18.在 ABC△ 中，已知 (1,2)AB = ， (4, )( 0)AC m m=． （1）若 90ABC =  ，求 m 的值； （2）若| | 3 2BC = ，且 2BD DC= ，求cos ADC 的值． 【答案】（1） 1 2 m = （2） 72 10 − 【分析】 （1）由题意可知 0AB BC=，结合向量的数量积的性质即可求解 m （2）由 32BC = ，结合向量数量积的性质可求 m，然后结合 2BD DC= ，及向量夹角 公式 || DA DCcos ADC DA DC = 即可求. 【详解】（1）若 90ABC = ，则 ， 32BC AC AB m= − = −（ ， ）， 3 2 4 0m + − = ， 1 2 m=． （2） 32BC = ， ( )29 2 3 2m+ − = ， 0m＞ ， 5m=， 2BD DC= ， 1 11 3 DC BC = =（ ，）， 2 22 3 BD BC==（ ，）， 而 34AD AB BD （ ，）= + = ， 34DA = − −（ ， ）， 3 1 4 1 7 2 1052 DA DCcos ADC DA DC  −  −   = = = − ． 19.如图，在平面直角坐标系中，角， 的始边均为 x 轴正半轴，终边 分别与圆 O 交于 A，B 两点，若 7 12 （ ， ）， 12  = ，且点 A 的坐标为 1Am−（ ， ）． （1）若 42 3 tan  =− ，求实数 m 的值； （2）若 3 4 tan AOB = − ，若sin 2 的值． 【答案】（1） 1 2 m = （2） 7 24 3 50 − 【分析】 （1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan 的值，再利用任意角的三角函数的定义求得 m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得 12 sin  −（ ）和 12 cos  −（ ）的值，再利用两角 和的正弦公式求得 22 66 sin sin = − + （ ） 的值． 【详解】（1）由题意可得 2 242 13 tantan tan   = = − − ， 1 2 tan = − ，或 2tan = ． 7 12 （ ， ）， ，即 1 12 m =− − ， 1 2 m=． （2） sin 312 12 4cos 12 tan AOB tan tan     − = − = − = = − − （ ） （ ） ， 22 111, , 12 12 12 2 12 sin cos           − + − = −           ， 34 12 5 12 5 sin cos − = − = −（ ） ， （ ） ， 2422 6 12 12 25 sin sin cos（ ） （ ） （ ）     − = − − = − ， 2 72 2 1 6 12 25 cos cos− = − − =（ ） （ ） ， 7 24 32 2 2 2 6 6 6 6 6 6 50 sin sin sin cos cos sin         − = − + = − + − = （ ） （ ） （ ） 20.已知奇函数 2 3() 22 xbfx x += + ，函数 2 21g t sin t cost= + −（ ） ， [] 3 tm ， ，m ，bR ． （1）求 b 的值； （2）判断函数 fx（ ）在[0 ]1，上的单调性，并证明； （3）当 ]1[0x ， 时，函数 gt（ ）的最小值恰为 的最大值，求 m 的取值范围． 【答案】（1）0（2） 在 递增（3） 33 m＜− 【分析】 （1）由奇函数的性质可得 00f =（ ） ，解方程即可得到 b； （2） 2 3 22 xfx x = + （ ） 在 01， 单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、 定符号和下结论等步骤； （3）由（2）可得 fx（ ）的最大值，即可得到 gt（ ）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象 和性质，可得所求范围． 【详解】（1）奇函数 f（x） 2 3 22 xb x += + ，可得 f（0）＝0， 即 b＝0； （2）f（x） 2 3 22 x x = + 在[0，1]单调递增， 证明：设 x1，x2 是[0，1]上任意两个值，且 x1＜x2， f（x2）﹣f（x1） 3 2 = （ 21 22 2111 xx xx − ++） • ( )( ) ( )( ) 2 1 1 2 22 21 1 11 x x x x xx −− ++， 由 x1，x2∈[0，1]，且 x1＜x2， 可得 x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0， 即有 f（x2）﹣f（x1）＞0，即 f（x2）＞f（x1）， 可得 f（x）在[0，1]递增； （3）由（2）可得 f（x）在[0，1]递增，可得 f（x）max＝f（1） 3 4 = ， 可得 g（t）的最小值为 3 4 ， 令 s＝cost，所以 s＝﹣s2+2s 的最小值为 ， 所以 1 2  s 3 2  ，即 cost≤1，t∈[m， 3  ]， 由 y＝cost 的图象可得 3 −m 3 ＜ ． 21.如图，某城市拟在矩形区域 ABCD 内修建儿童乐园，已知 2AB = 百米， 4BC = 百米，点 E，N 分别在 AD，BC 上，梯形 DENC 为水上乐园；将梯形 EABN 分成三个活动区域， M 在 AB 上，且 点 B，E 关于 MN 对称．