2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市江津中学、合川中学等七校高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“若都是偶数,则是偶数”的逆否命题是（ ）‎ A．若是偶数,则与不都是偶数 B．若是偶数,则与都不是偶数 C．若不是偶数,则与不都是偶数 D．若不是偶数,则与都不是偶数 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若都是偶数，则也是偶数”的逆否命题是若不是偶数，则与不都是偶数 ‎【考点】四种命题 ‎2．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，根据抛物线的方程，求得其开口方向，以及，即可其准线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线，可知，且开口向上，‎ 所以其准线方程为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程的形式和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是（ ）‎ A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】根据直线与平面的位置关系，可判定A，利用线面垂直的性质，可判定B；根据线面垂直的性质和直线与平面的位置关系，可判定C、D，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，若,则与相交、平行或异面，所以不正确；‎ 对于B中，若,根据线面垂直的性质可知是正确的；‎ 对于C中，若,则与平行、相交或在平面内，所以不正确；‎ 对于D中，若，则与的位置关系不确定，所以不正确，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定，其中解答中熟记空间中线面位置关系的判定定理和线面垂直的性质是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎4．命题,则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，根据特称命题与全称命题的关系互为否定关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据特称命题与全称命题的关系，可知命题,‎ 则为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了特称命题与全称命题的关系，其中熟记特称命题与全称命题互为否定关系，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知是双曲线的两个焦点,且直线是该双曲线的一条渐近线,则此双曲线的标准方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由是双曲线的两个焦点，则，又由直线是该双曲线的一条渐近线，则，即，根据，求得的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，是双曲线的两个焦点，则，且焦点在x轴上，‎ 又由直线是该双曲线的一条渐近线，则，即，‎ 因为，即，解得，‎ 所以此双曲线的标准方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程的形式，以及几何性质性质的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎6．某组合体三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体分为上下两部分，其中上半部分是一个底面是边长为4的正方形，高为2的一个正四棱柱，下半部分是一个底面半径为2，母线长为2的圆柱所构成的一个组合体，在根据棱柱和圆柱的侧面积和表面积公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据几何体的三视图可知，该几何体分为上下两部分，其中上半部分是一个底面是边长为4的正方形，高为2的一个正四棱柱，下半部分是一个底面半径为2，母线长为2的圆柱所构成的一个组合体，‎ 设正方体的表面为，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为 所以该几何体的表面积为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何体的三视图的应用，以及组合体的表面积的计算问题，其中解答中根据给定的几何体的三视图，换元得出原几何体的形状，再利用公式求解是解答本题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．直线与直线平行,且直线过点,则直线和的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本道题结合平行直线，设出直线m的方程，代入，得到m的方程，利用平行直线间距离公式，即可。‎ ‎【详解】‎ 两直线平行满足x,y的系数比例相等，故可以设直线m的方程为 ‎，代入，解得，故直线m的方程为 利用两直线的距离公式，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了平行直线间的关系以及平行直线间距离计算公式，关键利用好直线平行以及过点，得到直线m的方程，属于中档题。‎ ‎8．已知圆：,若直线与圆相切,则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本道题抓住直线与圆C相切，得到圆心到该直线距离等于半径，利用点到直线距离公式，计算距离，计算参数，即可。‎ ‎【详解】‎ 直线与圆C相切，得到圆C的圆心坐标到直线的距离为1，故 利用点到直线距离公式，解得，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了点到直线距离公式以及圆方程的性质，关键抓住直线与圆C相切，故利用点到直线距离公式，列出等式，即可。‎ ‎9．如图所示, △ABC的三条边长分别为,,,现将此三角形以边所在直线为轴旋转一周,则所得几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本道题发挥空间想象能力，知道旋转后的立体几何体是什么形状，计算底面周长，结合圆锥侧面展开为一个扇形，结合扇形面积计算公式，即可。‎ ‎【详解】‎ A点到BC的距离，得到的立体几何体为两个圆锥，该圆锥底面周长为，所以表面积为,故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了空间几何体表面积计算方法和扇形面积计算公式，难度中等。‎ ‎10．设分别是双曲线的左右焦点,圆与双曲线在第一象限交于点,若,则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】本道题利用之间的关系，得到其长度，结合垂直关系，建立等式，计算离心率，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合题意，绘制图形，得到 利用双曲线的性质，得到，而,代入上面的方程，得到 ‎，所以，而利用圆直径所对的圆周角为，所以 ，所以,代入关系式子得到 解得，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了双曲线的基本性质以及圆的性质，利用直径所对的圆周角为，建立等式，计算离心率，即可，属于中等难度的题目。‎ ‎11．如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，根据等边三角形的性质，求得球的半径，利用体积公式，求得球的体积，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设球的半径为，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为，‎ 根据中心（重心）的性质可得，球的半径为，‎ 所以球的体积为，‎ 即溢出溶液的体积为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了有关球的组合体，及球的体积的计算问题，其中解答中根据作出组合体的轴截面，利用正三角形的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎12．已知圆的圆心为,设为圆上任一点,点的坐标为,线段的垂直平分线交于点,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，圆的圆心为，设为圆上任一点，‎ 点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，‎ ‎∴是的垂直平分线上一点，∴，‎ 又∵，所以点满足，‎ 即点满足椭圆的定义，焦点是，，半长轴，‎ 故点轨迹方程式，所以，，‎ ‎∵，∴，所以，故选．