【数学】2018届一轮复习人教A版第93讲极坐标系与参数方程问题的处理学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第93讲极坐标系与参数方程问题的处理学案

‎【知识要点】‎ 一、在平面内取一个定点为极点，引一条射线为叫做极轴，再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点，设， ，称、为点的极径、极角，有序数对就叫做的极坐标.‎ 二、直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到： （求点的直角坐标的公式），（求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量）.‎ 表示过原点且倾斜角为的直线, 表示过原点且倾斜角为的向上的射线.‎ 三、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线上任一点的坐标都是某个变数的函数，反过 ，对于的每个允许值，由函数式所确定的点都在曲线上，那么方程叫做曲线的参数方程，联系变数的变数是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程．‎ 四、常见曲线的参数方程：‎ ‎（1）圆的参数方程为 （为参数）；‎ ‎（2）椭圆的参数方程为 （为参数）；‎ ‎（3）双曲线的参数方程 （为参数）；‎ ‎（4）抛物线参数方程 为参数）；‎ ‎（5）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 转化法 解题步骤 先把已知条件都化成直角坐标，再利用解析几何的知识解答.‎ ‎【例1】【2017课标3，理 22】在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）写出C的普通方程；‎ ‎（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−=0，M为l3与C的交点，求M的极径.‎ ‎【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子.第2问直接把条件化成直角坐标再解答，比较直接，解题效率也比较高. ‎ ‎【反馈检测1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）求曲线和公共弦的长度．‎ 方法二 用极坐标解决解析几何问题 解题步骤 把已知条件化成极坐标，再利用极坐标的知识解答.‎ ‎【例2】【2017课标II，理22】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足,求点 的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值.‎ ‎（2）设点的极坐标为,由题设知,‎ 当时，S取得最大值，所以△OAB面积的最大值为.‎ ‎ 【点评】(1)本题的两问，如果用直角坐标 解答，思路难找，计算量大，解题效率低. 如果用极坐标 解答，问题就简单了很多. (2)怎么联想到利用极坐标解答呢？因为已知里面有信息，譬如，第1问中，就是点的极径，就是点的极径，并且点的极角相同，所以用极坐标解答就自然了，所以我们要注意观察已知的信息. 第2小问的观察和思维类似. 学. . ‎ ‎【反馈检测2】在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若射线分别交于两点， 求的最大值．‎ ‎ ‎ 方法三 用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题 解题步骤 先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.‎ ‎【例3】【2017课标1，理22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为.‎ ‎（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到的距离的最大值为，求.‎ 从而与的交点坐标为，.‎ ‎【点评】(1)本题就是利用圆锥曲线解决解析几何问题的典型例子.本题如果把已知条件都化成直角坐标再解答，计算量比较复杂，解题效率比较低. 但是如果利用圆锥参数方程设点的坐标，再利用三角函数的知识 解答，计算量小，解题效率高了很多.‎ ‎ (2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用.‎ ‎【反馈检测3】（2016年全国III高考）在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ‎，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ 方法四 用直线参数方程解决解析几何的问题 解题步骤 先把某些已知条件化成参数方程，再利用参数方程的知识解答.‎ ‎【例4】在直角坐标系中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.‎ ‎【点评】（1）直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.（2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里，总有.学. . ‎ ‎【反馈检测4】在极坐标系中，曲线的方程为，点．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系．‎ ‎（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于、两点，求的值．‎ ‎【反馈检测5】在直角坐标系中，直线过，倾斜角为（）．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第93讲：‎ 极坐标系与参数方程问题的处理参考答案 ‎【反馈检测1答案】（1）,；（2）.‎ ‎【反馈检测2答案】（1）ρ(cosθ＋sinθ)＝4，ρ＝2cosθ；（2）(＋1).‎ ‎【反馈检测2详细解析】（1）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． ‎ ‎（2）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，则ρ1＝，ρ2＝2cosα， ‎ ＝＝×2cosα(cosα＋sinα)‎ ‎＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]， 当α＝时，取得最大值(＋1)． ‎ ‎【反馈检测3答案】(1)；（2）最小值为，此时的坐标为.‎ ‎【反馈检测3详细解析】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为，因为是直线，所以|PQ|的最小值，即为P到的距离的最小值, .‎ 当且仅当时，取得最小值，最小值为此时P的直角坐标为.‎ ‎【反馈检测4答案】（1），；（2）.‎ ‎【反馈检测5答案】（1），；（2）.‎ ‎【反馈检测5详细解析】（1）直线的参数方程为（为参数），‎ 由，得，∴曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）把，代入得，‎ 设，两点对应的参数分别为与，则，，‎ 易知与异号，又∵，∴，消去与，得，即．‎ ‎ ‎