2020届高三数学上学期第二次周考试题人教 版

2020届高三数学上学期第二次周考试题人教 版

‎2019届高三数学上学期第二次周考试题 一、选择题（每小题5分）‎ ‎1．已知集合， ，全集，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知命题,使得;命题,则下列判断正确的是（ ）A. 为真 B. 为假 C. 为真 D. 为假 ‎3．已知向量， ，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值 范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．函数 在区间 上单调递增，则实数的取值范围是（   ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．有下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则四边形是平行四边形；‎ ‎④若， ，则；‎ ‎⑤若， ，则；‎ ‎⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。其中，假命题的个数是 （ ） A. B. C. D. ‎ ‎7．已知数列为正项等差数列，其前9项和，则的最小值为 - 12 -‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎8．函数 (其中A＞0， )的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象（ ）‎ A. 向右平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位 C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位 ‎9．将函数（）的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. (D) ‎ ‎10．已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）‎ A. （1，2015） B. （1，2016） C. （2，2016） D. [2，2016]‎ ‎11．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ ‎（A）.  （B）.   （C）.    （D）. ‎ ‎12．已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）‎ A. -1 B. -2 C. -3 D. -4‎ 二、填空题(每小题5分)‎ ‎13．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是___________‎ ‎14．在中， ，若三角形有两解，则的取值范围是______.‎ ‎15．定义在上的函数满足: ，当时， ，则=________．‎ ‎16．已知下列命题：‎ - 12 -‎ ‎①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3；‎ ‎②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；‎ ‎③若f（x）=x+，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；‎ ‎④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21；‎ ‎⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．‎ 其中真命题是__________________．（只填写序号）‎ 三、解答题 ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知数列是等差数列，首项，且成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和为.‎ ‎18．已知函数，求 ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间 ‎（3）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎19．已知函数． ‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线斜率为1，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．‎ ‎20．已知函数，函数在上的零点按从小到大的顺序构成数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ - 12 -‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎21．已知函数，在闭区间上有最大值4，‎ 最小值1，设.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎22．设函数， ．‎ ‎（Ⅰ）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．‎ 参考答案 ‎1．C ‎【解析】, ,‎ ‎.故选C．‎ ‎2．B ‎【解析】，θ是参数，‎ ‎∵3>，∴∀α∈R， ；故命题p为假命题，‎ 设,则，‎ 则函数f(x)为增函数，∵则当x>0时,f(x)>f(0)，‎ 即x−sinx>0，则x>sinx，故命题q是真命题，则为假，其余为假命题，‎ 故选：B.‎ - 12 -‎ ‎3．A【解析】，‎ 故是的充分不必要条件，故选：A.‎ ‎4．B，故选B.‎ ‎5．D ‎【解析】在区间上单调递增，在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，而在上单调递增，，故选D.‎ ‎6．C ‎【解析】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确；对于②，若，方向不确定，则、不一定相同，∴②错误；对于③，若， 、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误；对于④，若， ，则，④正确；对于⑤，若， ，当时， 不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，∴⑥错误；综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.‎ ‎7．B ‎【解析】∵数列为正项等差数列，‎ ‎∴，∴，即 ‎，‎ 故选：B ‎8．B ‎【解析】由函数的图象可得，解得ω=2.