‎ ‎ 点睛：本题考查了圆的性质，椭圆的标准方程的求解以及椭圆的定义的应用，本题通过利用圆的性质和椭圆的定义，确定椭圆的方程，再利用椭圆的定义，进而确定结果，试题着重考查了转化与化归思想和运算求解能力，以及分析问题和解答问题的能力.‎ 二、填空题 ‎13．若命题“：，”为真命题，则实数的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本道题构造函数，计算的最小值，得到m的范围，即可。‎ ‎【详解】‎ 设 ，而恒成立，说明，而 ‎，所以，故实数m的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本道题考查了基本不等式，考查了对勾函数的性质，难度中等。‎ ‎14．已知,,若是的必要不充分条件,则实数 的取值范围是_____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，命题,,因为是的必要不充分条件,即，根据集合的包含关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，命题,,因为是的必要不充分条件,即，则，解得，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了必要不充分条件的应用，以及集合包含关系的应用，其中解答中根据题意得出集合是集合的子集，根据集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎15．已知直线,则点关于直线对称的点的坐标为___.‎ ‎【答案】(1,2)‎ ‎【解析】由题意，根据点关于直线的对称，根据斜率之积等于-1和中点在对称直线上，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设点关于直线的对称点为，‎ 则满足，解得，即对称点的坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点关于直线的对称点问题，其中解答中根据斜率之积等于和两点的中点满足对称直线的方程，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则= ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：由题意设，因，所以，故，所以=‎ ‎【考点】抛物线、向量 三、解答题 ‎17．已知方程表示圆;方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）若为真命题,求实数的取值范围;‎ ‎（2）若“”为假,“”为真,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）整理圆的方程：，根据，即可求解；‎ ‎（2）根据椭圆的标准方程，求得为真时，，再根据一真一假，分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）整理圆的方程： ‎ 若为真，则 ‎ ‎（2）若为真，则 由题可知，一真一假 故“真假”时， ‎ 则 ‎“真假”时， ‎ 则 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用简单的复合命题的真假求解参数问题，其中解答中正确求解命题 ‎，再根据复合命题的真假，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知△ABC中, ,.‎ ‎（1）若,求BC边上的高AD所在直线方程的一般式;‎ ‎（2）若点为边的中点，求BC边所在直线方程的一般式.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）结合垂直关系满足，计算出，结合点斜式直线方程，即可。‎ ‎（2）结合中点坐标计算公式，得到C的坐标，计算，结合点斜式，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴边上的高所在直线方程为：即．‎ ‎（2）∵点为的中点，由中点坐标公式得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴边所在直线方程为：即 ‎【点睛】‎ 本道题考查了点斜式直线方程计算方法，以及直线垂直斜率所满足的条件，计算，即可，属于中档题。‎ ‎19．如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见证明；(2|)见解析 ‎【解析】（1）由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到面；‎ ‎（2）由点分别为中点，得，由线面平行的判定定理，证得面，在面面平行的判定定理，即可得到证明.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 ‎ 故 ‎∵面 ‎ ‎∴面 ‎（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 ‎ 理由如下：由点分别为中点可得：‎ ‎ ‎ ‎∵面 ‎∴面 ‎ 由（1）可知，面 且 故面面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎20．已知直线：与轴，轴围成的三角形面积为，圆的圆心在直线 上，与轴相切，且在轴上截得的弦长为.‎ ‎（1）求直线的方程（结果用一般式表示）;‎ ‎（2）求圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）（2） 或 ‎【解析】（1）根据直线的方程，分别求得直线在坐标轴上的截距，利用围成的三角形的面积，列出方程，即可求解得值，得到直线的方程；‎ ‎（2）设所求圆的标准方程为，根据题意列出方程组，求得的值，即可得到圆的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在直线方程中，令，得 令，得 ‎ 故 又 故 ‎∴所求直线方程为： ‎ ‎（2）设所求圆的标准方程为：‎ 由题可知 ‎ 联立求解得： ‎ 故所求圆的标准方程为： 或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线方程的求解，以及利用待定系数法求解圆的方程，其中解答中合理根据题设条件，利用待定系数法，列出相应的方程（组）求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面是菱形,，，，底面.‎ ‎（1）证明：面面;‎ ‎（2）若点是棱的中点,,求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)‎ ‎【解析】（1）分别证明AC垂直BD和PO,结合平面与平面垂直判定，即可。（2）利用体积关系，得到，解三角形，计算底面积与高，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵底面是菱形，，‎ ‎∴，∵底面，底面，‎ ‎∴ ，又，平面，‎ ‎∴，平面，‎ ‎∴．‎ ‎（2）取的中点为，连接，∵是棱的中点，∴，∵底面，‎ ‎∴底面，又∵底面是菱形，‎ ‎，，∴，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∵是棱的中点，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了平面与平面垂直的判定以及三棱锥体积计算方法，关键抓住三棱锥体积之间的关系，转化体积，即可，属于中档题。‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆的方程的离心率和椭圆上的点代入方程，列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程；‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为与椭圆的方程联立，求得，进而得到点的坐标，‎ 因为在直线上，解得，以及利用，求得实数，‎ 把三角形的面积表达成实数的表示，即可求解面积的最大值．‎ 试题解析：‎ ‎(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)易得直线的方程为.‎ 当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.‎ 设直线的方程为,与联立消得 ‎,‎ 所以.‎ 设,则,.‎ 由,所以的中点, ‎ 因为在直线上，所以,解得 所以,得,且,‎ 又原点到直线的距离,‎ 所以，‎ 当且仅当时等号成立，符合,且.‎ 所以面积的最大值为：.‎ 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数的性质求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