数学卷·2018届山东省济宁市曲阜师大附中高二上学期第一次质检数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届山东省济宁市曲阜师大附中高二上学期第一次质检数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二（上）第一次质检数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（　　）‎ A．0 B． C． D．﹣‎ ‎2．已知等比数列{an}满足：a2=2，a5=，则公比q为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣2 D．2‎ ‎3．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎4．在△ABC中，A=120°，b=1，△ABC的面积为，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a1，a7=﹣2，则a9=（　　）‎ A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2‎ ‎6．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12=32，则的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎7．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在 ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎9．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）‎ ‎10．已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2017的值是（　　）‎ A．20162 B．2014×2015 C．2015×2016 D．2016×2017‎ ‎11．若，α是第三象限的角，则=（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ ‎13．在△ABC中，若sinAcosA=sinBcosB，则△ABC形状为　　．‎ ‎14．数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n，则它的通项公式是　　．‎ ‎15．﹣的值是　　．‎ ‎16．设{an}为等比数列，下列命题正确的有　　（写出所有正确命题的序号）‎ ‎①设，则 {bn}为等比数列；‎ ‎②若an＞0，设cn=lnan，则 {cn}为等差数列；‎ ‎③设{an}前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；‎ ‎④设{an}前n项积为Tn，则．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）‎ ‎17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．‎ ‎18．已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎19．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{bn}的前n项和．‎ ‎20．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎21．已知等差数列{an}中，公差d＞0，又a2•a3=15，a1+a4=8．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记数列bn=an•2n，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn．‎ ‎22．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省济宁市曲阜师大附中高二（上）第一次质检数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．cos75°cos15°﹣sin75°sin15°的值是（　　）‎ A．0 B． C． D．﹣‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．‎ ‎【解答】解：cos75°•cos15°﹣sin75°sin15°‎ ‎=cos（75°+15°）‎ ‎=cos90°=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．已知等比数列{an}满足：a2=2，a5=，则公比q为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列通项公式求解．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}满足：a2=2，a5=，‎ ‎∴2q3=，‎ 解得q=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，已知a=，b=，A=30°，则c等于（　　）‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由a，b及cosA的值，利用余弦定理即可列出关于c的一元二次方程，求出方程的解即可得到c的值．‎ ‎【解答】解：由，利用余弦定理得：‎ ‎=+c2﹣2c×，即c2﹣3c+10=0，‎ 因式分解得：（c﹣2）（c﹣）=0，解得：c=2或．‎ 故选C ‎　‎ ‎4．在△ABC中，A=120°，b=1，△ABC的面积为，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【分析】根据三角形的面积公式，由A的度数，b的值和面积的值即可求出c的值，然后利用余弦定理，由A的度数，a与c的值即可求出a的值，利用正弦定理得到所求的式子等于a比sinA，把a的值和sinA的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：由A=120°，b=1，面积为，‎ 得到S=bcsinA=c•=，解得c=4，‎ 根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16+4=21，解得a=，‎ 根据正弦定理得： ==，‎ 则===2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8=4a1，a7=﹣2，则a9=（　　）‎ A．﹣6 B．﹣4 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由S8=4a1，a7=﹣2，得 ‎，解得：，‎ ‎∴a9=a1+8d=﹣14+8×2=2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在等比数列{an}中，若a4a6a8a10a12=32，则的值为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】根据等比数列的性质可得a4a12=a6a10=a82，化简已知的等式，求出a8的值，再根据等比数列的性质得a8•a12=a102，变形可得所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵a4a6a8a10a12=a85=32，‎ ‎∴a8=2，又a8•a12=a102，‎ 则=a8=2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．在等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时的自然数n的值为（　　）‎ A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在 ‎【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．‎ ‎【分析】根据|a3|=|a9|，可两端平方，得到首项a1与公差d的关系，从而可求得通项公式an，利用即可求得前n项和Sn取得最大值时的自然数n 的值．‎ ‎【解答】解：根据题意可得a32=a92即（a1+2d）2=（a1+8d）2，∴a1=﹣5d，∴an=（n﹣6）d（d＜0），‎ 由解得5≤n≤6．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【考点】余弦定理的应用．‎ ‎【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．‎ ‎【解答】解：由 ‎∴，即 ‎∴，又在△中所以B为或 故选D ‎　‎ ‎9．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（　　）‎ A．16（1﹣4﹣n） B．16（1﹣2﹣n） C．（1﹣4﹣n） D．（1﹣2﹣n）‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】首先根据a2和a5求出公比q，根据数列{anan+1}每项的特点发现仍是等比数列，且首项是a1a2=8，公比为．进而根据等比数列求和公式可得出答案．‎ ‎【解答】解：由，解得．‎ 数列{anan+1}仍是等比数列：其首项是a1a2=8，公比为，‎ 所以，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2017的值是（　　）‎ A．20162 B．2014×2015 C．2015×2016 D．