数学文·广东省揭阳市普宁一中2017届高三上学期期末数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·广东省揭阳市普宁一中2017届高三上学期期末数学试卷（文科） Word版含解析

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．设集合A={x|0≤x＜4}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|1≤x≤3} B．{x|0≤x＜4} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}‎ ‎2．已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（　　）‎ A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i ‎3．已知等比数列，则“a1＞0”是“a2017＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”‎ B．在△ABC中，“A＞B”是“sin2A＞sin2B”必要不充分条件 C．“若tanα，则”是真命题 D．∃x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立 ‎5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎6．已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（　　）‎ A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b ‎7．函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＞2或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|0＜x＜4}‎ ‎8．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin，y2=3sin，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（　　）‎ A．6 B．3+3 C．3 D．3‎ ‎9．下列四个图中，函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知=（cos23°，cos67°），=（2cos68°，2cos22°），则△ABC的面积为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（　　）（注：圆台侧面积公式为S=π（R+r）l）‎ A．17π+3π B．20π+5π C．22π D．17π+5π ‎12．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（　　）‎ A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若等比数列{an}的前n项和为Sn，，则公比q=　　．‎ ‎14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为　　．‎ ‎15．已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=　　．‎ ‎16．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎18．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣1+2an ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=log2an+1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求+…+．‎ ‎19．如表是某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果如下：‎ 月份 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎1‎ 历史（x 分）‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ ‎87‎ 政治（y 分）‎ ‎77‎ ‎79‎ ‎79‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎（Ⅰ）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；‎ ‎（Ⅱ）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程．‎ 参考公式： ==， =﹣，，表示样本均值．‎ ‎20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，‎ PA=，AC∩BD=O ‎（Ⅰ）设平面ABP∩平面DCP=l，证明：l∥AB ‎（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE 的体积VP﹣BCE．‎ ‎21．已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=2‎ ‎（Ⅰ）直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）点A在C1上，点B在C2上，求|AB|的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|‎ ‎（Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省揭阳市普宁一中高三（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1．设集合A={x|0≤x＜4}，B={x∈N|1≤x≤3}，则A∩B=（　　）‎ A．{x|1≤x≤3} B．{x|0≤x＜4} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵A={x|0≤x＜4}，B={x∈N|1≤x≤3}={1，2，3}，‎ ‎∴A∩B={1，2，3}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（a∈R）有实根b，且z=a+bi，则复数z等于（　　）‎ A．2﹣2i B．2+2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】把b代入方程，化简利用复数相等的条件，求a、b即可得到复数z．‎ ‎【解答】解：把实根b，代入方程x2+（4+i）x+4+ai=0，得方程b2+（4+i）b+4+ai=0‎ 所以b2+4b+4=0且b+a=0，所以b=﹣2，a=2 所以z=2﹣2i 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．已知等比数列，则“a1＞0”是“a2017＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用通项公式求解得出a2017=a1q2016，利用充分必要条件的定义求解．‎ ‎【解答】解：∵a1＞0，q=0‎ a2017=a1q2016＞0，‎ ‎∴“a1＞0”是“a2017＞0”的充分条件；‎ ‎∵a2017=a1q2016＞0，‎ ‎∴a1＞0，‎ ‎∴“a1＞0”是“a2017＞0”的必要条件；‎ 等比数列，则“a1＞0”是“a2017＞0”的充要条件 故选：C ‎　‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”‎ B．在△ABC中，“A＞B”是“sin2A＞sin2B”必要不充分条件 C．“若tanα，则”是真命题 D．