高考真题与高考等值卷(选修系列-坐标系与参数方程)(文数)-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

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高考真题与高考等值卷(选修系列-坐标系与参数方程)(文数)-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用) Word版含解析

‎2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)‎ 三年高考真题与高考等值卷( 选修系列--坐标系与参数方程 )(文科数学)‎ ‎1.坐标系 ‎(1)理解坐标系的作用.‎ ‎(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点 的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.‎ ‎(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.‎ ‎2.参数方程 ‎(1)了解参数方程,了解参数的意义.‎ ‎(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.‎ ‎(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.‎ ‎(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.‎ ‎1.【2019年新课标3文科22】如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B(,),C(,),D(2,π),弧,,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),(1,π),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.‎ ‎(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;‎ ‎(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|,求P的极坐标.‎ ‎【解答】解:(1)由题设得,弧,,所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ ‎=2sinθ,ρ=﹣2cosθ,‎ 则M1的极坐标方程为ρ=2cosθ,(0≤θ),M2的极坐标方程为ρ=2sinθ,(θ),‎ M3的极坐标方程为ρ=﹣2cosθ,(θ≤π),‎ ‎(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)值,‎ 若0≤θ,由2cosθ得cosθ,得θ,‎ 若θ,由2sinθ得sinθ,得θ或,‎ 若θ≤π,由﹣2cosθ得cosθ,得θ,‎ 综上P的极坐标为(,)或(,)或(,)或(,). ‎ ‎2.【2019年新课标2文科22】在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.‎ ‎(1)当θ0时,求ρ0及l的极坐标方程;‎ ‎(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.‎ ‎【解答】解:(1)当θ0时,,‎ 在直线l上任取一点(ρ,θ),则有,‎ 故l的极坐标方程为有;‎ ‎(2)设P(ρ,θ),则在Rt△OAP中,有ρ=4cosθ,‎ ‎∵P在线段OM上,∴θ∈[,],‎ 故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈[,].‎ ‎ ‎ ‎3.【2019年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11=0.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)由(t为参数),得,‎ 两式平方相加,得(x≠﹣1),‎ ‎∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1),‎ 由2ρcosθρsinθ+11=0,得.‎ 即直线l的直角坐标方程为得;‎ ‎(2)设与直线平行的直线方程为,‎ 联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0.‎ 由△=‎16m2‎﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4.‎ ‎∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为. ‎ ‎4.【2018年新课标2文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 转换为直角坐标方程为:.‎ 直线l的参数方程为(t为参数).‎ 转换为直角坐标方程为:xsinα﹣ycosα+2cosα﹣sinα=0.‎ ‎(2)把直线的参数方程(t为参数),‎ 代入椭圆的方程得到:1‎ 整理得:(4cos2α+sin2α)t2+(8cosα+4sinα)t﹣8=0,‎ 则:,(由于t1和t2为A、B对应的参数)‎ 由于(1,2)为中点坐标,‎ 所以利用中点坐标公式,‎ 则:8cosα+4sinα=0,‎ 解得:tanα=﹣2,‎ 即:直线l的斜率为﹣2. ‎ ‎5.【2018年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0.‎ 转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣3=0,‎ 转换为标准式为:(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该射线关于y轴对称,且恒过定点(0,2).‎ 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点.‎ 所以:必有一直线相切,一直线相交.‎ 则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2.‎ 故:,或 解得:k或0,‎ 当k=0时,不符合条件,故舍去,‎ 同理解得:k或0‎ 经检验,直线与曲线C2没有公共点.‎ 故C1的方程为:. ‎ ‎6.【2018年新课标3文科22】在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为,(θ为参数),过点(0,)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ ‎【解答】解:(1)∵⊙O的参数方程为(θ为参数),‎ ‎∴⊙O的普通方程为x2+y2=1,圆心为O(0,0),半径r=1,‎ 当α时,过点(0,)且倾斜角为α的直线l的方程为x=0,成立;‎ 当α时,过点(0,)且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x,‎ ‎∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点,‎ ‎∴圆心O(0,0)到直线l的距离d1,‎ ‎∴tan2α>1,∴tanα>1或tanα<﹣1,‎ ‎∴或,‎ 综上α的取值范围是(,).‎ ‎(2)l的参数方程为,(t为参数,),‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则,‎ 且tA,tB满足,‎ ‎∴,‎ ‎∵P(x,y)满足,‎ ‎∴AB中点P的轨迹的参数方程为:,(α为参数,). ‎ ‎7.