2020届高三数学联考试题（含解析）人教版

2020届高三数学联考试题（含解析）人教版

‎2019年11月份高三联考数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】求解对数不等式可得：，‎ 求解一元二次不等式可得：，‎ 则：，，.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2. 已知，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得：，‎ 结合向量平行的充要条件有：,‎ 求解关于实数的方程可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：‎ 本题选择A选项.‎ - 13 -‎ ‎4. 已知，且，则向量与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由向量垂直的充要条件有：，‎ 则：，‎ 结合向量的夹角公式有：，‎ 据此可得：向量与的夹角为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 已知函数，给出下列两个命题：‎ 命题若，则；‎ 命题.‎ 则下列叙述错误的是（ ）‎ A. 是假命题 B. 的否命题是：若，则 C. D. 是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】由函数的解析式可得函数的定义域为，‎ 且导函数：，则函数单调递增，‎ 据此可得命题是假命题，命题是真命题，是假命题.‎ 结合特称命题与全称命题的关系可得：‎ 的否命题是：若，则，‎ ‎：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎6. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 13 -‎ ‎【解析】由题意结合诱导公式可得：，‎ 据此可得：，‎ 结合同角三角函数基本关系可得：，，‎ 利用二倍角公式可得：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2 θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2 θ)‎ ‎7. 设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数图象关于点对称，则对于任意的实数，有：.‎ 据此可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8. 已知函数的零点为，设，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】指数函数和一次函数都是定义在上的单调递减函数，‎ 则函数是定义在上的单调递减函数，‎ 且：，‎ 结合函数零点存在定理可得：，‎ 据此可得：，‎ 则：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：‎ - 13 -‎ 实数比较大小：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．‎ 在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． ‎ ‎9. 函数的部分图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】显然函数是偶函数，故A、D错误，当时，，所以，，又，所以，故选C.‎ ‎10. 已知函数（且），则“在上是单调函数”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】很明显函数和函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 函数有意义，则：恒成立，即：.‎ 结合复合函数的单调性可得当时，函数在定义域内单调递减；‎ 当时，函数在定义域内单调递增，‎ 即若在上是单调函数，则或，‎ ‎“在上是单调函数”是“”的必要不充分条件.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t - 13 -‎ ‎)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．‎ ‎11. 已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：的因数有，则的因数有，则，那么的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 的定义知 ，且若 为奇数则 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 选D ‎12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令 ，易得与互为反函数 与关于直线 对称原命题等价于 在上恒成立.记 ‎ ‎ ，记 ，同理可得，综上的最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题的关键步骤有：‎ 观察发现与互为反函数；‎ 将原命题等价转化为 在上恒成立；‎ - 13 -‎ 利用导数工具求的最小值，从而求得；‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】很明显数列的公比为正数，‎ 由题意可得：，‎ 则：，‎ 整理可得：，‎ 结合可得：.‎ ‎14. 若向量与满足，且，则向量在方向上的投影为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设向量与向量的夹角为，‎ 利用向量垂直的充要条件有：,‎ 即：，‎ 据此可得：向量在方向上的投影为.‎ ‎15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的解析式：‎ 据此可得：，‎ 则：，‎ - 13 -‎ 结合三角函数的性质可得：，‎ 令可得：，‎ 故：，‎ ‎.‎ ‎........................‎ ‎16. 在中，，边的中点为，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，作于点，则：‎ ‎，‎ 则：.‎ - 13 -‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等比数列的前项和为为等差数列，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)即，.(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为，据此计算可得；‎ ‎(2)结合数列的通项公式错位相减可得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，‎ 当时，，即，‎ 所以是以为首项，为公比的等比数列，即，‎ 又，所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，①‎ ‎，②‎ - 13 -‎ 由①-②得，‎ 所以.‎ ‎18. 设函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合三角函数的周期可得，结合，则，函数的解析式为.‎ ‎(2)由函数的定义域可得，则函数的值域为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图象知，即.又，所以，‎ 因此.又因为点，‎ 所以，即，‎ 又，所以，即.‎ ‎（2）当时，，‎ 所以，从而有.‎ ‎19. 在中，内角的对边分别为.已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2)3.‎ - 13 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简条件，统一为边，再结合余弦定理可求出 ‎（2）根据及余弦定理可求出c,根据同角三角函数关系求,利用面积公式求解.‎ ‎ ‎ 试题解析：（1）因为，所以，即.‎ 所以.‎ ‎（2）因为，由（1）知，所以.‎ 由余弦定理可得，整理得，解得，‎ 因为，所以，‎ 所以的面积.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；‎ ‎(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，‎ 在上单调递增，，‎ 的取值范围是.‎ ‎（2）存在，使不等式成立，‎ - 13 -‎ 存在，使不等式成立.‎ 令，从而，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ ‎ .‎ 实数的取值范围为.‎ ‎21. 在中，是边的一个三等分点（靠近点），记.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）当取最大值时，求的值.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析; （1）由，可得，整理得.又，所以，即.‎ ‎（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又 ，由，得.因为，所以 .因为，所以.所以当，即时，取得最大值，由此可得，.‎ 试题解析：（1）因为，所以，即，整理得.又，所以，即.‎ ‎（2）设，，，则，.由正弦定理得，.又 ，由，得.因为 - 13 -‎ ‎，所以 .因为，所以.所以当，即时，取得最大值，此时，所以，.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、勾股定理，求角转化为求角的某个三角函数值，以及基本不等式求最值问题等，其中着重考查化简、变形能力．‎ ‎22. 已知函数的图象在处的切线过点.‎ ‎（1）若，求函数的极值点；‎ ‎（2）设是函数的两个极值点，若，证明：.（提示）‎ ‎【答案】(1)或；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意结合导函数与原函数切线的关系可得.‎ ‎(1)由题意可得，利用导函数研究函数的极值可得的极值点为或.‎ ‎(2)由导函数的性质可得是函数的极大值，是函数的极小值，据此构造函数，据此可知，则函数在上单调递减，据此可得.‎ 试题解析：‎ ‎，‎ 又，曲线在处的切线过点，‎ ‎，得.‎ ‎（1），‎ 令，得，‎ 解得或的极值点为或.‎ - 13 -‎ ‎（2）是方程的两个根，‎ ‎，‎ ‎，‎ 是函数的极大值，是函数的极小值，‎ 要证，只需，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 设，则，函数在上单调递减，‎ ‎，‎ ‎.‎ 点睛：应用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0（或f′(x)<0）仅是f(x)在某个区间上递增（或递减）的充分条件。在区间（a,b）内可导的函数f(x)在（a,b）上递增（或递减）的充要条件应是f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且f′(x)在（a,b）的任意子区间内都不恒等于0。这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)=0.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 13 -‎