数学卷·2018届湖北省武汉市武钢三中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届湖北省武汉市武钢三中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年湖北省武汉市武钢三中高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1）斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎2．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（　　）‎ A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个 ‎3．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（　　）‎ A． B．0 C．或0 D．2‎ ‎4．若α，β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线（　　）‎ A．只有1条 B．只有2条 C．只有4条 D．有无数条 ‎5．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）‎ A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交 ‎6．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．2‎ ‎8．已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，且|Ax1+By1+C|＞|Ax2+By2+C|，则（　　）‎ A．直线l与直线P1P2不相交 B．直线l与线段P2P1的延长线相交 C．直线l与线段P1P2的延长线相交 D．直线l与线段P1P2相交 ‎9．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（　　）‎ A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]‎ ‎10．如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二侧直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A．10 B．5 C．5 D．10‎ ‎11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（　　）‎ A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+24‎ ‎12．异面直线a，b所成的角为θ，空间中有一定点O，过点O有3条直线与a，b所成角都是60°，则θ的取值可能的是（　　）‎ A．30° B．50° C．60° D．90°‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知在四面体ABCD中，AB=4，CD=2，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=，则直线AB与CD所成的角大小为　　．‎ ‎14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为　　（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．‎ ‎15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是　　．‎ ‎16．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．已知圆C：x2+y2=4．‎ ‎（1）求过定点M（4，0）的圆的切线方程；‎ ‎（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．‎ ‎18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．‎ ‎（Ⅰ）求棱AA1的长；‎ ‎（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别是PA，PD边上的中点，且PD=AB=2．‎ ‎（1）求EF∥平面PBC；‎ ‎（2）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．‎ ‎20．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC=l1，平面ADC1∩平面A1B1C1=l2，‎ ‎（1）求证：l1∥l2；‎ ‎（2）若此三棱柱是各棱长都相等且侧棱垂直于底面，求A1B与AC1所成角的余弦值．‎ ‎21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=3，AC⊥BC，点M在线段AB上．‎ ‎（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；‎ ‎（2）当BM长是多少时，三棱锥B1﹣BCM的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的．‎ ‎22．如图，▱ABCD和▱ABEF全等，AP=DQ，将▱ABEF沿AB折起．‎ ‎（1）求证：PQ∥平面ADF；‎ ‎（2）无论▱ABEF折到什么位置，PQ与FD都平行吗？若要成立，需要什么条件？‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省武汉市武钢三中高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1）斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C． D．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】由垂直关系和斜率公式可得m的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：由垂直关系可得直线l的斜率为，‎ ‎∴=，解得a=﹣‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（　　）‎ A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个 ‎【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】在l1上取一点，做直线a，使得a∥l2，因为l1与a相交，所以确定一个平面，由公理三知满足条件的平面有且只有一个．