湖北省名校大联考2019届高三一轮复习阶段性测评（三）数学（理）试题（图片版）

湖北省名校大联考2019届高三一轮复习阶段性测评（三）数学（理）试题（图片版）

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 设集合 U= 0，1，， ，2 ，A= 1，， ，2 ，B= x x2-4=， ，0 ，则 CU（A∩B）= A. ， ，0 B. ， ，1 C. 0，， ，1 D. 0，1，， ，2 2. 函数 f（x）= 1 x姨 -x 的定义域为 A.［0，+∞） B.（0，+∞） C. R D. x x≠， ，0 3． 命题“埚x0∈（0，+∞），lgx0= 1 x0 ”的否定是 A. 坌x埸（0，+∞），lgx= 1 x B. 坌x∈（0，+∞），lgx≠ 1 x C. 埚x0∈（0，+∞），lgx0≠ 1 x0 D. 埚x0埸（0，+∞），lgx0= 1 x0 4. 下列函数中，既是奇函数又在（0，1）上单调递增的是 A. f（x）=ex+x B. f（x）= 1 x -x C. f（x）=-ln x -x D. f（x）=sinx+x 5. 已知向量 a=（1，0），b= 1 2 ， 1 2埸 埸，则下列结论正确的是 A． a = b %% B． a·b= 1 4 C． a∥b D．（a-b）·b=0 6. 在各项均为正数的数列 an， ，中，a1=2，a 2 n+1 -2an+1an-3a2 n =0，Sn 为 an， ，的前 n 项和，若 Sn=242， 则 n= A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 7.“α=π 3 +2kπ，k∈Z”是“2cos2α+cosα-1=0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知实数 x，y 满足 1 2埸 埸x > 1 2埸 埸y ，则下列结论一定成立的是 A. cosxg′（x），则当 x∈［1，2］时，有 A. f（x）+g（1）≤g（x）+f（1） B. f（x）-f（2）≤g（x）-g（2） C. f（x）-f（1）>g（x）-g（1） D. f（x）+g（2）>g（x）+f（2） 12． 已知 f（x）=ex，当 x>0 时，不等式（x-k）f（x）+k+1>0（k 是整数）恒成立，则 k 的最大值是 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 理科数学试题 第 ２ 页（共 ４ 页） 姓名 准考证号 秘密★启用前 理科数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用 0.5 mm 黑 色笔迹签字笔写在答题卡上. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 理科数学试题 第 1 页（共 ４ 页） %%图 1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2+n+3，n∈N*，则 a8= ▲ . 14. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，E 为 CD 的中点，则A▲▲E·B▲▲E 的值 是 ▲ . 15. 设 x，y 满足约束条件 x+y≤7， x-3y≤-1， 3x-y≥5 ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ， 则 z=3x-y 的最大值是 ▲ . 16． 对于函数 f（x），若存在区间 A=［m，n］，使得 y y=f（x），x∈ A =A，则称函数 f（x）为“可等 域函数”，区间 A 为函数的一个“可等域区间”．给出下列四个函数： ①f（x）= x ； ②f（x）=2x2-1； ③f（x）= 1-2x ； ④f（x）=log2（2x-2）． 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的序号是 ▲ . 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 记函数 f（x）=log3 2x- 1 2≥ ≥的定义域为集合 M，函数 g（x）= log 1 3 （x2+2x）+1姨 的定义域为 集合 N. 求： （1）集合 M，N； （2）集合 M∩N，（CRM）∪N. 18.（12 分） 已知等差数列 an 中，a1+a5=22，a4=15，数列 bn 满足 4log2bn=an-3，n∈N*. （1）求数列 bn 的通项公式； （2）求数列 an·bn 的前 n 项和 Sn. 19.（12 分） 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 asinA= 3姨 cosA（ccosB+bcosC）． （1）求角 A； （2）若点 D 满足A▲▲D =2A▲▲C ，且 BD=3，2b+c=5，求△ABC 的面积． 20.