∃x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，命题的否定既要否定条件又要否定结论；‎ B，在△ABC中，“A＞B”⇒a＞b⇒a2＞b2⇒（2RsinA）2＞（2RsinB）2⇒sin2A＞sin2B，反之亦然；‎ C，若tanα，则+kπ⇒；‎ D，∀x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立；‎ ‎【解答】解：对于A，命题的否定既要否定条件又要否定结论，故错；‎ 对于B，在△ABC中，“A＞B”⇒a＞b⇒a2＞b2⇒（2RsinA）2＞（2RsinB）2⇒sin2A＞sin2B，反之亦然，应是充要分条件，故错；‎ 对于C，若tanα，则+kπ⇒，故正确；‎ 对于D，∀x0∈（﹣∞，0）使得3＜4成立，故错；‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】由A1B∥D1C，得异面直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C．‎ ‎【解答】解：∵A1B∥D1C，‎ ‎∴异面直线直线A1B与AD1所成的角为∠AD1C，‎ ‎∵△AD1C为等边三角形，‎ ‎∴∠AD1C=60°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它们的大小关系是（　　）‎ A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】根据指数函数的单调性可判断a，b与1的大小，利用对数函数的单调性可判断c，d与0及1的大小，然后判定选项．‎ ‎【解答】解：∵d=log0.31.8＜log0.31=0，c=log25＞log24=2，0＜b=0.90.1＜0.90=1，1.71＞a=1.70.3＞1.70=1‎ ‎∴d＜0＜b＜1＜a＜2＜c 故选：A ‎　‎ ‎7．函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＞2或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞4} D．{x|0＜x＜4}‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据二次函数f（x）的对称轴为y轴求得b=2a，再根据函数在（0，+∞‎ ‎）单调递增，可得a＞0．再根据函数在（0，+∞）单调递增，可得a＞0，f（x）=ax2﹣4a．再利用二次函数的性质求得f（2﹣x）＞0的解集．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）=ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，‎ ‎∴二次函数f（x）的对称轴为y轴，‎ ‎∴﹣=0，且a≠0，‎ 即 b=2a，∴f（x）=ax2﹣4a．‎ 再根据函数在（0，+∞）单调递增，可得a＞0．‎ 令f（x）=0，求得 x=2，或x=﹣2，‎ 故由f（2﹣x）＞0，可得 2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，解得 x＜0，或x＞4，‎ 故f（2﹣x）＞0的解集为 {x|x＜0或x＞4}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：y1=3sin，y2=3sin，则这两个声波合成后（即y=y1+y2）的声波的振幅为（　　）‎ A．6 B．3+3 C．3 D．3‎ ‎【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．‎ ‎【分析】根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵y1=3sin，y2=3sin，‎ ‎∴y=y1+y2=3sin+3sin ‎=sin﹣cos100πt ‎=3sin，‎ 则函数的振幅为3，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．下列四个图中，函数y=的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】构造函数y=，则函数为奇函数，其则图象关于原点对称，根据图象得平移即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设y=，则函数为奇函数，其则图象关于原点对称，‎ 当x＞1时，y＞0，当0＜x＜1时，‎ y＜0，‎ 而y=的图象是由 y=的图象向左平移一个单位得到的，‎ 故选：C ‎　‎ ‎10．已知=（cos23°，cos67°），=（2cos68°，2cos22°），则△ABC的面积为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【考点】正弦定理；平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】根据题意，利用，的坐标，可得，的模，由数量积公式，可得的值，进而由cos∠B=，可得cos∠B，由余弦函数的性质，可得∠B，最后由三角形面积公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意， =（cos23°，cos67°），则=﹣（cos23°，sin23°），有||=1，‎ 由于， =（2cos68°，2cos22°）=2（cos68°，sin68°），则||=2，‎ 则=﹣2（cos23°cos68°+sin23°sin68°）=﹣2×cos45°=﹣，‎ 可得：cos∠B==﹣，‎ 则∠B=135°，‎ 则S△ABC=||•||sin∠B==；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为（　　）（注：圆台侧面积公式为S=π（R+r）l）‎ A．17π+3π B．20π+5π C．22π D．17π+5π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体，其表面积由半球面，圆台的侧面，圆台的下底面组成，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体，‎ 圆台的上底面半径r=2，下底面半径R=3，‎ 母线l==，‎ 故圆台的侧面积为：π（R+r）l=5π，‎ 圆台的下底面面积为：πR2=9π，‎ 半球的半径为2，‎ 故半球面的面积为：2π•22=8π，‎ 故组合体的表面积S=5π+9π+8π=17π+5π，‎ 故选：D ‎　‎ ‎12．已知a∈R，若f（x）=（x+）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（　　）‎ A．a＞0 B．a≤1 C．a＞1 D．a≤0‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求导数，分类讨论，利用极值、函数单调性，即可确定a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=（x+）ex，‎ ‎∴f′（x）=（）ex，‎ 设h（x）=x3+x2+ax﹣a，‎ ‎∴h′（x）=3x2+2x+a，‎ a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，‎ ‎∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，‎ ‎∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，‎ 且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，‎ ‎∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；‎ a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，‎ 此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，‎ 即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1‎ ‎）上无极值；‎ a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），‎ ‎∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，‎ 即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．