【数学】2020届一轮复习人教B版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2020届一轮复习人教B版 坐标系与参数方程 学案

坐标系与参数方程 ‎[全国卷3年考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2018‎ 极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用 ‎2017‎ 参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题 直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法 ‎2016‎ 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值 ‎(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．‎ ‎(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．‎ 保分考点·练后讲评 ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ ‎2.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，直线C2的方程为y＝x，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C1和直线C2的极坐标方程．‎ 解：∵曲线C1的普通方程为(x－)2＋(y－2)2＝4，‎ 即x2＋y2－2x－4y＋3＝0，‎ ‎∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.‎ ‎∵直线C2的方程为y＝x，‎ ‎∴直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·sinα－＝2.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．直角坐标与极坐标方程的互化 ‎(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可．‎ ‎(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．‎ ‎2．求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.‎ 保分考点·练后讲评 ‎1.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－cos θ＝0，M.以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点．求曲线C和直线l的参数方程．‎ 解：由ρsin2θ－cos θ＝0得ρ2sin2θ＝ρcos θ，‎ ‎∴y2＝x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝x.‎ 故曲线C的参数方程为(t为参数)，‎ 由题意，M的直角坐标为(0,1)，‎ 则直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)．‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．‎ 解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，‎ 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，‎ 故2cos α＋sin α＝0，‎ 于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎[解题方略]‎ 参数方程化为普通方程消去参数的方法 ‎(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．‎ ‎(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．‎ ‎(3)常见消参数的关系式：‎ ‎①t·＝1；‎ ‎②2－2＝4；‎ ‎③2＋2＝1.‎ 极坐标与参数方程的综合应用 ‎[分点研究]‎ 题型一　直线的参数方程中参数几何意义的应用 ‎[例1]　(2019届高三·湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a,1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ ‎[解]　(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数，a∈R)，‎ ‎∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，‎ ‎∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，‎ 又ρcos θ＝x，ρ2＝x2＋y2，‎ ‎∴x2＋4x－x2－y2＝0，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，‎ 由得t2－2t＋2－‎8a＝0.‎ Δ＝(－2)2－4(2－‎8a)>0，即a>0，‎ ‎∴ 根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，‎ ‎∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，‎ ‎∴当t1＝2t2时，有 解得a＝>0，符合题意，‎ 当t1＝－2t2时，有 解得a＝>0，符合题意．‎ 综上所述，a＝或a＝.‎ ‎[变式1]　本例(2)的条件变为|PA||PB|＝6.求实数a的值．‎ 解：由本例解析知|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|2－‎8a|＝6，‎ 解得a＝1或－.又∵a>0，‎ ‎∴a＝1.‎ ‎[变式2]　若本例曲线C1变为过点P(0，－1)，其参数方程为(t为参数)，其他条件不变，求|PA|＋|PB|.‎ 解：曲线C1的参数方程化为代入曲线C2的方程y2＝4x得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，则 ‎∴t1>0，t2>0.‎ ‎∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝6.‎ ‎[解题方略]‎ 利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0＝；‎ ‎(2)|PM|＝|t0|＝；‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|；‎ ‎(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ 题型二　极坐标方程中极径几何意义的应用 ‎[例2]　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎[解]　(1)由圆C的参数方程为(φ为参数)，‎ 可得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.‎ 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，‎ 圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)由得P，‎ 由得Q，‎ 结合图可得|PQ|＝|OQ|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2.‎ ‎[解题方略]　极径的几何意义及其应用 ‎(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．‎ ‎(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．‎ ‎[多练强化]‎ ‎1．(2019届高三·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．‎ 解：(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1，‎ 由ρsin＝，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)设点P的坐标为(cos α，sin α)，‎ 则点P到C2的距离为＝，‎ 当sin＝－1，即α＋＝－＋2kπ(k∈Z)，‎ α＝－＋2kπ(k∈Z)时，所求距离最大，最大值为2，‎ 此时点P的坐标为.‎ ‎2．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ1＝(ρ1∈R)，θ2＝(ρ2∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．‎ 解：(1)由参数方程得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，‎ 把代入x2＋(y－2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0.‎ 所以曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ ‎(2)由直线l1：θ1＝(ρ1∈R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|＝4sin＝2.‎ 由直线l2：θ2＝(ρ2∈R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|＝4sin ＝2.‎ 易知∠MON＝，‎ 所以S△OMN＝|OM|×|ON|‎ ‎＝×2×2＝2.‎