2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练55　曲线与方程

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练55　曲线与方程

课时分层训练(五十五)　曲线与方程 ‎(对应学生用书第257页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．方程x＝所表示的曲线是(　　)‎ A．双曲线的一部分　　　 B．椭圆的一部分 C．圆的一部分 D．直线的一部分 B　[x＝两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．]‎ ‎2．(2017·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)‎ A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0‎ D　[由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.]‎ ‎3．已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，则动圆圆心Q的轨迹C的方程为(　　)‎ A．y2＝2x B．y2＝4x C．x2＝2y D．x2＝4y B　[设Q(x，y)，因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4，‎ 所以＋|x|2＝|AQ|2，‎ 所以|x|2＋22＝(x－2)2＋y2，整理得y2＝4x，‎ 所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2＝4x，故选B．]‎ ‎4．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)‎ ‎ 【导学号：97190303】‎ A．－＝1 B．＋＝1‎ C．－＝1 D．＋＝1‎ D　[因为M为AQ垂直平分线上一点，‎ 则|AM|＝|MQ|，‎ 所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)‎ A．x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ B．x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)‎ C．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)‎ D．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)‎ A　[设A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0.‎ 由＝2，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝x＞0，b＝3y＞0.即＝，‎ 点Q(－x，y)，故由·＝1，得(－x，y)·＝1，‎ 即x2＋3y2＝1.故所求的轨迹方程为x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．]‎ 二、填空题 ‎6．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程是__________．‎ y2＝8x　[＝－(－2，y)＝，‎ ＝(x，y)－＝.‎ ‎∵⊥，∴·＝0，‎ ‎∴·＝0，‎ 即y2＝8x.‎ ‎∴动点C的轨迹方程为y2＝8x.]‎ ‎7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x ‎＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．‎ －＝1(x＞3)　[如图，|AD|＝|AE|＝8，‎ ‎|BF|＝|BE|＝2，‎ ‎|CD|＝|CF|，‎ 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．]‎ ‎8．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sin C－sin B＝sin A，则动点A的轨迹方程是________. ‎ ‎【导学号：97190304】‎ －＝1(x＞0且y≠0)　[由正弦定理得－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A的轨迹是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．‎ 即动点A的轨迹方程为－＝1(x＞0且y≠0)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知长为1＋的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是 AB上一点，且＝，求点P的轨迹方程．‎ ‎[解]　设A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，‎ 由已知知＝，‎ 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)，‎ 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)，‎ 得x0＝x，y0＝(1＋)y.‎ 因为|AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2，‎ 所以＋[(1＋)y]2＝(1＋)2，化简得＋y2＝1.即点P的轨迹方程为＋y2＝1.‎ ‎10．如图882，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.‎ 图882‎ ‎(1)求N点的轨迹方程；‎ ‎(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．‎ ‎[解]　(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，‎ N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，‎ ‎∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，‎ ＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，‎ 由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．‎ ‎∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.‎ ‎∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，‎ 则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，‎ 故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．‎ ‎(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，‎ 解得λ＝－或λ＝－.‎ ‎∴当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．]‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A(0，－2)，B(0,2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为(　　)‎ A．－12　　　　　　 B．12‎ C．－9 D．9‎ D　[由||－||＝2，可得点P(x，y)的轨迹是以两定点A，B为焦点的双曲线的上支，且2a＝2，c＝2，∴b＝.∴点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．‎ 由解得∴·＝(x，y＋2)·(x，y－2)＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9.]‎ ‎12．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________. 【导学号：97190305】‎ y＝2x－2　[设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.]‎ ‎13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.‎ ‎(1)证明|EA|＋|EB|为定值；‎ ‎(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．‎ ‎[解]　(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，‎ 所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，‎ 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.‎ 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，‎ 所以|EA|＋|EB|＝4.‎ ‎(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．‎ 又B(1,0)‎ 因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.‎ 由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，‎ 长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，‎ 所以a＝2，c＝1，‎ 则b2＝a2－c2＝3.‎ 所以点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．‎ 故曲线方程的离心率e＝＝.‎