‎ 综上所述，a＞0．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．若等比数列{an}的前n项和为Sn，，则公比q=　1或　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∴a1+a2+a3=则a1+a2=3‎ ‎∴化简得2q2﹣q﹣1=0‎ 解得q=1或 故答案为：1或 ‎　‎ ‎14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人 来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．‎ ‎【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，‎ ‎∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，‎ ‎∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan（α+β）=　1　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，从而求得 tan（α+β）的值．‎ ‎【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0，‎ 可得6x2﹣5x+1=0，tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，‎ ‎∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，‎ ‎∴tan（α+β）===1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为　10　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】由题意可得偶函数y=f（x）为周期为4的函数，f（x）=sin|x|是偶函数，作出函数的图象，的交点的个数即为所求．‎ ‎【解答】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），‎ ‎∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），‎ ‎∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，‎ 由x∈[0，2]时f（x）=3﹣x2可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，‎ 同时作出函数y=sin|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．‎ 数形结合可得交点个为10，‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）利用正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．变形为（a+b）2﹣3ab=c2=7，又S=sinC=ab=，可得ab=6，可得a+b=5．即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB）‎ 由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），‎ 即a2+b2﹣c2=ab．‎ 所以cosC==，‎ 又C∈（0，π），所以C=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以（a+b）2﹣3ab=c2=7，‎ 又S=sinC=ab=，‎ 所以ab=6，‎ 所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．‎ 所以△ABC周长为a+b=c=5+．‎ ‎　‎ ‎18．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=﹣1+2an ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若bn=log2an+1，且数列{bn}的前n项和为Tn，求+…+．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出首项，进一步得当n≥2时，Sn﹣1=﹣1+2an﹣1，与原递推式联立可得an=2an﹣1（n≥2），即{an}是2为公比，1为首项的等比数列，再由等比数列的通项公式求得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）把数列通项公式代入bn=log2an+1，求出数列{bn}的前n项和为Tn，再由裂项相消法求+…+．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，有Sn=﹣1+2an，①‎ 当n=1时，a1=﹣1+2a1，即a1=1．‎ 当n≥2时，Sn﹣1=﹣1+2an﹣1，②‎ ‎①﹣②得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1（n≥2）．‎ ‎∴{an}是2为公比，1为首项的等比数列，即．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），得，‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎==2．‎ ‎　‎ ‎19．如表是某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果如下：‎ 月份 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎1‎ 历史（x 分）‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ ‎87‎ 政治（y 分）‎ ‎77‎ ‎79‎ ‎79‎ ‎82‎ ‎83‎ ‎（Ⅰ）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；‎ ‎（Ⅱ ‎）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x，y的线性回归方程．‎ 参考公式： ==， =﹣，，表示样本均值．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，计算数据的平均数和方差即可；‎ ‎（Ⅱ）计算对应的数值，求出回归系数即可写出回归方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，计算=×（79+81+83+85+87）=83，…‎ ‎=×（77+79+79+82+83）=80；…‎ 所以政治成绩的方差为 ‎=×[（77﹣80）2+（79﹣80）2+（79﹣80）2+（82﹣80）2+（83﹣80）2]=4.8；…‎ ‎（Ⅱ）计算（xi﹣）（yi﹣）=30，‎ ‎=40，…‎ 所以回归系数为===0.75，…‎ ‎=﹣=80﹣0.75×83=17.75，…‎ 故所求的线性回归方程为 ‎=0.75x+17.75…‎ ‎　‎ ‎20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，PA=，AC∩BD=O ‎（Ⅰ）设平面ABP∩平面DCP=l，证明：l∥AB ‎（Ⅱ）若E是PA的中点，求三棱锥P﹣BCE 的体积VP﹣BCE．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由AB∥DC，知AB∥平面PDC，由此能证明l∥AB．