‎ ‎【解答】解：在l1上取一点，做直线a，使得a∥l2，‎ 因为l1与a相交，所以确定一个平面，‎ 又因为 a∥l2，‎ 所以l2平行这个平面，‎ 由公理三知满足条件的平面有且只有一个．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．已知直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，若l1∥l2，则实数a的值为（　　）‎ A． B．0 C．或0 D．2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】利用两条直线平行的条件，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：（a+1）x﹣ay=0，l1∥l2，‎ ‎∴﹣a=2a（a+1），‎ ‎∴a=﹣或0，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．若α，β是两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线（　　）‎ A．只有1条 B．只有2条 C．只有4条 D．有无数条 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】这条平行线一定平行于两个平面的交线，即过一点做已知直线的平行线，有且只有一条，得到结果．‎ ‎【解答】解：过点A且与α和β都平行的直线，‎ 一定平行于两个平面的交线，‎ 即过一点做已知直线的平行线，‎ 有且只有一条 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（　　）‎ A．α∥β B．α与β相交 C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交 ‎【考点】平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由题意平面α内有无数条直线都与平面β平行，利用空间两平面的位置关系的定义即可判断．‎ ‎【解答】解：由题意当两个平面平行时符合平面α内有无数条直线都与平面β平行，‎ 当两平面相交时，在α平面内作与交线平行的直线，也有平面α内有无数条直线都与平面β平行．‎ 故为D ‎　‎ ‎6．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．‎ ‎【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角 棱长为1，则B1E=B1F=，EF=，‎ ‎∴cos∠EB1F=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知P（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，若PA长度最小值为2，则k的值为（　　）‎ A．3 B． C．2 D．2‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】利用PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，可得圆心到直线的距离PC最小，最小值为，由点到直线的距离公式可得k的值．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，‎ ‎∵PA是圆C：x2+y2﹣2y=0的一条切线，A是切点，PA长度最小值为2，‎ ‎∴圆心到直线的距离PC最小，最小值为，‎ ‎∴由点到直线的距离公式可得=，‎ ‎∵k＞0，∴k=2‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知直线l：Ax+By+C=0（A，B不全为0），两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，且|Ax1+By1+C|＞|Ax2+By2+C|，则（　　）‎ A．直线l与直线P1P2不相交 B．直线l与线段P2P1的延长线相交 C．直线l与线段P1P2的延长线相交 D．直线l与线段P1P2相交 ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用题中条件：（1）（Ax1+By1+C）（Ax1+By1+C）＞0的含义：点在直线的同侧；（2）|Ax1+By1+C|＞|Ax2+By2+C|的含义：点到直线的距离的大小关系．即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，表示两点在直线的同一旁，‎ 又∵|Ax1+By1+C|＞|Ax2+By2+C|表示P1到直线距离大于P2的距离所以P1P2直线不会与直线平行（否则距离相等），‎ 并且P2距离小，所以在线段P1P2方向的延长线上会与直线相交，看看答案选C．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（　　）‎ A．[30°，90°] B．[60°，90°] C．[30°，60°] D．[30°，120°]‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a垂直的直线c，判定与b的夹角．‎ ‎【解答】解：如图 做b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，‎ 在直线b′上取一点P，做垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，角POP'是b′与面α的线面夹角，为30°．‎ 在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．‎ 在平面α所有与OP'垂直的线（由于PP'垂直于平面α，所以该线垂直与PP′，则该线垂直于平面OPP'，所以该线垂直与b'），与b'的夹角为90°，‎ 与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二侧直观图，若A1D1∥O′y′A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则四边形ABCD的面积是（　　）‎ A．10 B．5 C．5 D．10‎ ‎【考点】空间几何体的直观图．‎ ‎【分析】如图，根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．‎ ‎【解答】解：如图，根据直观图画法的规则，‎ 直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1，⇒原图中AD∥Oy，从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2，‎ 直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=2，‎ 即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．