‎ 再由五点法作图可得2×+φ=π，解得φ=，‎ 故函数 故把的图象向左平移个长度单位可得f(x)的图象，‎ - 12 -‎ 故选B.‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，研究函数的解析式时需要将x的系数提出来.‎ ‎9．B ‎【解析】将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，‎ 可得，求得的最小值为，‎ 故选C．‎ ‎10．C ‎【解析】∵，∴，且，函数单调递增，函数值由0增加到1；时，函数单调递减，函数值由1减少到0；‎ ‎ ，，且函数单调递增，．‎ 不妨设∵，∴，∴的取值范围是（2，2016），故选C．‎ 点睛：利用函数的对称性函数单调递增，‎ ‎∴的取值范围是（2，2016）.函数问题充分利用图象性质是关键.‎ ‎11．C ‎【解析】由 得： ‎ 即 令 则当 时，，‎ 即在是减函数，  ，‎ ‎，，‎ 在是减函数，所以由得，，‎ 即，故选 点睛：利用抽象函数的单调性和奇偶性，比较自变量的关系即可；‎ ‎12．C ‎【解析】因为，由于圆的半径为，是圆的一条直径，所以，，又，所以 - 12 -‎ ‎ ，所以，当时，，故的最小值为，故选C．‎ ‎13．‎ ‎【解析】当 时 ；‎ 当 时 ；所以 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎∵在△ABC中, ，且三角形有两解，‎ ‎∴如图： ，‎ 解得，‎ ‎∴x的取值范围是，‎ 故答案为： ).‎ ‎15．‎ ‎【解析】，将代换为，则有 为周期函数，周期为， ‎ - 12 -‎ ‎， ，令，则， 当时， ， ，故答案为.‎ ‎16．①②④⑤‎ ‎【解析】①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是：∃x∈（0，2），3x≤x3为真命题；②若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）为真命题；③若f（x）=x+ ，则，所以∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1为假；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21是真命题；⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB是真命题 ；真命题是①②④⑤.‎ ‎17．(1) ,(2) .‎ ‎【解析】试题分析：根据等差数列首项为1，设公差为，由于成等比数列，列出方程求出公差，注意到公差不为0，根据等差数列通项公式求出；由于，利用分组求和法求出数列的和.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题设，得，即 化简，的 ‎①d=0,②， . ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ,或 ‎ .‎ ‎【点睛】本题为数列部分常规考题，利用待定系数法列方程组求出数列中的待定量，写出通项公式；数列求和常用方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.‎ ‎18．（1）；（2）单调递增区间为；（3）， .‎ - 12 -‎ ‎【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得： ，进而得最小正周期；‎ ‎（2）由可得增区间；‎ ‎（3）由得，根据正弦函数的图象可得最值.‎ 试题解析：‎ ‎(1) ‎ ‎ .‎ 的最小正周期.‎ ‎（2）由 ‎ 解得 函数的单调递增区间为 ‎ ‎(3) ‎ ‎ ‎ 当时， ， ‎ 当时， ， .‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3‎ - 12 -‎ ‎）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.‎ ‎19．（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求得，由导数的几何意义得，即可得实数的值；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得在上恒成立，即，在上恒成立，即在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出结论.‎ 试题解析：（1），由已知，解得.‎ ‎(2)由，得，由已知函数为上的单调减函数，则，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令在上 ，在上为减函数，，.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎20．（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系化简函数得，再解三角方程得，即得数列是首项，公差的等差数列，根据等差数列通项公式求得数列的通项公式；（2）化简为，利用裂项相消法求数列的前项和．‎ 试题解析：（Ⅰ） ，‎ 由及得 ，数列是首项，公差的等差数列，所以．‎ ‎（Ⅱ） ，‎ ‎ ．‎ - 12 -‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎21．(1) ；（2）；；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：利用二次函数闭区间上的最值，通过与的大小讨论，列出方程，即可求的值；（2）转化不等式，为在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在上恒成立，求出最值，即可求实数的取值范围；（3）化简方程，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）；‎ ‎（2） ， . ‎ ‎（3）令 ‎ 记：‎ ‎ 则：或 ‎ . ‎ ‎22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）令，求导得单调性，进而得，从而得证；‎ ‎（Ⅱ）记求两次导得在递增， 又 - 12 -‎ ‎，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）令， ‎ 由 ∴在递减，在递增，‎ ‎∴ ∴ 即成立． ‎ ‎（Ⅱ） 记， ∴在恒成立，‎ ‎， ∵， ‎ ‎∴在递增， 又， ‎ ‎∴ ① 当 时， 成立， 即在递增，‎ 则，即 成立； ‎ ‎② 当时，∵在递增，且，‎ ‎∴ 必存在使得．则时， ，‎ 即 时， 与在恒成立矛盾，故舍去．‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为 .‎ - 12 -‎