- 2021-06-19 发布 |
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高考数学专题复习练习:考点规范练55
考点规范练55 几何概型 考点规范练A册第44页 基础巩固 1.若在区间[-1,4]内取一个数x,则2x-2x2≥4的概率是( ) A.12 B.13 C.25 D.35 答案D 解析因为2x-2x2≥4,所以x2-x-2≤0,即-1≤x≤2,所以所求概率为2-(-1)4-(-1)=35. 2. 若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( ) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 答案B 解析所求概率为S半圆S长方形=12π·122×1=π4,故选B. 3.(2016辽宁丹东高三二模)北宋欧阳修在《卖油翁》中写道:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.因曰:‘我亦无他,唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达到熟能生巧之境.若铜钱是半径为1 cm的圆,中间有边长为0.5 cm的正方形孔,随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为( ) A.1π B.14π C.12 D.14〚导学号74920352〛 答案B 解析由题意可得半径为1 cm的圆的面积为π×12=π(cm2), 而边长为0.5 cm的正方形面积为0.5×0.5=0.25(cm2), 故所求概率为0.25π=14π. 4.已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班,在车站停1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( ) A.110 B.19 C.111 D.18〚导学号74920353〛 答案A 解析试验的所有结果构成的区域长度为10 min,而构成所求事件的区域长度为1 min,故所求的概率为110. 5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23〚导学号74920354〛 答案C 解析如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B、E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C、F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12. 6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出152 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是( ) A.34 B.38 C.3π16 D.12+3π32〚导学号74920355〛 答案B 解析如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38. 7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x,则sinπx4的值介于-12与22之间的概率为( ) A.14 B.13 C.23 D.56 答案D 解析∵-1≤x≤1,∴-π4≤πx4≤π4. 由-12≤sinπx4≤22,得-π6≤πx4≤π4,则-23≤x≤1. 故所求事件的概率为1--231-(-1)=56. 8. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 . 答案0.18 解析由几何概型可知1801 000=S阴影S正方形=S阴影1,所以S阴影=0.18. 9.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为 . 答案12π 解析作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界),其面积为2, 因此所求概率为24π=12π. 10.在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则关于x的方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 .〚导学号74920356〛 答案23 解析当方程x2+2px+3p-2=0有两个负根x1和x2时,应有 Δ=(2p)2-4(3p-2)≥0,x1+x2=-2p<0,x1x2=3p-2>0,0≤p≤5,解得p≥2或p≤1,p>0,p>23,0≤p≤5, 所以230,y>0内的任意一点,则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+∞上是增函数的概率为 .〚导学号74920360〛 答案13 解析作出不等式组x+y-4≤0,x>0,y>0所对应的平面区域如图△AOB区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S△AOB=12×4×4=8. 若f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+∞上是增函数, 则a>0,--2b2a=ba≤12,即a>0,a-2b≥0. 则A(0,4),B(4,0),由a+b-4=0,a-2b=0得a=83,b=43.即C83,43. 则使函数f(x)=ax2-2bx+3在区间12,+∞上为增函数的点(a,b)所构成的区域为△OBC,其面积为12×4×43=83.故所求的概率为838=13. 15.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为 .〚导学号74920361〛 答案14 解析如图,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D为垂足,由题意可得BD=12,且点M在BD上时, 满足∠AMB≥90°, 故所求概率为BDBC=122=14. 16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 .〚导学号74920362〛 答案78 解析以横坐标x表示报纸送到时间,纵坐标y表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系. 因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型. 根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为1×1-12×12×121×1=78. 高考预测 17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组x-y≥0,x+y≥0,y≥2x-6表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为 .〚导学号74920363〛 答案π24 解析分别作出平面区域M和平面区域N如图所示,可知平面区域M与平面区域N重叠部分的面积为14π(2)2=π2,平面区域N的面积为12×3×2+12×3×6=12,故所求的概率为12π12=π24.