‎ 故其面积S=（2+3）×2=5．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（　　）‎ A．48+12 B．48+24 C．36+12 D．36+24‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高已知，底面是长度为6的等腰直角三角形，故先求出底面积，再各个侧面积，最后相加即可得全面积．‎ ‎【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点 由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18‎ 又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，‎ 所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5‎ 故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积为4×6=12，‎ 另两个侧面三角形的面积都是=15‎ 故此几何体的全面积是18+2×15+12=48+12‎ 故选A ‎　‎ ‎12．异面直线a，b所成的角为θ，空间中有一定点O，过点O有3条直线与a，b所成角都是60°，则θ的取值可能的是（　　）‎ A．30° B．50° C．60° D．90°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】过点O分别作a′∥a，b′∥b，问题等价于过点O有三条直线与a′，b′所成角都为60°，分析可得．‎ ‎【解答】解：过点O分别作a′∥a，b′∥b，则过点O有三条直线与a，b所成角都为60°，‎ 等价于过点O有三条直线与a′，b′所成角都为60°，‎ 其中一条正是θ角的平分线．从而可得选项为C 故选C ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知在四面体ABCD中，AB=4，CD=2，E、F分别是AD、BC的中点，且EF=，则直线AB与CD所成的角大小为　60°　．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】如图所示，取BD的中点G，连接GD，GF，利用三角形中位线定理可得∠DGF或其补角为异面直线直线AB与CD所成的角，在△DGF中，利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，取BD的中点G，连接GD，GF，则GD∥AB，GF∥GF，‎ 且GD=AB=2，GF=CD=1，‎ ‎∴∠DGF或其补角为异面直线直线AB与CD所成的角．‎ 在△DGF中，由余弦定理可得：cos∠DGF==﹣．‎ ‎∴∠DGF=120°．‎ ‎∴异面直线直线AB与CD所成的角大小为60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎　‎ ‎14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线AM与DD1是异面直线．‎ 其中正确的结论为　③④　（注：把你认为正确的结论的序号都填上）．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线．‎ ‎【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面 ‎∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误；‎ 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误．‎ 同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确；‎ 同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确；‎ 故答案为：③④‎ ‎　‎ ‎15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是　1+　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征；余弦定理的应用．‎ ‎【分析】连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，不难看出CP+PA1的最小值是A1C的连线．（在BC1上取一点与A1C构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解．‎ ‎【解答】解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，‎ 连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．‎ 通过计算可得AB=，‎ 在△A1B1B中，A1B1⊥B1B，A1B1=，BB1=，‎ ‎∴A1B=6又∠BC1C=45°，BC1=2，‎ 可求得A1C=1+‎ 故答案为：1+‎ ‎　‎ ‎16．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=　68或　．‎ ‎【考点】平面与平面平行的性质；相似三角形的性质．‎ ‎【分析】作出图形，利用平面与平面平行推出直线与直线平行，通过相似列出比例关系，求解即可．‎ ‎【解答】解：如图（1），由α∥β可知BD∥AC，‎ ‎∴=，即=，∴SC=68．‎ 如图（2），由α∥β知AC∥BD，‎ ‎∴==，即=．‎ ‎∴SC=‎ 故答案为：68或 ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．已知圆C：x2+y2=4．‎ ‎（1）求过定点M（4，0）的圆的切线方程；‎ ‎（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）设切线方程在为y=k（x﹣4），利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即可求解切线方程．‎ ‎（2）当直线l垂直于x轴时，直线方程为x=1，判断是否满足题意；当直线l不垂直于x轴，设其直线方程为y﹣2=k（x﹣1），设圆心到此直线距离为d，求出d=1，利用圆心到直线的距离求出k，即可求出直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）设切线方程在为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0．…‎ 由题意可得，…‎ ‎∴切线方程为．…‎ ‎（2）当直线l垂直于x轴时，直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为和，‎ 其距离为，满足题意．…．．