‎ ‎（Ⅱ）推导出BD⊥AC，BD⊥PO，从而BO是三棱锥B﹣PCE的高，由VP﹣BCE=VB﹣PCE，能求出三棱锥P﹣BCE 的体积．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）因为AB∥DC，AB⊄平面PDC，DC⊂平面PDC，‎ 所以AB∥平面PDC．‎ 又平面ABP∩平面DCP=l，且AB⊂面ABP，‎ 所以l∥AB．‎ 解：（Ⅱ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．‎ 因为PB=PD，且O是BD中点，所以BD⊥PO．‎ 又PO∩AC=O，所以BD⊥面PAC．‎ 所以BO是三棱锥B﹣PCE的高．‎ 因为AO为边长为2的等边△ABD的中线，所以AO=．‎ 因为PO为边长为2的等边△PBD的中线，所以PO=．‎ 在△POA中，PA=，AO=，PO=，‎ 所以AO2+PO2=PA2，所以PO⊥AO．‎ 所以，‎ 因为E是线段PA的中点，所以．‎ 所以三棱锥P﹣BCE 的体积：‎ VP﹣BCE=VB﹣PCE==．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2，a∈R．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性结合函数零点的个数确定a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x﹣1）ex+ax2，‎ f′（x）=x（ex+2a），‎ ‎①a≥0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＜0，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；‎ ‎②﹣＜a＜0时，ln（﹣2a）＜0，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜ln（﹣2a），‎ 令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＜x＜0，‎ 故f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））递减，在（ln（﹣2a），0）递增，在（0，+∞）递减；‎ ‎③a=﹣时，ln1=0，f（x）在R递增；‎ ‎④a＜﹣时，ln（﹣2a）＞0，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞ln（﹣2a），‎ 令f′（x）＜0，解得：ln（﹣2a）＞x＞0，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，ln（﹣2a））递增，在（ln（﹣2a），+∞）递减；‎ ‎（Ⅱ）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（ex+2a）．‎ ‎①当a=0时，函数g（x）=（x﹣1）ex只有一个零点；‎ ‎②当a＞0，因为ex+2a＞0，‎ 当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．‎ 所以函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．‎ 又g（0）=﹣1，g（1）=a，‎ 因为x＜0，所以x﹣1＜0，ex＜1，所以ex（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1，‎ 取x0=，显然x0＜0且g（x0）＞0，‎ 所以g（0）g（1）＜0，g（x0）g（0）＜0，‎ 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．‎ ‎③当a＜0时，由g'（x）=x（ex+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．‎ ⅰ） 当a＜﹣，则ln（﹣2a）＞0．‎ 当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，0）‎ ‎0‎ ‎（0，ln（﹣2a））‎ ln（﹣2a）‎ ‎（ln（﹣2a），+∞）‎ g'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（x）‎ ‎↗‎ ‎﹣1‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 注意到g（0）=﹣1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．‎ ⅱ） 当a=﹣，则ln（﹣2a）=0，g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．‎ 若a＞﹣，则ln（﹣2a）≤0．‎ 当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：‎ x ‎（﹣∞，ln（﹣2a））‎ ln（﹣2a）‎ ‎（ln（﹣2a），0）‎ ‎0‎ ‎（0，+∞）‎ g'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ g（x）‎ ‎↗‎ ‎↘‎ ‎﹣1‎ ‎↗‎ 注意到当x＜0，a＜0时，g（x）=（x﹣1）ex+ax2＜0，g（0）=﹣1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．‎ 综上，a的取值范围是（0，+∞）．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=2‎ ‎（Ⅰ）直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）点A在C1上，点B在C2上，求|AB|的最小值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）把圆C1的参数方程变形，两式平方作和可得普通方程，进一步求得极坐标方程，展开两角和的正弦，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得直线和圆相离，由点到直线的距离减去圆的半径求得|AB|的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方作和得：（x+2）2+y2=4，‎ C1的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，‎ 由ρsin（θ+）=2，得，‎ 即，‎ 得x+y﹣4=0．‎ ‎（Ⅱ）C1是以点（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，C2是直线．‎ 圆心到直线C2的距离为＞2，直线和圆相离．‎ ‎∴|AB|的最小值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|‎ ‎（Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）将a的值带入，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；‎ ‎（Ⅱ）根据绝对值的性质得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＜4，即|x﹣2|+|x﹣1|＜4，‎ 可得，或或，‎ 解得：﹣＜x＜，所以不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．‎ ‎（Ⅱ）∵|x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1|，当且仅当（x﹣a）（x﹣1）≤0时等号成立，‎ 由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，‎ 即a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎2017年3月2日