现需要修建两道栅栏 ME，MN 将三个活动 区域隔开．设 BNM =，两道栅栏 的 总长度 ()L ME MN =+． （1）求 ()L  的函数表达式，并求出函数的定义域； （2）求 的最小值及此时 的值. 【答案】（1） ( ) 22 11 cos cos sin L     =+ , , 12 4   （2） ()L  的最小值为 4 百米，此时 6  = 【分析】 （1）根据对称性得到 BNM =， cos 2 cos 2AM EM BM==，计算得到 ( ) 22 11 cos cos sin L ME MN    = + = + ，再计算定义域得到答案. （2）化简得到 ( ) 1() 1 sin sin L   = − ，设 sint = ， 6 2 2, 42 t − 令 ( ) 2t t t = − + ，求其最大值得到答案. 【详解】（1）在矩形 ABCD 中， B ，E 关于 MN 对称， 2AME  = ，且 BM EM= 在 Rt AEM 中， 又 2AM BM+=百米 cos 2 2BM BM + = 2 21 1 cos 2 cos BM EM   = = = + Rt EMN 中， 2 1 sin cos sin EMMN    == 在 Rt BMN 中， 1cos sin cos BN MN   == 02BM， 04BN 2 102 cos 104 sin cos 0 2            ， 解得 12 4  ，∴函数的定义域为 ． （2） ( ) ( )22 2 1 1 1 sin 1() cos cos sin 1 sin sin1 sin sin L ME MN       += + = + = = −− 令 sint = ， , 12 4   ， 6 2 2, 42 t − 令 ( ) 2t t t = − + ， 则当 1 6 2 2, 2 4 2 t −= ，即 6  = 时取最大值，最大值为 1 4 百米 ()L  的最小值为 4 百米，此时 ． 22.已知向量 2 4 a sin x =+（ （ ）， 3− ）， 4 b sin x =+（ （ ）， 20cos x（ ））（ ＞ ）， 函数 ( ) 1f x a b=  − ， fx（ ）的最小正周期为 ． （1）求 的单调增区间； （2）方程 2 1 0f x n− + =（ ） ；在 7[0 ] 12 ， 上有且只有一个解，求实数 n 的取值范围； （3）是否存在实数 m 满足对任意 x1∈[-1，1]，都存在 x2∈R， 使得 14x + 14 x− +m（ 12x - 12 x− ）+1＞f（x2）成立．若存在，求 m 的 取值范围；若不存在，说 明理由． 【答案】（1） 5[] 12 12 kk−+， ，kZ （2）1 3 1 22 n− 或 3 2 n = （3）存在，且 m 取值范围为 29 29 66 − ， 【分析】 （1）函数 ， 的最小正周期为 ．可得 ，即可求解 的单调增区 间． （2）根据 x 在 70 12   ， 上求解 的值域，即可求解实数 n 的取值范围； （3）由题意，求解 2fx（ ）的最小值，利用换元法求解 1 1 1 14 4 2 2 1x x x xym−−= + + − +（ ） 的最 小值，即可求解 m 的范围． 【详解】（1）函数 f（x） a= •b − 1＝2sin2（ωx 4 + ） 3− cos（2ωx）﹣1 ＝sin（2ωx） cos（2ωx） ＝2sin（2ωx 3 − ） ∵f（x）的最小正周期为π．ω＞0 ∴ 2 2    = ， ∴ω＝1． 那么 f（x）的解析式 f（x）＝2sin（2x 3 − ） 令 2 2 k  −2x 2 32 k −  + ，k∈Z 得： 12 k  −x 5 12 k + ∴f（x）的单调增区间为[ 12 k  − ， 5 12 k  + ]，k∈Z． （2）方程 f（x）﹣2n+1＝0；在[0， 7 12  ]上有且只有一个解， 转化 为 函数 y＝f（x）+1 与函数 y＝2n 只有一个交点． ∵x 在[0， ]上， ∴ 3 −（2x ） 5 6  那么函数 y＝f（x）+1＝2sin（2x ）+1 的值域为[13− ，3]，结合图象可知 函数 y＝f（x）+1 与函数 y＝2n 只有一个交点． 那么13−2n＜1 或 2n＝3， 可得1 3 1 22 n＜−  或 n＝ 3 2 ． （3）由（1）可知 f（x）＝2sin（2x ） ∴f（x2）min＝﹣2． 实数 m 满足对任意 x1∈[﹣1，1]，都存在 x2∈R， 使得 1144xx−++m（ 1122xx−− ）+1＞f（x2）成立． 即 m（ ）+1＞﹣2 成立 令 y 1144xx−= + + m（ ）+1 设 1122xx−−=t，那么 1144xx−+=（ ）2+2＝t2+2 ∵x1∈[﹣1，1]， ∴t∈[ 3 2 − ， ]， 可得 t2+mt+5＞0 在 t∈[ 3 2 − ， 3 2 ]上成立． 令 g（t）＝t2+mt+5＞0， 其对称轴 t 2 m=− ∵t∈[ ， ]上， ∴①当 3 22 m−  − 时，即 m≥3 时，g（t）min＝g（ ） 29 3 0 42 m=−＞ ，解得 293 6 m ＜ ； ②当 33 2 2 2 m−−＜ ＜ ，即﹣3＜m＜3 时，g（t）min＝g（ 2 m− ） 2 5 4 m=− ＞0，解得﹣3＜m ＜3； ③当 3 22 m− ，即 m≤﹣3 时，g（t）min＝g（ ） 29 3 0 42 m=+＞ ＞0，解得 29 6 − ＜m≤﹣ 3； 综上可得，存在 m，可知 m 的取值范围是（ 29 6 − ， 29 6 ）．