‎ 当直线l不垂直于x轴，设其直线方程为y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2=0，设圆心到此直线距离为d，则，得d=1，又．…‎ ‎∴解得，所求直线方程为3x﹣4y+5=0．…‎ 综上所述，所求所求直线方程为3x﹣4y+5=0或x=1．…‎ ‎　‎ ‎18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为10．‎ ‎（Ⅰ）求棱AA1的长；‎ ‎（Ⅱ）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设AA1=h，由题设=﹣，可求出棱长．‎ ‎（Ⅱ）因为在长方体中A1D1∥BC，所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设AA1=h，‎ 由题设=﹣=10，‎ ‎∴‎ 即，解得h=3．‎ 故A1A的长为3．‎ ‎（Ⅱ）∵在长方体中，A1D1∥BC，‎ ‎∴∠O1BC为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．‎ 在△O1BC中，AB=BC=2，A1A=3，‎ ‎∴AA1=BC1=， =，‎ ‎∴，‎ 则cos∠O1BC===．‎ ‎∴异面直线BO1与A1D1所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别是PA，PD边上的中点，且PD=AB=2．‎ ‎（1）求EF∥平面PBC；‎ ‎（2）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）利用中位线定理和平行公理即可得出EF∥BC，从而EF∥平面PBC；‎ ‎（2）证明BC⊥平面PCD，AB⊥平面PAD，故而AB⊥PA，BC⊥PC，于是四个侧面全为直角三角形，从而可求得表面积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵E，F分别是PA，PD边上的中点，‎ ‎∴EF∥AD，又AD∥BC，‎ ‎∴EF∥BC，又EF⊄面PBC，BC⊂面PBC，‎ ‎∴EF∥平面PBC．‎ ‎（2）∵PD⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AD，PD⊥CD，PD⊥BC，‎ 又BC⊥CD，CD∩PD=D，‎ ‎∴BC⊥平面PCD，∵PC⊂平面PCD，‎ ‎∴BC⊥PC，同理可得AB⊥PA．‎ ‎∴棱锥的四个侧面均为直角三角形，‎ ‎∵PD=AB=2，底面ABCD是正方形，‎ ‎∴PA=PC=2，‎ ‎∴S△PAD=S△PCD==2，S底面ABCD=22=4，‎ S△PAB=S△PBC==2．‎ ‎∴四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD=8+4．‎ ‎　‎ ‎20．如图所示，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC=l1，平面ADC1∩平面A1B1C1=l2，‎ ‎（1）求证：l1∥l2；‎ ‎（2）若此三棱柱是各棱长都相等且侧棱垂直于底面，求A1B与AC1所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】连接DD1．过B点作直线l1'∥AD，证明l1'即为l1，可得l1∥AD∥A1D1；过C1作直线l2'∥A1D1，证明l2'即为l2，l2∥AD∥A1D1；即可得证l1∥l2．‎ ‎【解答】（1）证明：连接DD1．在四边形BDD1B1中，BD=BC=B1C1=B1D1，BD∥B1D1，‎ 所以四边形BDD1B1为平行四边形，‎ 所以DD1=BB1=AA1①，且DD1∥BB1∥AA1②；由①、②得：‎ 四边形ADD1A1为平行四边形，‎ 所以AD∥A1D1③；‎ 过B点作直线l1'∥AD，由③知l1'∥A1D1，由于AD在面ABC中，‎ A1D1在面A1B1C1中，‎ 所以l1'∥面ABC，l1'∥A1B1C1，由于B点同时在面ABC和面A1B1C1中，‎ 所以l1'同时在面ABC和面A1B1C1中，即l1'为面ABC和面A1B1C1的交线，‎ 所以l1'即为l1，‎ 所以l1∥AD∥A1D1④；‎ 过C1作直线l2'∥A1D1，同上可以证明l2'即为l2，l2∥AD∥A1D1⑤；‎ 由④、⑤即得l1∥l2．‎ ‎（2）解：分别取AA1，A1C1，AB的中点E，F，G，连EF，EG，FG 则∠GEF为所求角或其补角，令棱长为2，则GE=EF=，GF=，‎ 由余弦定理得cos∠GEF=﹣，故A1B与AC1所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎21．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=3，AC⊥BC，点M在线段AB上．‎ ‎（1）若M是AB中点，证明AC1∥平面B1CM；‎ ‎（2）当BM长是多少时，三棱锥B1﹣BCM的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连结BC1，交B1C于E，连结ME，根据中位线定理得出AC1∥EM，故而AC1∥平面B1CM；‎ ‎（2）根据棱锥和棱柱的体积公式可知S△BCM=S△ABC，故而BM=AB．‎ ‎【解答】证明：（1）连结BC1，交B1C于E，连结ME．‎ ‎∵侧面B B1C1C为矩形，‎ ‎∴E为BC1的中点，又M是AB的中点，‎ ‎∴ME∥AC1．‎ 又 ME⊂平面B1CM，AC1⊄平面B1CM，‎ ‎∴AC1∥平面B1C M．‎ ‎（2）∵V=，V=S△ABC•BB1，‎ V=V，‎ ‎∴S△BCM=S△ABC，∴BM=AB，‎ ‎∵AC=BC=3，AC⊥BC，∴AB=3，‎ ‎∴当BM=时，三棱锥B1﹣BCM的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的．‎ ‎　‎ ‎22．如图，▱ABCD和▱ABEF全等，AP=DQ，将▱ABEF沿AB折起．‎ ‎（1）求证：PQ∥平面ADF；‎ ‎（2）无论▱ABEF折到什么位置，PQ与FD都平行吗？若要成立，需要什么条件？‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）作PM∥BE交AB于M，连结QM，则QM∥AD，证明平面PQM∥平面ADF，即可证明PQ∥平面ADF；‎ ‎（2）若PQ∥DF，则DQ与FP必交于一点且此点必在AB上．故：只要P，Q分别为AE，DB的中点即可．‎ ‎【解答】（1）证明：作PM∥BE交AB于M，连结QM，则QM∥AD，‎ ‎∵QM⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，‎ ‎∴QM∥平面ADF，‎ 同理PM∥平面ADF，‎ ‎∵PM∩QM=M，‎ ‎∴平面PQM∥平面ADF，‎ ‎∴PQ∥平面ADF；‎ ‎（2）解：若PQ∥DF，则DQ与FP必交于一点且此点必在AB上．‎ 故只要P，Q分别为AE，DB的中点即可．‎ ‎　‎