（12 分） 已知函数 f（x）=log2（4x），g（x）=log2x 的图象如图所示，点 A（x1，y1）， B（x2，y2）在函数 y=f（x）的图象上，点 C（x3，y3）在函数 y=g（x）的图象 上，且线段 AC 平行于 y 轴. （1）证明：y1-y3=2； （2）若△ABC 是以角 C 为直角的等腰直角三角形，求点 B 的坐标. 21．（12 分） 已知函数 f（x）= x+a + 2x-3a ，a∈R. （1）当 a=1 时，求函数 f（x）的最小值； （2）若 1 4 0）. （1）求函数 f（x）的极值； （2）当 a=1 时，若 f（x）-1≥lnx+bx 恒成立，求实数 b 的取值范围. 理科数学试题 第 ３ 页（共 ４ 页） 理科数学试题 第 ４ 页（共 ４ 页） 一、选择题 1. C 【解析】∵B= -2， 2 ，∴A∩B= 2 ，∴CU（A∩B）= 0， 1 ，选C． 2. B 【解析】依题意x>0，故选B． 3． B 【解析】原命题的否定是全称命题，选B． 4. D 【解析】选项中B，D 为奇函数，其中D在（0，1）上单调递增，故选D. 5. D 【解析】因为a-b= 1 2 ，- 1 2∩ ∩，所以（a-b）·b=0，故选D. 6. A 【解析】由a 2 n+1-2an+1an-3a2 n=0，得（an+1-3an）（an+1+an）=0，即an+1=3an或an+1=-an，又各项均为正数，所以an+1=3an，因 为a1=2，an+1=3an，所以数列 an 为首项为2，公比为3的等比数列，则Sn= 2（1-3n） 1-3 =242，解得n=5，故选A. 7. A 【解析】当α= π 3 +2kπ时，2cos2α+cosα-1=0.而2cos2α+cosα-1=0时，cosα= 1 2 或cosα=-1，必要性不成立，故选A. 8. D 【解析】因为 1 2∩ ∩x > 1 2∩ ∩y ，所以x0，所以-b>0，即b<0；渐近线方程为x=-c，-c>0，即c<0；当f（x）=0 时，x= b a >0，所以x= b 2a>0，a<0.故选B. 11. B 【解析】设F（x）=f（x）-g（x），当x∈［1，2］时，f ′（x）-g′（x）>0，∴F′（x）=f ′（x）-g′（x）>0，∴F（x）在给定的区间上是 增函数，当x∈［1，2］时，F（1）≤F（x）≤F（2），解得f（x）-f（2）≤g（x）-g（2），故选B. 12． B 【解析】由题意可知x=1时不等式成立，得k< 2 e-1 +1，所以整数k≤2.接下来可证k=2时成立，设g（x）=xex-2ex+3（x> 0），得g′（x）=（x-1）ex（x>0），所以g（x）min=g（1）=3-e>0，所以k的最大值是2，故选B． 二、填空题 13. 16 【解析】由Sn=n2+n+3，得a8=S8-S7=16. 14. 3 4 【解析】ADDE·BDDE=（ADDD+DDDE）·（BDDC+CDDE）= ADDD+ 1 2 DDDC∩ ∩· ADDD- 1 2 DDDC∩ ∩=ADDD2- 1 4 DDDC2=1- 1 4 = 3 4 . 15. 13 【解析】不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数在点A（5，2）处取得最大值，所以最大值为3×5-2=13. 16． ②③ 【解析】在①中，（0，+∞）是f（x）= x 的可等域区间，但不唯一，故①不成立；在②中，f（x）=2x2-1≥-1，且 秘密★启用前 2018-2019 学年度高三一轮复习阶段性测评（三） 理科数学参考答案及解析 理科数学试题答案 第 1 页（共 4 页） f（x）在x≤0时递减，在x≥0时递增，若0∈［m，n］，则-1∈［m，n］，于是m=-1，又f（-1）=1，f（0）=-1，而f（1）=1，故n=1， ［-1，1］是一个可等域区间；若n≤0，则 2n2-1=m， 2m2-1=n∈ ，解得m= -1- 5姨 4 ，n= -1+ 5姨 4 >0，不合题意，若m≥0，则2x2-1=x 有两个非负解，但此方程的两解为1和- 1 2 ，也不合题意，故函数f（x）=2x2-1只有一个等可域区间［-1，1］，故②成 立；在③中，函数f（x）= 1-2x 的值域是［0，+∞），所以m≥0，函数f（x）= 1-2x 在［0，+∞）上是增函数，考察方程 2x-1=x，由于函数y=2x与y=x+1只有两个交点（0，1），（1，2），即方程2x-1=x只有两个解0和1，因此此函数只有一个 等可域区间［0，1］，故③成立；在④中，函数f（x）=log2（2x-2）在定义域（1，+∞）上是增函数，若函数f（x）= log2（2x-2）有等可域区间［m，n］，则f（m）=m，f（n）=n，但方程log2（2x-2）=x无解，故此函数无可等域区间，故④不成 立．综上，只有②③正确． 三、解答题 17. 解：（1）∵2x- 1 2 >0，∴M=（-1，+∞）， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分 ∵ x2+2x>0， log 1 3 （x2+2x）+1≥0 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨姨 姨 ，∴N=［-3，-2）∪（0，1］. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分 （2）M∩N =（0，1］， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分 （CRM）∪N =（-∞，-1］∪（0，1］. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10分 （其他解法请酌情给分） 18. 解：（1）由已知得 a1+a1+4d=22， a1+3d=15∈ ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分 解得 a1=3， d=4∈ ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分 ∴an=4n-1， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分 ∴bn=2n-1. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分 （2）由（1）知anbn＝（4n－1）2n-1，n∈N*. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分 所以Sn＝3＋7×2＋11×22＋…＋（4n－1）2n-1， 所以2Sn＝3×2＋7×22＋…＋（4n－5）2n-1＋（4n－1）2n， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10分 所以2Sn－Sn＝（4n－1）2n－［3＋4（2＋22＋…＋2n－1）］＝（4n－5）2n＋5. 故Sn＝（4n－5）2n＋5，n∈N*. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 12分 （其他解法请酌情给分） 19. 解：（1）∵asinA= 3姨 cosA（ccosB+bcosC）， ∴sinA·tanA= 3姨 （sinC·cosB+sinB·cosC）， ∴sinA·tanA= 3姨 sin（C+B）= 3姨 sinA， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3分 ∵0 3 2 a，所以此时x≥ 2a+1 3 . ②当-a-a，所以此时x≤-a. 综上可知，f（x）≥1的解集为（-∞，4a-1］∪ 2a+1 3 ，+ ∞∞ . !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 12分 （其他解法请酌情给分） 22. 解：（1）由f（x）=xeax得f ′（x）=（1+ax）eax， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1分 令f ′（x）=（1+ax）eax=0，得x=- 1 a ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分 当x<- 1 a 时，f ′（x）<0，当x>- 1 a 时，f ′（x）>0， 函数f（x）在 -∞，- 1 a 上单调递减；函数f（x）在 - 1 a ，+ ∞ 单调递增. 所以函数f（x）存在极小值，其极小值为f - 1 a =- 1 ea，无极大值. !!!!!!!!!!!!!!!! 5分 （2）由题意有xex-1≥lnx+bx 恒成立，即b≤ex- lnx x - 1 x 恒成立， 理科数学试题答案 第 4 页（共 4 页） 设g（x）=ex- lnx x - 1 x ， 则g′（x）=ex- 1-lnx x2 + 1 x2 = x2ex+lnx x2 ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 分 设h（x）=x2ex+lnx，下面证明h（x）=0有唯一解. 易知h（x）单调递增，且h（1）=e>0，所以若h（x）有零点x，则00，所以存在x0∈ 1 e ，∈ ∈1 ，使得 m（x0）=0，即方程x=-lnx有唯一解x0，即ex0= 1 x0 ， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 分 因此方程f（x）=f（-lnx）有唯一解x0， 所以h（x）=0有唯一解x0， 且当x∈（0，x0）时，h（x）<0，g（x）单调递减； 当x∈（x0，+∞）时，h（x）>0，g（x）单调递增； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 11 分 所以g（x）的最小值为g（x0）=ex0- lnx0 x0 - 1 x0 = 1 x0 -（-x0） x0 - 1 x0 =1， 所以b≤1. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分 （其他解法请酌情给分）