【2017年新课标2文科22】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|•|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为(2,),点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C1的直角坐标方程为:x=4,‎ 设P(x,y),M(4,y0),则,∴y0,‎ ‎∵|OM||OP|=16,‎ ‎∴16,‎ 即(x2+y2)(1)=16,‎ ‎∴x4+2x2y2+y4=16x2,即(x2+y2)2=16x2,‎ 两边开方得:x2+y2=4x,‎ 整理得:(x﹣2)2+y2=4(x≠0),‎ ‎∴点P的轨迹C2的直角坐标方程:(x﹣2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)点A的直角坐标为A(1,),显然点A在曲线C2上,|OA|=2,‎ ‎∴曲线C2的圆心(2,0)到弦OA的距离d,‎ ‎∴△AOB的最大面积S|OA|•(2)=2. ‎ ‎8.【2017年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为 ,(t为参数).‎ ‎(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ ‎【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是:y2=1;‎ a=﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3=0;‎ 联立方程,‎ 解得或,‎ 所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(,).‎ ‎(2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0,‎ 椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π),‎ 所以点P到直线l的距离d为:‎ d,φ满足tanφ,且的d的最大值为.‎ ‎①当﹣a﹣4≤0时,即a≥﹣4时,‎ ‎|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=|5+a+4|=17‎ 解得a=8和﹣26,a=8符合题意.‎ ‎②当﹣a﹣4>0时,即a<﹣4时 ‎|5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=|5﹣a﹣4|=17,‎ 解得a=﹣16和18,a=﹣16符合题意. ‎ ‎9.【2017年新课标3文科22】在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线l1的参数方程为,(t为参数),‎ ‎∴消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x﹣2)①;‎ 又直线l2的参数方程为,(m为参数),‎ 同理可得,直线l2的普通方程为:x=﹣2+ky②;‎ 联立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程为x2﹣y2=4(y≠0);‎ ‎(2)∵l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)0,‎ ‎∴其普通方程为:x+y0,‎ 联立得:,‎ ‎∴ρ2=x2+y25.‎ ‎∴l3与C的交点M的极径为ρ. ‎ 方程的互化和几何意义的应用是考查的重点,解题时常用到参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,利用几何意义将原问题转化三角函数的问题,考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力,题型以选择填空题和解答题为主,中等难度.‎ ‎ 1.在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程;‎ ‎(2)设曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,求三条曲线,,所围成图形的面积.‎ ‎【答案】(1); (2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由条件得圆的直角坐标方程为,‎ 得,将,代入,‎ 得,‎ 即,则,‎ 所以圆的极坐标方程为.‎ ‎(2)由条件知曲线和是过原点的两条射线,设和分别与圆交于异于点的点和,‎ 将代入圆的极坐标方程,得,所以;‎ 将代入圆的极坐标方程,得,所以.‎ 由(1)得圆的圆心为,其极坐标为,故射线经过圆心,‎ 所以,.‎ 所以,‎ 扇形的面积为,‎ 故三条曲线,,所围成图形的面积为.‎ ‎2.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若射线与有两个不同的交点、,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 解:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,即,‎ 又,,,‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(Ⅱ)联立射线与曲线,得,设, ,‎ ‎,‎ 又圆心的极坐标为,所以的取值范围是,‎ 所以,,,‎ 所以的取值范围为.‎ ‎3.选修4-4:坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),点的坐标为.‎ ‎(1)若点在曲线上运动,点在线段上运动,且,求动点的轨迹方程.‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)设,, ‎ 则由,得, ‎ 即 ‎ 消去,得,此即为点的轨迹方程. ‎ ‎(2)曲线的普通方程为,直线的普通方程,‎ 设为直线的倾斜角,则,,‎ 则直线的参数方程可设为(为参数), ‎ 代入曲线的普通方程,得, ‎ 由于, ‎ 故可设点对应的参数为,,‎ 则.‎ ‎4.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知,与的交点为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)20‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由,得,‎ ‎∴,即.‎ ‎(2)设,‎ 把代入,‎ 得,则是该方程的两个实数根,‎ ‎∴,故.‎ ‎5.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与轴交于点,与曲线交于两点,.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 解:(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,‎ 把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入,可得x2+y2﹣2y=0.‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0;‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入圆的方程,得t2+(2cosα﹣2sinα)t+1=0.‎ 由△=(2cosα﹣2sinα)2﹣4>0,得sin2α<0,‎ 且t1+t2=﹣2cosα+2sinα,t1t2=1.‎ ‎∴.‎ ‎ sin2α<0∴‎ 即的取值范围是(2,6].‎ ‎6.