2016×2017‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知条件，利用累加法以及等差数列求和能求出a2017．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，‎ ‎∴an+1﹣an=2n，‎ ‎∴a2017=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a2017﹣a2016‎ ‎=0+2+4+…+2016×2‎ ‎=‎ ‎=2016×2017．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．若，α是第三象限的角，则=（　　）‎ A． B． C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】半角的三角函数；弦切互化．‎ ‎【分析】将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．‎ ‎【解答】解：由，α是第三象限的角，‎ ‎∴可得，‎ 则，‎ 应选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β），则A点离地面的高AB等于（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB﹣BC列等式求得AB．‎ ‎【解答】解：依题意知，BC=，BD=，‎ ‎∴DC=DB﹣BC=AB（﹣）=a，‎ ‎∴AB=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ ‎13．在△ABC中，若sinAcosA=sinBcosB，则△ABC形状为　等腰或直角三角形　．‎ ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】已知等式两边利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，确定出A与B的关系，即可做出判断．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，A，B，C为内角，且sinAcosA=sinBcosB，‎ ‎∴sin2A=sin2B，即sin2A=sin2B，‎ ‎∴2A+2B=180°或2A=2B，‎ 整理得：A+B=90°或A=B，‎ 则△ABC为等腰或直角三角形．‎ 故答案为：等腰或直角三角形．‎ ‎　‎ ‎14．数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n，则它的通项公式是　an=6n﹣5　．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由给出的数列的前n项和公式，分n=1和n≥2分类求解，然后验证n≥时的通项公式是否满足a1即可．‎ ‎【解答】解：由数列{an}的前n项和Sn=3n2﹣2n，‎ 当n=1时，；‎ 当n≥2时， =6n﹣5．‎ 当n=1时an=6n﹣5成立．‎ ‎∴数列{an}的通项公式是an=6n﹣5．‎ 故答案为：an=6n﹣5．‎ ‎　‎ ‎15．﹣的值是　4　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】通分后，根据特殊角的三角函数值及三角函数恒等变换的应用化简即可．‎ ‎【解答】解：﹣====4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．设{an}为等比数列，下列命题正确的有　①②④　（写出所有正确命题的序号）‎ ‎①设，则 {bn}为等比数列；‎ ‎②若an＞0，设cn=lnan，则 {cn}为等差数列；‎ ‎③设{an}前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；‎ ‎④设{an}前n项积为Tn，则．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，逐个选项验证即可．‎ ‎【解答】解：①设等比数列{an}的公比为q，，‎ 则==（）2=q2，为常数 ‎∴{bn}是公比为q2的等比数列，正确；‎ ‎②当an＞0，cn=lnan时，cn+1﹣cn ‎=lnan+1﹣lnan=ln=lnq，为常数 ‎∴{an}是公差为lnq的等差数列，正确；‎ ‎③举反例an=（﹣1）n，则S2=0，显然不能成等比数列，错误；‎ ‎④设{an}前n项积为Tn，则Tn=a1a2a3…an，‎ ‎∴Tn2=（a1a2a3…an）2=[]2=（a1an）n，正确．‎ 故答案为：①②④‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）‎ ‎17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．‎ ‎【考点】数列与三角函数的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；‎ ‎（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；‎ ‎（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，‎ ‎∴cosB=；…6分 ‎（Ⅱ）（解法一）‎ 由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，‎ 又cosB=，‎ ‎∴sinAsinC=1﹣cos2B=…12分 ‎（解法二）‎ 由已知b2=ac及cosB=，‎ 根据余弦定理cosB=解得a=c，‎ ‎∴B=A=C=60°，‎ ‎∴sinAsinC=…12分 ‎　‎ ‎18．已知f（x）=4cosxsin（x+）﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎=4cosx（）﹣1‎ ‎=sin2x+2cos2x﹣1‎ ‎=sin2x+cos2x ‎=2sin（2x+），‎ 所以函数的最小正周期为π；‎ ‎（Ⅱ）∵﹣≤x≤，‎ ‎∴﹣≤2x+≤，‎ ‎∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，‎ 当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1．‎ ‎　‎ ‎19．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（Ⅰ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{an}是公差为3的等差数列，可得{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（1）可得：数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．‎ 当n=1时，a1b2+b2=b1．‎ ‎∵b1=1，b2=，‎ ‎∴a1=2，‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列，‎ ‎∴an=3n﹣1，‎ ‎（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．‎ 即3bn+1=bn．‎ 即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣3﹣n）=﹣．‎ ‎　‎ ‎20．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinA=，‎ 又A为锐角，‎ 则A=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，‎ ‎∴bc=，又sinA=，‎ 则S△ABC=bcsinA=．‎ ‎　‎ ‎21．已知等差数列{an}中，公差d＞0，又a2•a3=15，a1+a4=8．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记数列bn=an•2n，数列{bn}的前n项和记为Sn，求Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（II）bn=an•2n=（2n﹣1）•2n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解方程组得：或，又d＞0，∴，‎ ‎∴d=2，∴an=2n﹣1．‎ ‎（Ⅱ）bn=an•2n=（2n﹣1）•2n．‎ ‎，‎ 则，‎ 两式错位相减得：‎ ‎==﹣6+（3﹣2n）•2n+1，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）通过an2+2an=4Sn+3与an+12+2an+1=4Sn+1+3作差可知an+1﹣an=2，进而可知数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论；‎ ‎（Ⅱ）通过（I）可知an=2n+1，裂项可知bn=（﹣），并项相加即得结论．‎ ‎【解答】解：（I）∵an2+2an=4Sn+3，‎ ‎∴an+12+2an+1=4Sn+1+3，‎ 两式相减得：an+12﹣an2+2an+1﹣2an=4an+1，‎ 整理得：an+12﹣an2=2（an+1+an），‎ 又∵an＞0，‎ ‎∴an+1﹣an=2，‎ 又∵a12+2a1=4a1+3，‎ ‎∴a1=3或a1=﹣1（舍），‎ ‎∴数列{an}是以3为首项、2为公差的等差数列，‎ ‎∴an=3+2（n﹣1）=2n+1；‎ ‎（Ⅱ）由（I）可知an=2n+1，‎ ‎∴bn===（﹣），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为：（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（﹣）‎ ‎=•．‎ ‎　‎