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文档介绍
2019-2020学年高中数学课时作业4点的直角坐标与极坐标的互化北师大版选修4-4
课时作业(四) 1.点M的直角坐标为(0,),则极坐标为( ) A.(,0) B.(0,) C.(,) D.(,-) 答案 C 2.直角坐标系中,点(1,-)的极坐标可以是( ) A.(2,) B.(2,) C.(2,) D.(2,) 答案 D 3.极坐标系中,极坐标为(3,-6)的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析 ∵π<6<2π,∴6为第四象限角,故-6为第一象限角.所以极坐标(3,-6)在第一象限. 4.设点P对应复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标为( ) A.(3,π) B.(-3,π) C.(3,π) D.(-3,π) 答案 A 解析 因为点P对应的复数为-3+3i,则点P的直角坐标为(-3,3),点P到原点的距离r=3,且点P在第二象限的平分线上,故极角等于,故点P的极坐标为(3,). 5.若点M的极坐标为(5,θ),且tanθ=-,<θ<π,则点M的直角坐标为( ) A.(3,4) B.(4,3) C.(-4,3) D.(-3,4) 答案 D 6 解析 因为tanθ=-,<θ<π.所以cosθ=-,sinθ=,所以x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,故点M的直角坐标为(-3,4). 6.下列结论不正确的是( ) A.(2,)与(2,-)关于极轴对称 B.(2,)与(2,)关于极点对称 C.(2,)与(-2,)关于极轴对称 D.(2,)与(-2,-)关于极点对称 答案 D 解析 观察四个选项,距离参数符合要求,研究极角关系,(2,)与(-2,-)不是关于极点对称. 7.在极坐标系中,点A(2,)与B(2,-)之间的距离为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 方法一:在极坐标系中画出两点A,B即可得解. 方法二:xA=2cos=,yA=2sin=1, xB=2cos(-)=,yB=2sin(-)=-1, ∴A(,1),B(,-1),∴|AB|=2. 8.在极坐标系中,点A(,),B(,),则线段AB中点的极坐标为( ) A.(,) B.(1,) C.(,) D.(,) 答案 A 9.直角坐标点(-1,-1)化为极坐标为________. 答案 (,+2kπ)k∈Z 解析 利用坐标互化易得. 6 10.已知点A的极坐标为(4,-),以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系,则下列直角坐标中,与点A表示同一点的是________. (1)(2,-2);(2)(-2,2);(3)(2,-2);(4)(-2,-2). 答案 (2) 解析 由极坐标与直角坐标的互化公式,得x=4cos(-)=-2,y=4sin(-)=2,故填(2). 11.已知两点的极坐标A(3,),B(3,),则直线AB的倾斜角为________. 答案 解析 点A,B的直角坐标为分别为(0,3),(,),故kAB==-,故直线AB的倾斜角为. 12.将向量=(-1,)绕原点逆时针旋转120°得到向量的直角坐标为________. 答案 (-1,-) 解析 由于M(-1,)的极坐标为(2,),绕极点(即原点)逆时针旋转120°得到的点的极坐标为(2,),化为直角坐标为(-1,-),即为所求. 13.M的极坐标为(6,),则点M关于y轴对称的直角坐标为________. 答案 (-3,-3) 解析 ∵xM=6·cosπ=3,yM=6sinπ=-3,∴对称点为(-3,-3). 14.已知点P的直角坐标按伸缩变换变换为点P′(6,-3),限定ρ>0,0≤θ<2π时,求点P的极坐标. 解析 设P点直角坐标为(x,y),则x=3,y=-, ∴P(3,-),∴ρ==2,tanθ=. ∵θ∈[0,2π),∴θ=π,∴极坐标为(2,π). 15.如果点M的极坐标为(ρ,θ),那么点M关于极点O的对称点M′可以表示为(-ρ,θ). 6 (1)试用点的极坐标化为直角坐标的公式验证上述表示的合理性; (2)已知点M的极坐标为(-2,-),若限定ρ>0,0≤θ<2π,求点M的极坐标; (3)试问(ρ,θ),(-ρ,π+θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,-π+θ)是否都表示同一点的极坐标? 解析 (1)由M(ρ,θ),得xM=ρcosθ,yM=ρsinθ. 由M′(-ρ,θ),得x=-ρcosθ,y=-ρsinθ. 所以上述表示是合理的. (2)∵(-ρ,θ)与(ρ,θ+π)表示同一点, ∴(-2,-)与(2,)为同一点的极坐标. 故点M的极坐标为(2,). (3)由上述可知(ρ,θ)与(-ρ,π+θ)为同一点, 又由于(ρ,θ)与(ρ,2π+θ)为同一点, (-ρ,π+θ)与(-ρ,-π+θ)为同一点. ∴(ρ,θ),(-ρ,θ+π),(ρ,2π+θ),(-ρ,-π+θ)都表示同一点的极坐标. 1.点P的直角坐标为(-,),那么它的极坐标可表示为( ) A.(2,) B.(2,) C.(2,π) D.(2,) 答案 B 2.已知点M的极坐标为(2,),则其直角坐标为( ) A.(2,0) B.(0,) C.(1,) D.(,1) 答案 D 解析 ∵x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1, ∴点M的直角坐标为(,1). 3.在直角坐标系中,已知点M在直线y=x上,且|MO|=1,则点M的极坐标为________.(θ∈[0,2π)) 6 答案 (1,)或(1,π) 4.在直角坐标为(3π,-4π)的点M到极轴的距离为________. 答案 4π 解析 数形结合,如图所示, 点(3π,-4π)到极轴的距离为4π. 5.在极坐标系中,若点A(3,),B(4,). (1)求|AB|; (2)求△AOB的面积(O为极点). 解析 如图所示, (1)∠AOB=-=. 所以|AB|2=32+(4)2-2×3×4cos=93. 所以|AB|=. (2)S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB=×3×4×=3. 6.已知两点的极坐标A(3,),B(3,),AB与极轴交于点C,求: (1)|AB|,|AC|; (2)∠ACx和点C的一个极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 解析 (1)根据极坐标的定义可得, |AO|=|BO|=3,∠AOB=, 即△AOB为等边三角形, 所以|AB|=|AO|=|BO|=3,|AC|=6. (2)由题意可知∠ACx=π-=, 6 因为|OC|=6cos=6×=3, 所以点C的极坐标为(3,0). 6查看更多