在直角坐标系中,圆的参数方程为 (为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的极坐标方程和直线的直角坐标方程;‎ ‎(2)射线与圆的交点为,,与直线的交点为,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)圆的普通方程是,‎ 将,代入上式:,化简得:,‎ 所以圆的极坐标方程为.‎ 直线的极坐标方程为,‎ 将,代人上式,得:,‎ ‎∴直线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)设,因为点在圆上,则有,‎ 设,因为点在直线,则有,‎ 所以,‎ ‎∵,∴,∴,‎ ‎∴,即,‎ 故的范围为.‎ ‎7.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为,( 为参数).直线与曲线分别交于、两点.‎ ‎(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(2)若点的直角坐标为,,求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由,得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为,即,‎ 由直线的参数方程得直线的普通方程为.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入,‎ 化简并整理,得.‎ 因为直线与曲线分别交于、两点,所以,‎ 解得,由一元二次方程根与系数的关系,得 ‎,,‎ 又因为,所以.‎ 因为点的直角坐标为,且在直线上,‎ 所以,‎ 解得,此时满足,故.‎ ‎8.曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数,‎ 可得曲线的直角坐标方程为,即,‎ 则曲线的极坐标方程为,即,‎ 又因为曲线的极坐标方程为,即,‎ 根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程.‎ ‎(2)解法1:设直线的倾斜角为,‎ 则直线的参数方程为(为参数,),‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,‎ 解得,,,‎ 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:,‎ 解得,,,‎ ‎,‎ ‎,即,,,‎ ‎,‎ 当且仅当,即时去等号,‎ 故的最小值为.‎ 解法2:设直线的极坐标方程为),‎ 代入曲线的极坐标方程,得,,‎ 把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:,‎ ‎,即,,‎ 曲线的参,即,‎ ‎,,,‎ 当且仅当,即时去等号,‎ 故的最小值为.‎ ‎9.在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),把曲线向左平移2个单位,再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半(横坐标不变),得到曲线,直线的普通方程是,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程;‎ ‎(2)记射线与交于点,与交于点,求的值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)曲线C的普通方程为:,经过变换后得到的方程为:,‎ 即的普通方程为:.‎ 直线的极坐标方程为:,即:.‎ ‎(2)由(1)可求的极坐标方程为:,令解得:,即:,∴,‎ 同理直线的极坐标方程中令有:, ‎ 故.‎ ‎10.在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为,倾斜角为的直线经过点.‎ ‎(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由可得,,即.‎ 设点,则,,即点,‎ ‎∴直线的参数方程为(为参数)‎ ‎(2)将直线的参数方程代入得,,‎ 恒成立,‎ 设点对应的参数为,点对应的参数为,‎ 则,,‎ 则 ‎.‎ ‎11.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程;‎ ‎(2)已知射线,若与圆交于点(异于点),与直线交于点,求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)3‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由圆的参数方程为消去参数,‎ 得到圆的普通方程为,即,‎ 所以其极坐标方程为,即;‎ ‎(2)由题意,将代入圆的极坐标方程得;‎ 将代入线的极坐标方程,得,‎ 所以 ‎,‎ 因为,‎ 所以,‎ 因此,当,即时,取得最大值3.‎ ‎12.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线和曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)设直线与曲线交于,两点,求的值.‎ ‎【答案】(1):,:;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由得,所以的极坐标方程为,‎ 由得,‎ 又因为,,,‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎(2)将代入,‎ 可得,即,‎ 所以,,‎ 由极坐标几何意义得.‎ ‎13.在直角坐标系中,曲线的方程为,过点且斜率为的直线与曲线相切于点.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和点的极坐标;‎ ‎(2)若点在曲线上,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;点的极坐标为或.(2) ‎ ‎【解析】‎ 解(1)由得 故曲线的极坐标方程为,即,‎ 如图:当与圆相切时,,‎ ‎∴,‎ ‎∴为等边三角形,‎ ‎∴,,‎ ‎∴点的极坐标为或.‎ ‎(2)由于圆、点、点均关于轴对称,‎ 故不论点A在何处,都不会影响面积最大值的取得.‎ 不妨取,设,‎ 则,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即时,面积取得最大值.‎ ‎14.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的圆心为.‎ ‎(1)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)过原点且与直线 (为参数,)平行的直线与的交点为,,且的面积为2,求的值.‎ ‎【答案】(1)是以为圆心,为半径的圆;极坐标方程为;(2)或 ‎【解析】‎ ‎(1)消去参数得到的普通方程为:‎ 是以为圆心,为半径的圆 将,代入的普通方程中 得到的极坐标方程为:‎ ‎(2)直线的极坐标方程为,与的交点分别为,‎ ‎,得 得:或 ‎15.在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.‎ ‎(l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程:‎ ‎(2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线 的方程.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由消去参数t得(),‎ 由得曲线C的直角坐标方程为:‎ ‎(2)由得,圆心为(1,0),半径为2,‎ 圆心到直线的距离为,‎ ‎∴,即,整理得 ‎,∵,∴,,,‎ 所以直线l的方程为:.‎
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