高考数学专题复习练习：第十二章 12_4离散型随机变量

高考数学专题复习练习：第十二章 12_4离散型随机变量

‎1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质 ‎①pi≥0，i＝1,2，…，n；‎ ‎②i＝1.‎ ‎3．常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎(2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 则称随机变量X服从超几何分布．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　√　)‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)‎ ‎(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(　×　)‎ ‎(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　√　)‎ ‎(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)‎ ‎(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　√　)‎ ‎1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是(　　)‎ A．一颗是3点，一颗是1点 B．两颗都是2点 C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点 D．以上答案都不对 答案　C 解析　根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．‎ ‎2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　C 解析　设X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P p ‎2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝，故选C.‎ ‎3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有(　　)‎ A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 答案　A 解析　X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．‎ ‎4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 答案　0.1　0.6　0.3‎ 解析　∵X的所有可能取值为0,1,2，‎ ‎∴P(X＝0)＝＝0.1，‎ P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．‎ 答案　 解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，‎ 故P(X＝4)＝＝.‎ 题型一　离散型随机变量的分布列的性质 例1　(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎2－3q q2‎ 则q等于(　　)‎ A．1 B.± C.－ D.＋ 答案　C 解析　∵＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋＝0，解得q＝±.又由题意知08且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．‎ ‎(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；‎ ‎(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．‎ 解　(1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，‎ 则事件A发生的概率P(A)＝＝.‎ 依题意≥，化简得n2－25n＋144≤0，‎ ‎∴9≤n≤16，故n的最大值为16.‎ ‎(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，‎ 则P(ξ ＝k)＝(k＝0,1,2)，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝.‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